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对称区域上的二重积分的计算
2004年10月28日17:11:12 文登学校 陈文灯
方法 既要注意二重积分域
的对称性，又要注意被积函数
关于
的奇偶性．
(1)当积分区域
关于
轴对称时，
则
其中
为
在
轴的上半部分．
(2)当积分区域
关于
轴对称时，
则
其中
为
在
轴的右半部分．
(3)当
关于直线
对称时，则
．
例53 设
是
平面上以
和
为顶点的三角形区域，
是
在第一象限的部分，则
等于
(1)
(2)
(3)
(4) 0
解 如图，连
．
，
．
∵
关于
轴对称，
对
为奇函数，∴
．
同理，
关于
轴对称，
对
为奇函数，∴
．
而
，
在
中，
为
的偶函数，于是
．
在
中，
为
的奇函数，于是
．
故
．可知选(A)．
例54 计算下列二重积分：
(1)
，
．
(2)
，
由
所围成的区域，
为连续函数．
解 (1)
既对称于
轴，又对称于
轴（如图），被积函数
是
的偶函数.
故
．
(2)如图，令
，则
．
∵
是
在
上的奇函数．∴积分为０，故
．
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