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2019届高考数学复习导数及其应用第四节导数与函数的综合问题课件文.pptx

2019届高考数学复习导数及其应用第四节导数与函数的综合问题课…

Sky
2019-03-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2019届高考数学复习导数及其应用第四节导数与函数的综合问题课件文pptx》,可适用于高中教育领域

第四节 导数与函数的综合问题总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录教材研读考点突破栏目索引一元三次方程根的个数问题令f(x)=axbxcxd(a>),则f'(x)=axbxc方程f'(x)=的判别式Δ=(b)ac,()当Δ≤,即b≤ac时,f'(x)≥恒成立,f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=有① 唯一    一个实根()当Δ>,即b>ac时,方程f'(x)=有两个不同的实根,设为x,x(x<x),函数在x处取得极大值M,在x处取得极小值m(M>m)a当m>时,方程f(x)=有② 一    个实根b当m=时,方程f(x)=有③ 两    个实根c当m<,M>时,方程f(x)=有④ 三    个实根d当M=时,方程f(x)=有⑤ 两    个实根e当M<时,方程f(x)=有⑥ 一    个实根总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录教材研读利用导数证明不等式的基本步骤考点突破一元三次方程根的个数问题考点二 利用导数研究函数零点问题考点一 导数与不等式的有关问题考点三 利用导数研究生活中的优化问题总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录总纲目录教材研读考点突破栏目索引利用导数证明不等式的基本步骤()作差或变形()构造新的函数h(x)()对h(x)求导()利用h'(x)判断h(x)的单调性或最值()下结论教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题我们称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具,用导数解决优化问题的基本思路:()分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)()求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=,确定极值点()比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小,最大(小)值为函数的最大(小)值()还原到实际问题中作答总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y= xx,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (  )A万件     B万件     C万件     D万件答案    C    y'=x令y'=,得x=或x=(舍去)当<x<时,y'>,函数单调递增当x>时,y'<,函数单调递减故当x=时,y取最大值,即使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件C总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引已知函数f(x)的定义域为,,部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示 当<a<时,函数y=f(x)a的零点的个数为 (  )A     B     C     Dxf(x)C总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引答案    C 根据已知条件可还原出函数f(x)在定义域,内的大致图象 函数y=f(x)a的零点个数即直线y=a与曲线y=f(x)的交点个数因为<a<,所以交点个数为故选C总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引设函数f(x)=axx(x∈R),若对于任意x∈,,都有f(x)≥成立,则实数a的值为       答案 解析 若x=,则无论a取何值,f(x)≥恒成立当x>,即x∈(,时,f(x)=axx≥可化为a≥  设g(x)=  ,则g'(x)= ,所以g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此g(x)max=g =,从而a≥当x<,即x∈,)时,a≤  同理可求得a≤,综上,可知a=总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引命题方向一 解不等式典例 设f(x)是定义在R上的奇函数,f()=,当x>时,有 <恒成立,则不等式xf(x)>的解集是 (  )A(,)∪(,∞)     B(,)∪(,)C(∞,)∪(,∞)     D(∞,)∪(,)D总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引答案    D解析 ∵当x>时, '<,∴φ(x)= 在(,∞)上为减函数,∵f()=,∴φ()=∴在(,)内恒有φ(x)>,即f(x)>在(,∞)内恒有φ(x)<,即f(x)<∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴在(∞,)内恒有f(x)>,在(,)内恒有f(x)<又xf(x)>的解集,即f(x)>的解集,∴xf(x)>的解集为(∞,)∪(,)总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引典例 设函数f(x)=lnxx()讨论f(x)的单调性()求证:当x∈(,∞)时,< <x命题方向二 证明不等式总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引解析 ()由题设知,f(x)的定义域为(,∞),f'(x)= ,令f'(x)=,解得x=当<x<时,f'(x)>,f(x)单调递增当x>时,f'(x)<,f(x)单调递减()证明:由()知f(x)在x=处取得最大值,最大值为f()=所以当x≠时,lnx<x故当x∈(,∞)时,lnx<x,ln < ,即< <x总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引命题方向三 不等式的恒成立或有解问题典例 已知函数f(x)= ()若函数f(x)在区间 上存在极值,求正实数a的取值范围()如果当x≥时,不等式f(x)≥ 恒成立,求实数k的取值范围总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引解析 ()因为f(x)= ,则f'(x)= (x>)当<x<时,f'(x)>当x>时,f'(x)<,所以f(x)在(,)上单调递增,在(,∞)上单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值因为函数f(x)在区间 (其中a>)上存在极值,所以 解得 <a<故实数a的取值范围是 <a<()不等式f(x)≥ ,总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引即 ≥kk设g(x)= ,则g'(x)= 令h(x)=xlnx,则h'(x)= ,因为x≥,所以h'(x)≥,则h(x)在,∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h()=>,从而g'(x)>,故g(x)在,∞)上单调递增,所以g(x)的最小值为g()=,所以kk≤,解得≤k≤故实数k的取值范围是≤k≤总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引◆探究 将本例()改为存在x∈,e,使不等式f(x)≥ 成立,求实数k的取值范围解析 当x∈,e时,k≤ 有解,令g(x)= ,由典例()解题知,g(x)在,∞)上为单调增函数,∵x∈,e,∴g(x)max=g(e)= ,∴k≤ ,即实数k的取值范围是 总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引方法技巧利用导数解不等式的思路已知一个含f'(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式利用导数证明不等式的方法证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)g(x),如果F'(x)<,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)≤,由减函数的定义可知,x∈(a,b)时,有F(x)<,即f(x)<g(x)利用导数解决不等式恒成立问题的策略()首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围()也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引 已知f(x)= ,则 (  )Af()>f(e)>f()     Bf()>f(e)>f()Cf()>f()>f(e)     Df(e)>f()>f()答案    D    f(x)的定义域是(,∞),f'(x)= ,令f'(x)=,解得x=e∴当x∈(,e)时,f'(x)>,f(x)单调递增,当x∈(e,∞)时,f'(x)<,f(x)单调递减,∴当x=e时,f(x)取得最大值f(e)= ,而f()= = ,f()= = ,所以f(e)>f()>f(),故选DD总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引    (课标全国Ⅲ,,分)已知函数f(x)=lnxax(a)x()讨论f(x)的单调性()当a<时,证明:f(x)≤ 总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引解析 ()f(x)的定义域为(,∞),f'(x)= axa= 若a≥,则当x∈(,∞)时,f'(x)>,故f(x)在(,∞)上单调递增若a<,则当x∈ 时,f'(x)>当x∈ 时,f'(x)<,故f(x)在 上单调递增,在 上单调递减()证明:由()知,当a<时,f(x)在x= 处取得最大值,最大值为f =ln  总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引所以f(x)≤ 等价于ln  ≤ ,即ln  ≤设g(x)=lnxx,则g'(x)= 当x∈(,)时,g'(x)>当x∈(,∞)时,g'(x)<所以g(x)在(,)上单调递增,在(,∞)上单调递减故当x=时,g(x)取得最大值,最大值为g()=所以当x>时,g(x)≤从而当a<时,ln  ≤,即f(x)≤ 总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引由ax<,得<x< ,故当a>时,F(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减②当a≤时,F'(x)<(x>)恒成立故当a≤时,F(x)在(,∞)上单调递减()由题意得a= 在区间 ,e上有两个不相等的解令φ(x)= ,由φ'(x)= 易知,φ(x)在( , )上为增函数,在( ,e)上为减函数,则φ(x)max=φ( )= ,总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引而φ(e)= ,φ( )= 由φ(e)φ( )=  = = < <,所以φ(e)<φ( )所以φ(x)min=φ(e), 由图可知当φ(x)=a有两个不相等的解时,需 ≤a< 即f(x)=g(x)在 ,e上有两个不相等的解时a的取值范围是 总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引方法技巧利用导数研究函数零点问题的策略()研究方程的根或曲线的交点个数,可构造函数,转化为研究函数的零点个数问题()可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从而画出函数的大致图象,然后根据图象判断函数的零点个数总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引 设函数f(x)= xmlnx,g(x)=x(m)x()求函数f(x)的单调区间()当m≥时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引解析 ()函数f(x)的定义域为(,∞),f'(x)=x = ,当m≤时,f'(x)>,所以f(x)在(,∞)上单调递增,当m>时,f'(x)= ,所以当<x< 时,f'(x)<,函数f(x)单调递减当x> 时,f'(x)>,函数f(x)单调递增综上,当m≤时,f(x)在(,∞)上单调递增当m>时,函数f(x)的单调增区间是( ,∞),单调减区间是(, )()令F(x)=f(x)g(x)= x(m)xmlnx,x>,总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引问题等价于求函数F(x)的零点个数问题,F'(x)= ,当m=时,F'(x)≤,F(x)为减函数,因为F()= >,F()=ln<,所以F(x)有唯一零点当m>时,<x<或x>m时,F'(x)<<x<m时,F'(x)>,所以函数F(x)在(,)和(m,∞)上单调递减,在(,m)上单调递增,因为F()=m >,F(m)=mln(m)<,所以F(x)有唯一零点综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引解析 ()因为x=时,y=,所以 =,a=()由()知,该商品每日的销售量y= (x),所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x) =(x)(x),<x<则f'(x)=(x)(x)(x)=(x)(x)于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(,)(,)f'(x)f(x)单调递增极大值单调递减总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引由上表可得,x=是函数f(x)在区间(,)内的极大值点,也是最大值点所以,当x=时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于答:当销售价格为元千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引规律总结利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤()分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)()求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=()比较函数在区间端点和使f'(x)=的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值若函数在开区间内只有一个极值点,那么该极值点就是最值点()回归实际问题作答总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足关系式y= x xx(x>),为使耗电量最小,则速度应定为       答案 解析 由题知y'=xx,令y'=xx=,得x=或x=,由于当<x<时,y'<当x>时,y'>所以当x=时,y有极小值,也是最小值故为使耗电量最小,速度应定为总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破总纲目录教材研读考点突破栏目索引

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