2006年广东高考数学
试题
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1. 函数 f (x) =
+ lg (3x + 1) 的定义域是
(A) (－
,+) (B) (－
,1) (C) (－
,
) (D) (－,－
)
2. 若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0，则 z 3 =
(A) ±2
(B) －2
(C) －2
i (D) ±2
i
3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
(A) y = －x 3，x R (B) y = sin x，x R (C) y = x，x R (D) y = (
) x，x R
4.
如图1所示，D是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量
(A) －
+
(B) －
－
(C)
－
(D)
+
5. 给出以下四个命题：
① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行。
④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
其中真命题的个数是
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
6. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
7.
函数 y = f (x) 的反函数 y = f －1 (x) 的图像与 y 轴交于点P(0,2)（如图2所示），则方程 f (x) = 0 在 [1,4] 上的根是 x =
(A) 4 (B) 3
(C) 2 (D) 1
8. 已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与
点 P 到右准线的距离之比等于
(A)
(B)
(C) 2 (D) 4
9.
在约束条件
下，当 3≤s≤5 时，目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是
(A) [6,15] (B) [7,15]
(C) [6,8] (D) [7,8]
10. 对于任意的两个实数对 (a,b) 和 (c,d)，规定：(a,b) = (c,d)当且仅当 a = c，b = d；运算“”为：(a,b) (c,d) = (ac－bd,bc + ad)；运算“”为：(a,b) (c,d) = (a + c,b + d)，设p、q R，若(1,2) (p,q) = (5,0)，则 (1,2) (p,q) =
(A) (4,0) (B) (2,0) (C) (0,2) (D) (0,－4)
二、填空题
11.
(
－
) = 。
12. 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的
表
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面积为 。
13. 在 (x－
) 11 的展开式中，x 5 的系数为 。
14.
在德国不来梅举行的第48届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、… 堆最低层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球。以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) = ；f (n) = （
答案
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用 n 表示）。
三、解答题
15. 已知函数 f (x) = sin x + sin (x +
)，x R
(I) 求 f (x) 的最小正周期；
(II) 求 f (x) 的最大值和最小值；
(III) 若 f ( ) =
，求 sin 2 的值。
16. 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下
X
0~6
7
8
9
10
P
0
0.2
0.3
0.2
0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为 ，
(I) 求该运动员两次都命中7环的概率；
(II) 求 的分布列；
(III) 求 的数学期望 E
17. 如图所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径，AD 与两圆所在的平面垂直，AD = 8，BC是⊙O 的直径，AB = AC = 6，OE∥AD
(I) 求二面角 B－AD－F 的大小；
(II) 求直线 BD 与 EF 所成的角。
18. （14’）设函数 f (x) = －x 3 + 3x + 2 分别在 x1、x2 处取极小值、极大值，xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 (x1, f (x1))、(x2, f (x2))，该平面上动点 P 满足
·
= 4，点Q是点P关于直线 y = 2 (x－4) 的对称点，求
(I) 点A、B 的坐标；
(II) 动点 Q 的轨迹方程。
19. （14’）已知公比为 q（0 < q < 1）的无穷等比数列 {an} 各项的和为 9，无穷等比数列 {an2} 各项的和为
(I) 求数列 {an} 的首项 a1 和公比 q；
(II) 对给定的 k（k = 1,2…,n），设 T (k) 是首项为 ak，公差为 2ak－1 的等差数列，求数列 T (2) 的前10项之和；
(III) 设 bi 为数列 T (i) 的第 i 项，Sn = b1 + b2 + … + bn，求 Sn，并求正整数 m（m > 1）使得
存在且不等于零。
20. （12’）A 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 (x) 组成的集合：
① 对任意 x [1,2]，都有 (2x) (1,2)；
② 存在常数 L（0 < L < 1），使得对任意 x1、x2 [1,2]，都有 | (2x1)－(2x2) |≤L | x1－x2 |
(I) 设 (x) =
，x [2,4]，证明：(x) A
(II) 设 (x) A，如果存在 x0 (1,2)，使得 x0 = (2x0)，那么这样的 x0 是唯一的；
(III) 设 (x) A，任取 x1 (1,2)，令 xn+1 = (2xn)，n = 1,2,…，证明：给定正整数 k，对任意的正整数 p，成立不等式：| xk+p－xk |≤
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