量子力学
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
主讲 周宙安
《量子力学》课程主要教材及参考
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
1、教材：
周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979
2、主要参考书：
[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993
[2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000
[3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003
[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984
[5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999
[6] L. I. 希夫，《量子力学》，人民教育出版社
[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999
[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990
[9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999
[10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979）
[11] L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章 绪论
量子力学的研究对象：
量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。
§1.1经典物理学的困难
一、 经典物理学是“最终理论”吗？
十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：
机械运动（v<
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
2. 冲破经典理论的束缚
3. 建立创造性思维方法
4. 正确认识微观现象的基本特征
§1.2光的波粒二象性
1.光的波动性
最典型的实验是1802年的杨氏干涉实验和后来的单缝、双缝衍射实验。
相干条件：
(k=0，
，
，……)加强
相消
或位相差 =
=2k
加强
=(2k+1)
减弱
2.黑体辐射
热辐射同光辐射本质一样，都是电磁波对外来的辐射物体有反射和吸收的作用，如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体为绝对黑体（简称黑体），它是一种理想化模型。例如：一个用不透明材料制成的开小口的空腔，可以看作是黑体，其开口可以看成是黑体的表面，因为入射到小孔上的外来辐射，在腔内经多次反射后几乎被完全吸收，当腔壁单位面积在任意时间内所发射的辐射能量与它所吸收的辐射能相等时，空腔与辐射达到平衡，研究平衡时腔内辐射能流密度按波长的分布（或频率的分布）是19世纪末人们注意的基本问题。
1）实验表明：当腔壁与空腔内部的辐射在某一绝对温度
下达到平衡时，单位面积上发出的辐射能与吸收的辐射能相等，频率
到
之间的辐射能量密度
只与
和
有关，与空腔的形状及本身的性质无关。即
其中
表示对任何黑体都适用的某一普通函数。当时不能写出它的具体解析表达式，只能画出它的实验曲线。见
图2
2）维恩（Wien）公式
维恩在做了一些特殊的假设之后，曾用热力学的方法，导出了下面的公式：
其中
，
为常数，将维恩公式与实验结果比较，发现两者在高频（短波）区域虽然符合，但在低频区域都相差很大。
3）瑞利-琼斯（Rglaigh-Jeans）公式
瑞利-琼斯根据电动力学和统计物理也推出了黑体辐射公式：
其中
是玻耳兹曼常数（
J/K），这个公式恰恰与维恩公式相反，在低频区与实验符合，在高频区不符，且发散。
因为：
当时称这种情况为“紫外光灾难”。
由于经典理论在解释黑体辐射问题上的失败，便开始动摇了人们对经典物理学的迷信。
4）普朗克（Planck,1900）公式
1900年，普朗克在前人的基础上，进一步分析实验数据，得到了一个很好的经验公式：
式中
称为普朗克常数，
在推导时，普朗克作了如下假定：黑体是由带电的谐振子组成，对于频率为
的谐振子，其能量只能是
的整数倍，即：
当振子的状态变化时，只能以
为单位发射或吸收能量。能量
成为能量子，这就是普朗克能量子假设，它突破了经典物理关于能量连续性概念，开创了量子物理的新纪元。
3. 光电效应
在光的作用下，电子从金属表面逸出的现象，称为光电效应。自1887年Hertz起，到1904年Milikan为止，光电效应的实验规律被逐步揭露出来。其中，无法为经典物理学所解释的有：
（1）对一定的金属，照射光存在一个临界频率
，低于此频率时，不发生光电效应。（不论光照多么强，被照射的金属都不发射电子）
（2）光电子的动能与照射光的频率成正比（
），而与光的强度无关。
（3）光电效应是瞬时效应（
）
爱因斯坦的光量子假设：
光就是光子流，在频率为
的光子流中，每一光子的能量都是
。（这样就可解释光电效应），由此得到爱因斯坦方程：
光子的动量：
对于光子
,
又 因为：
（相对论中能量与动量的关系）
所以：
而
所以：
或
其中
表示该光子运动方向的单位矢量，
，
成为波矢。上式把光的两重性质——波动性和粒子性有机地联系了起来。
4.康普顿效应（略）
本节结论：光具有波粒两象性。
课外作业：（1）推导普朗克黑体辐射公式
（2）设计光电效应实验原理图
§1.3原子结构的玻尔理论
经典理论在原子结构问题上也遇到不可克服的困难。
玻尔理论的两个基本假设：
（1）量子条件：
（且存在定态）
（2）频率条件：
，有（1）、（2）可得
量子化通则：
n=1，2，3……
玻尔理论不能解释多电子原子和谱线的强度。玻尔理论是半经典半量子的理论。
§1.4微粒的波粒二象性
一、德布罗意假设
德布罗意仔细分析了光的波动说及粒子说发展的历史，并注意到了十九世纪哈密顿曾经阐述的几何光学与经典粒子力学的相似性[集合光学的三条基本原理，可以概括为费米原理——亦即最小光程原理，
，n为折射系数，经典粒子的莫培督（Maupertius）原理，亦即最小作用原理：
，p为粒子的动量]，通过用类比的方法分析，使他认识到了过去光学理论的缺陷是只考虑光的波动性，忽视了光的粒子性。现在在关于实物粒子的理论上是否犯了相反的错误，即人们只重视了粒子，而忽视了它的波动性了呢？运用这一观点，德布罗意于1924年提出了一个具有深远意义的假设：微观粒子也具有波粒二象性。
具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为
或波长为
的平面波，二者之间的关系如同光子与光波一样，即：
（1）
（2）
这就是著名的德布罗意关系式，这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波或“物质波”。
设自由粒子的动能为E，当它的速度远小于光速时，其动能
，由（2）式可知，德布罗意波长为：
（3）
如果电子被V伏电势差加速，则
电子伏特，则：
（
为电子质量）
当V=150伏特时，
，当V=10000伏时，
，所以，德布罗意波长在数量级上相当于晶体中的原子间距，它宏观线度要短得多，这说明为什么电子的波动性长期未被发现，若把电子改成其他实物粒子，情况是怎样的？
二、平面波方程
频率为
，波长为
，沿x方向传播的平面波可用下面的式子来表示：
如果玻沿单位矢量
的方向传播，则：
写成复数的形式：
或
（量子力学中必须用复数形式）
这种波（自由粒子的平面波）称为德布罗意波。
三、德布罗意波的实验验证
德布罗意波究竟是一种什么程度的波呢？德布罗意坚信，物质波产生于任何物体的运动，这里所说的任何物体，包括大到行星、石头，小到灰尘或电子。这些物质和物质波一样，能在真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们都产生于所有物体——包括不带电的物体，所以它们不同于电磁波。这是一种新型的尚未被人们认识的波，就是这种波构成了量子力学的基础。
1. 电子的衍射实验
1927年美国科学家戴维孙（Davisson）和革末（Germer）用实验证实了德布罗意波的正确性。（注：介绍其发现过程、光强等），后来，汤姆逊又用电子通过金箔得到了电子的衍射图样。
2. 电子的干涉实验
它是由缪江希太特和杜开尔在1954年作出。后来又由法盖特和费尔特在1956年做出。
3. 其他实验表面：一切微观粒子都具有波粒二象性
4. 物质波的应用
电子显微镜 （
分辨率的普遍表达式）
作业：
，1.2，1.3，1.5
第二章波函数的薛定谔方程
§2.1波函数的统计解释
一、经典力学对质点的描述（坐标和动量）
规律：
二、自由粒子的波函数（德布罗意假设）
问：
的物理意义？
错误的解释：（1）波是由它所描写的粒子组成，即它是一种疏密波。
（2）粒子是由波组成，一个粒子就是一个经典的波动。
三、波函数的统计解释
Born 首先提出了波函数意义的统计解释：
波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，即描写粒子的波可以认为是几率波。
分析：电子的衍射实验，见书18页
量子力学的一个基本原理：微观粒子的运动状态可用一个波函数
来描写。
四、波函数的性质
1.
在 表示：在t 时刻,在r点，在d τ = dxdydz 体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是。
2.几率密度：
3.粒子在全空间出现的几率（归一化）：
则：
4.
，描写的是同一态
5. 归一化波函数
令：
则：
为归一化条件
满足上式的波函数称为归一化波函数，使
变为
的常数称为
称为归一化常数。
注意：
1）.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子
的不确定。因为：
2）.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求
为有限（平方可积的），如果是发散的，则无意义。
例如：自由粒子的波函数
，
注意：波函数是时间位置的函数，即
例题：曾书第13页
§2.2态迭加原理
回顾：（1）在量子力学中用波函数描写微观粒子的量子状态
（2）波函数的统计解释：当
确定时，粒子的力学量取各种可能值的几率确定。
一、经典波的态迭加原理
两个可能的波动过程
的线形迭加的结果
也是一个可能的波动过程。
二、态迭加原理
以粒子的双狭缝实验为例，见书第14页，图6
如果
是体系的可能状态，那么，它们的线形迭加
也是这个体系的可能状态
三、两种迭加原理的区别
1.在状态
中，对某力学量Q进行测量，测到Q值可能是
，也可能是
，但绝对不会是其他的值（和抛硬币的情形差不多）。
2.若
，则
，这时
与
是同一态，这与经典波的迭加不同
3.当粒子处于态
和态
的线形迭加态时，粒子是既处于态
，又处于态
，例如抛正六面体的塞子。
四、态迭加原理的一般表达式
,
……为复数
物理意义：书第23页，学生回答。
五、态迭加原理的一个实例（电子在晶体表面衍射实验中的情形）
。同学们自学，并看一看数理方法中的傅立叶变换。下次课解答疑问。
以一个确定的动量
运动的电子状态的波函数
（1）
由态迭加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态
可以表示为
取多种可能值的平面波的线性迭加：
（2）
由于
可以连续变化，求和改为积分：
（3）
式中
（4）
（5）
把（4）式代入（3）式得：
（6）
显然（5）、（6）两式互为傅立叶变换式，且
与
描写的是一个状态。是同一个状态的两种不同的描写方式。
是以坐标为自变量的波函数。
则是以动量为自变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
简述经典力学中质点的状态及运动方程
类似地，详见曾书
，微观粒子状态的变化规律也应该遵循某一方程。
一、薛定谔方程应该满足的条件
1、方程应当是
对时间的一阶微分方程
这是由波函数
完全描写的基本假设所决定。
2、方程是线性的（只包含一次项）
即如果
和
是方程的解，那么它们的线性迭加
也是方程的解，这是态迭加原理的要求。
3、这个方程的系数不应该包含状态的参量。如动量、能量等。但可含有
，因为
由外场决定，不是粒子的状态参量。
二、自由粒子波函数所满足的微分方程
∵
（1）
将上式两边对时间
求一次偏导，得：
或
（2）
∵上式还包含状态参量——能量
，故不是我们所要求的方程。
将（1）式两边对
求二次偏导，得到：
同理：
上三式相加得：
（3）
令
——Laplace算符
则（3）式简化为：
（4）
对自由粒子：
（5）
将（5）代入（4）得：
（6）
比较（2）、（6）两式得：
（7）
显然它满足前面所述条件。
三、薛定谔方程
1、能量算符和动量算符
由（2）式
可看出
与
对波函数的作用相当：
（能量算符） （8）
将（4）式改写成：
由此知
（动量算符） （9）
（劈行算符）
问：
（
）
2、薛定谔方程
现在利用关系式（8）、（9）来建立在立场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为
，则：
（10）
上式两边乘以波函数
得：
将（8）、（9）式代入得：
（11）
这个方程为薛定谔方程。（
）
注：上面我们只是建立了薛定谔方程，而不是推导，建立的方式有多种。薛定谔方程的正确与否靠实验检验。
3、关于薛定谔方程（详见曾书
）
四、多粒子体系的薛定谔方程
∵
上式两边乘以波函数
并做代换
；
其中
则有：
上式就是多粒子体系的薛定谔方程。
§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律
一、几率随时间的变化
几率：
（1）
则：
（2）
Sch-eq：
（3）及
（4）
（3）、（4）代入（2）式有：
（5）
令：
（6）
则（5）式可写成：
（7）
这方程具有连续性方程的形式
为了说明（7）式和矢量
的意义，下面考察（7）式对空间任意的一个体积
的积分：
由高斯定理：
可得到：
（8）
面积分是对包围体积
的封闭面
进行的，（8）式左边表示单位时间内体积
中几率的增加，右边是矢量
在体积
的边界
上法向分量的面积分，因而很自然的可以把
解释为几率流密度矢量。
表示单位时间内流过
面上单位体积的几率。（8）式也说明单位时间内体积
中增加的几率，等于从体积
的边界
上而流进
内的几率。
若
，则：
（9）
若波函数
是归一的，即
，也有
，即
将保持归一的性质，而不随时间改变。
二、质量密度和质量流密度（守恒定律）
1.质量密度：
2.质量流密度：
3.质量守恒定律：以
乘以方程（5）得：
（10）
4.电荷守恒定律：
其中：
三、波函数的标准条件
单值，有限，连续（∵
和
满足连续性方程）
§2.5定态薛定谔方程
一、定态sch-eq：
如果
不显含时间，则薛定谔方程的解可用分离变量法求之。
Sch-eq:
（1）
设：
（2）
将（2）代入（1）式中：
上述方程两边除以
得：
（3）
（3）式恒成立的条件是左边和右边都等于同一个函数，设这个常数为
，则有：
（4）
（5）
方程（4）解为：
（6）
C为任意常数，将（6）代入（2）式得：
（7）
这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率
，（7）式所示的波函数称为定态波函数。
定态的特点：
1） 粒子的几率密度和几率流密度与时间无关
∵
显然，
2） 能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证）
3） 各力学量的平均值不随时间变化
二、哈密顿算符的本征方程
以
乘方程（4）两边，
乘方程（5）两边，可以看出定态波函数
满足下列两方程
（8）
（9）
从上面方程可看出：
与
相当，它们都称为能量算符，又由于算符
是由
代换而来，
在经典力学中称为哈密顿函数，所以这种算符又称为哈密顿算符，通常以
表示，这样（9）式可写为：
（10）
这种类型的方程称为本征值方程，
被称为算符
的本征值，
称为算符的本征方程。
讨论定态问题，就是要求出
（或
）和
，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：
为常数。
作业：第52页，2.1，2.2
补充作业：试判定下列波函数是否为定态波函数
（1）
（2）
§2.6一维无限深势阱
从这一节起，我们将用薛定谔方程处理几个简单的定态问题，研究这些问题，不仅因为它们简单，容易得到严密的结果，而更重要的是因为这些问题具有典型性，处理方法带有一般性，是研究各种复杂问题的基础。此外，微观体系的许多特性，可以在这些问题中明显地表露出来，通过学习，可以进一步加深我们对微观现象所具有的特性的认识。
一、 粒子的势能
在许多情况中，如金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子和中子等粒子的运动有一个共同点，即粒子的运动都被限制在有限的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。为了分析束缚态粒子的共同特点，我们可以将上述情况简单化、理想化，建立无限深势阱模型。粒子的势能为：
如下图所示：
二、 粒子的能级和波函数
在势阱外：
[
] （1）
在势阱内：因为
，所以其定态薛定谔方程为：
（2）
令
（3）
则方程（2）可化为标准形式：
（4）
其通解为：
（5）
式中
，
为两个待定常数，单从数学上看，
为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有
（6）
（7）
由（5）式和（6）式得：
令波函数不能恒为零，而
不能为零，所以必须
，于是
（8）
再根据（7）式得
所以
必须满足：
取负数给不出新的波函数。这告诉我们k只能取下列值
(9)
由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：
(10)
这就是说，并非任何E值对应的波函数都满足问题所要求的边值条件（6）、（7），而只有当能量值取（10）式所给出那些
值时对应的波函数才有满足边值条件，这样我们就能很自然地得到，被束缚在阱中的粒子的能量只能取一系列离散的数值，即能量是量子化的。
将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为 的波函数。
（11）
，波函数无意义
（11）式中A可由归一化条件确定
知：
最后得到能量为
的归一化波函数为：
三、 讨论（留给同学们自己做）
提示：1）关于能级
2）关于波函数
3）与经典力学比较
4）物理实质
§2.7线性谐振子
一、粒子的势能
（1）
显然，当
时，势能
，可见谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
二、能力和波函数
定态薛定谔方程：
（2）
既然粒子处于束缚态，则要求波函数满足条件
（3）
下面我们就来求（2）式的满足边值条件（3）的解：
先将方程（2）简化，引进无量纲的参数
（4）
和
（5）
则方程（2）变成：
（6）
首先粗略分析一下
时解的渐进行为，当
很大时，
与
相比可以忽略，方程（6）可以近似表示为：
（7）
不难
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
，当
时，方程（7）的渐近解为：
其中
不满足边值条件，故只能取：
在渐进解形式的启发下，我们令方程（6）的精解为
（8）
的形式，将它代入方程（6）得：
（9）
这就是厄密方程，解为
，从而得
，但是，不是方程（9）所有形式的解都能使
满足边值条件（3），从附录Ⅱ中我们知道，只有当
（10）
时，方程（9）才能满足要求，此时，方程的解为厄密多项式，通常认为：
（11）
它是
的n次多项式，如：
由（1）式可以得出
满足下列递推关系：
由（5）式和（10）可得一维谐振子的能量可能取值为：
与之相应的波函数为：
归一化因子（见附录Ⅱ）为：
四、 讨论（留给学生思考）
作业：第52页，2.3，2.4，2.5
2.8势垒贯穿
在2.6，2.7节中所讨论的问题，体系的势能在无限远处都是无穷大，即粒子处于束缚态，波函数在无穷远处为零，这个条件是得体系的能级是分立的，量子化的。这一节我们将论非束缚态的问题，非束缚态最简单最典型的例子是方势垒贯穿，它也明显地表露出量子效应。（注意：这类问题中，粒子的能量是预先确定的）
一、一维方势垒问题
势能：
如右图所示：
设具有一定能量E的粒子沿x正方向射向方势垒，若
，则按经典力学理论，它必将全部在x=0处返回，不能进入势垒，现在来看量子力学会给出什么结果。
二、粒子的定态波函数（先讨论
）的情形
Ⅰ：
x<0 (1)Ⅱ:
0a (3)
令：
(4)
则（1），（2），（3）式可化为：
x<0 (5)
0a (7)
方程（5），（6），（7）的通解为：
x<0 (8)
0a (10)
当我们用时间因子乘以上面三个式子，立即可以得出
中的第一项表示向右传播的平面波，第二项为向左传播的平面波，在x>a的区域，当粒子以左向右透过方势垒，不会再反射，因而Ⅲ中应当没有向左传播的波，也就是说
。
下面利用波函数及其一阶微商在x=0和x=a处连续的条件来确定波函数中的其他系数。
由：
：
：
：
：
可见，五个任意常数
满足四个独立方程，由这一组方程我们可以解得：
（11）
（12）
（11），（12）两式给出透射波振幅和反射波振幅与入射波振幅之间的关系。
三、几率流密度、透射系数、反射系数
1、几率流密度
入射波：
（注：几率流密度还可写成几率密度与粒子速度的承继，对于动量和能量确定的粒子，即
）
①入射波几率流密度：（
）
②透射波几率流密度：（
）
③反射波几率流密度：（
）
2、透射系数
（13）
3、反射系数
由上两式可见，
和
都小与1，
与
这和等于1。这说明入射粒子一部分贯穿到
的区域，另一部分被势垒反射回去。下面讨论
的情形。这时
是虚数。
令：
， 则
是实数
把
换成为
，前面的计算仍然成立。经过简单计算后，（11）式可改写成：
其中
和
依次是双曲正弦函数和双曲余弦函数，其值为
透射系数 的公式（13）式可改写为：
如果粒子能量比势垒高度小很多，即
，同时势垒高度
不太小，以至于
，则
，此时
，于是
因为
和
同数量级，
时，
[或（
）为恒大于1的数值]，所以当
足够大时
其中
，上式给出了
时，粒子透过方势垒的几率。对于任意形状的势垒，我们可以把上式加以推广，写成：
即我们可以认为是透过许多方势垒的几率的乘积。（见书50页图17）
四、微观粒子和宏观粒子经势垒散射的讨论
1、若
，宏观粒子完全穿透势垒，无反射，而微观粒子既有穿透的可能，又有反射的可能。
2、若
，宏观粒子完全被反射，不能穿透势垒，而微观粒子既有反射的可能，又有透射的可能。这种粒子在能量 小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
按经典理论，隧道效应是无法理解的，因为当粒子进入到势垒内部时，
，而一个经典粒子的总能量
又等于动能与势能的和，因此粒子的动能将小于零。动量（
）将是虚数，这自然是不允许的。但按照量子力学的概念，这一现象是不可理解的，这是由于微观粒子具有被动性的表现。这可用光波在介质表面的反射与折射做类比。
注：隧道效应是一种微观效应。参见书第49页的表
作业：书53页 2.7
小结 书50-52
第三章 量子力学中的力学量
正如前面所说的，由微观粒子的波粒二象性，我们必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符
§3.1表示力学量的算符
一.算符
1.定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号
通俗地说，算符就是一种运算符号。我们通常用上方加“
”的字母来表示算符，例如：
它们都称为算符。
2.算符的作用
算符作用在一个函数u上，使之变成另一个新的函数v，例如：
是微商算符。
又如x也是一个算符，它对函数u的作用是与u相乘，即xu=xu=v,还有
也是一个算符，把它作用在函数u上则有：
即
是一个开平方的运算符号，可见，算符并不神秘，x,3,-1等都可以看作是算符。
二.算符的运算规则
1.算符相等：如果
，则
其中u为任意函数，注意：这里u必须是任意的函数，如果上面前一式中只对某一个特定的函数，我们就不能说算符
和
相等。
例如：
２.算符相加：若
，则
即如果把算符
作用在任意函数u上，所得到的结果和算符
、
分别作用在u上而得到的两个新函数Ｐu，QU之和相等，则我们说算符
等于算符
与
之和.
且
（满足加法交换律）
（满足加法结合律）
３.算符相乘：
若
，则
例如：
，又如
如果同一算符
连续作用n次，则写作
，例如：
４.算符的对易关系
如果
，
注意：一般来说，算符之积并不一定满足对易律，即一般地
例如：x与
就不对易，即
\
但是，在某些情况下，算符之积满足对易律，例如：X和
是对易的，\
\
另外，如果算符
和
对易，
和
对易，则
和
不一定对易，例如：x和
对易的，
和
对易，但x和
都不对易。
有了这些规定，我们就可以象普通代数中那样对算符进行加、减和乘积运算了，但是必须记住有一点是与代数运算不同的，即我们不能随便改变各因子的次序（因为两个算符不一定对易），例如：
除非我们已经知道Ａ与Ｂ对易，否则不能轻易地把上式写成等于
.
三.线性算符
若
则称
为线性算符，其中
为两个任意函数，
是常数（复数）。
显然，x,
，积分运算
都是线性，但平方根算符“
”则不是线性算符。因为：
另外，取复共轭也不是线性算符，以后我们可以看到，在量子力学中刻划力学量的算符都是线性算符。
四.厄密算符
如果对于任意两个函数
和
，算符
满足下列等式：
则称
为厄密算符，式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域，且
和
是平方可积的，即当变量
时，它们要足够快地趋向于０。
补充１：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。
例：１.坐标算符和动量算符都是厄密算符
２.
不是厄密算符
另：厄密算符的本征值是实数
补充２：波函数的标积，定义：
五.算符的本征值和本征函数
如果算符
作用在一个函数
，结果等于
乘上一个常数
：
则称
为
的本征值，
为属于
的本征函数，上面方程叫本征方程。本征方程的物理意义：如果算符
表示力学量，那么当体系处于
的本征态
时，力学量有确定值，这个值就是
在
态中的本征值。
六.力学量的算符表示
１.几个例子：（
表示为坐标的函数时，
）
动量
：
能量E：
坐标
：
（可写成等式）
２.基本力学量算符：动量和坐标算符
３.其他力学量算符（如果该力学量在经典力学中有相应的力学量），由基本力学量相对应的算符所构成，即：
如果量子力学中的力学量
在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符
由经典表示式
中将
换为算符
而得出，即：
例如：
，则
又如：
则：
注：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，为什么？
因为：所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数，而厄密算符就具有这个性质。
求证：厄密算符的本征值是实数
证明：设
为厄密算符，
为
的本征值，
表示所属的本征函数，即：
因为：
（Ｆ为厄密算符）
取
，则有：
即
是实数。
§３.２动量算符和角动量算符
一.动量算符
动量算符的本征值方程是：
（１）
式中
是动量算符的本征值，
为相应的本征函数，（１）式的三个分量方程是：
（２）
它们的解是：
（３）
式中Ｃ是归一化常数，为了确定Ｃ的数值，计算积分：
因为：
式中
是以
为变量的
函数，所以有：
因此，如果取
，则
归一化为
函数：
（４）
（５）
不是象
所要求的归一化为１，而是归一化为
函数，这是由于
所属的本征值组成连续谱的缘故。
二.箱归一化
问题：我们能否把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算？
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
是肯定的，可通过下面的方法来实现：
设粒子被限制在一个正方形箱中，箱子的边长为Ｌ，取箱的中心作为坐标原点，（如图１８）显然，波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的这种边界条件称为周期性边界条件，加上这个条件后，动量的本征值就由连续谱变为分立谱。因为根据这一条件（参见图１８），在点Ａ（
，y,z）和点
（
,y,z),
的值应相同，即：
或
这个方程的解是：
（６）
这样有：
（７）
同理：
（８）
（9）
从上三式显然可以看出两个相邻本征值的间隔与Ｌ成反比，当
时，本征值谱由分立谱变为连续谱。
在加上周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化为１，归一化常数是
，
因而：
（10）
这是因为：
像这样地粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的归一化方法，称为箱归一化。
乘上时间因子
就是自由粒子的波函数，在它所描写的态中，粒子的动量有确定值
，这个确定值就是动量算符
在这个态中的本征值。
三.角动量算符
角动量
，由力学量的算符表示得：
（１）
角动量平方算符是：
（２）
直角坐标与球坐标之间的变换关系是：
（3）
（4）
（5）
对于任意函数f (r, θ, φ)
（其中r，θ，φ，都是x,y,z的函数）有：
其中：
或：
（６）
将（３）式两边分别对x,y,z求偏导得：
（７）
将（４）式两边分别对x,y,z求偏导得：
（８）
将（５）式两边分别对,y,z求偏导得：
（９）
将上面结果代回（６）式得：
（10）
则角动量算符在球坐标中的表达式为：
（11）
（12）
本征方程：
或：
（13）
是
算符的本征函数，属于本征值
的。
以下参见书第６２－６３页……
由以上的结果知
的本征值是
，所属本征函数是
：
因为：l表征角动量的大小，所以称为角量子数，m则称为磁量子数，且对于一个l值，m可取（２l+1）个值，因此
算符的本征值是（２l+1）度简并的。
的本征方程：
补充：
或：
解之得：
其中Ｃ为归一化常数。
１）.波函数有限条件：要求
为实数
２）.波函数单值条件，要求当
转过
角回到原位时波函数相等。即：
于是：
由归一化条件得：
所以：
最后书上列出了几个球谐函数
§３.３电子在库仑场中的运动
以类氢离子例，取核为坐标原点，则电子的势能为：
其中
，在CGS单位制中：
，r是电子到核的距离。
一.哈密顿算符的本征方程
(1)
（2）
这个方程在球坐标中的形式为：
(3)
令：
（4）
将（4）式代入方程（3）中，并以
除方程两边，移项后得：
（5）
则方程（5）分离为两个方程：
（6）
（7）
方程（7）即为电子角动量平方的本征方程：
或：
其：
为球谐函数。
将
代入径向方程（6）中，得：
当E>0时，对于E的任何值，方程（8）都有满足波函数条件的解，体系的能量具有连续谱，这时电子可以离开何而运动到无限远处。
当E<0时，计算过程表明：要使方程（8）有满足波函数的条件的解，方程中的参数E不能随便取值，而只能取：
（9）
式（9）即束缚态（E<0）类氢离子的能量量子化公式。
方程（8）的解R(r)叫做拉盖多项式：
（10）
其中
叫做缔合拉盖多项式。
而
叫拉盖尔多项式：
式（10）告诉我们，只要给出了n和l的一对具体数值，我们就可得到一个满足标准条件的径向波函数
，书第70页列出了前面几个径向波函数
，以共今后查用，这些
已归一化，径向波函数的归一化条件为：
且
均为实数，式中
米， 是氢原子的第一轨道半径。
由（4）可知，库仑场中运动的电子能量小于零时的定态波函数为：
归一化条件是：
且
和
可分别归一化
二.一些结论及讨论
1. 主量子数n：决定能量量子化
2. n,l,m之间的关系：
n=1,2,3…………
l=0,1,2,3,……n-1
m=0，
且：
即当n一定，l取n个不同的值， l定，m取2l+1个不同的值
因为：
这样，对有着n,l,m的一组确定的数值，我们就可以写出
一个具体表达式，也就是说，在量子力学中，氢原子（或类氢原子）中电子的状态是由量子数n,l,m 来表征的。
3.能量的简并度
首先，类氢离子的状态总由波函数
来完全描述，在
中只要有一个脚标不同，就代表不同的状态，而
只与n有关，所以能级
是简并的，简并度为：
简并原因见书71页第二段。
§3.4氢原子
一. 两体问题（详见理论力学书）
可以归结为一个粒子在场中的运动（引入折合质量）
波函数：
x,y,z表示体系的质心坐标
二. 氢原子的状态（电子相对于核的运动状态）
（质心按能量为
的自由粒子的方式运动，我们并不关心，我们所感兴趣的是原子的内部状态。）
三.氢原子中电子的几率分布
1.当氢原子处于
态时，电子的几率密度为：
由于在
点周围的体积元
内的几率是：
2.电子的径向分布几率
此种分布表明电子在空间出现的几率随r的变化，而不管从哪个方向上出现，在半径r到r+dr球壳内找到电子的几率是：
书76页图20表示
在不同n,m,l值时和
的函数关系，曲线上的数字表示n,l的值。
例如：10表示n=1,l=0,即1s态
所以：
由上式可知，除
和
外，其余各处的
都不为零，即除
，
以外的点，都有找到电子的几率，问：在1s态电子出现的最大几率为何处？
令：
有极值
3.电子的角分布几率
这种分布表明电子的几率随空间角度的变化，而不管其径向位置分布如何，在
的立体角
内找到电子的几率
为：
书77页图21表示在各种l,m,的态中
对
的函数关系，由于
与
无关，所以这些图形是绕Z轴旋转对称的立体图形，例如，在l=0,m=0时，几率是：
，它与
无关，所以在图中是一个球面，又如l=1,m=
时，几率为：
，在
有最值，在极轴方向（
）的值为零，而在l=1,m=0时，情况恰恰相反[
]。
§3.5厄密算符本征函数的正交性
一.函数正交性的意义
如果两函数
和
满足关系式：
则称
和
相互正交。
二.定理
厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
证明：设
是
的本征函数，对应的本征值为
都不相等。
因为：
（1）
（2）
且当
时，
（3）
又因为
厄密，所以它的本征函数是实数，即：
（4）
这样有：
（5）
以
右乘上式两边，并对全空间积分，得：
（6）
以
左乘（2）两边，并积分得：
（7）
由厄密算符的定义，有：
即（6），（7）两式的左边相等，因而其右边也相等，即：
或：
（8）
由于
所以：
证毕！
这个定理
的本征值组成分立谱或连续谱都成立。
若
已经归一化，即
（对分立谱） （9）
则（8），（9）两式合并可写成：
（10）
式中：
叫做克罗尼克尔符号
对连续谱有：
（11）
满足（10），（11）式的函数
或
，称为正交归一系。
在上面证明厄密算符的本征函数的正交性，是无简并的情况，简并情况在下面讨论。
正交归一条件：
分立谱：
连续谱：
满足上述条件的函数系
或
，被称为正交归一系。
2.简并情况
如果
的一个本征函数
是
度简并的，属于它的本征函数不止一个，而是
个：
（1）
则前面的证明对这些函数不能适用，这些函数并不一定相互正交。
但是，可以证明我们总可以用
个常数
把这
个函数线性组合成
个新函数
：
（2）
使得这些新函数
是相互正交的，即：
证明分如下两步进行：
（1）
是本征值
的本征函数
（2） 满足正交归一条件的
个函数
可以组成。
证明（1）：
证毕！
证明（2）：
因为：
为此只要证明线性迭加系数
的个数
大于或等于正交归一条件方程的个数即可。
（3）
方程的归一化条件有
个，正交条件有
个，所以共有独立方程个数为两者之和
；
因为：
所以，方程的个数少于待定系数的个数，因而，我们有多种可能来确定这
个系数是（3）式成立，故
个新函数
的确是算符
的对应于本征值
的正交归一化的本征函数。
结论：既然厄密算符的本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
三. 正交归一函数系实例
1. 动量本征函数组成正交归一系
2. 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
3. 角动量本征函数组成正交归一系
4. 氢原子波函数组成正交归一系
§3.6算符与力学量的关系
一.力学量的可能值
1.力学量算符的本征值函数组成完全系，即：
（1）
为任意函数，
为力学量算符的本征函数，
为展开系数，它可由
和
求得：
以
乘（1）两边，并积分得：
即：
（2）
2.力学量的可能值和相应的几率
以
表示体系的状态波函数（它不一定是本征态），且
已归一化，则：
（3）
即
的绝对平方之和等于1
问：上式中
的物理意义？
如果
是算符
的某一个本征函数，例
，则（1）式中的系数除
外其余都等于零，即
，在这种情况下测量力学
，必定得到
的结果，因此，
具有几率的意义，它表示在
态中测量力学量
得到的结果是
的本征值
的几率。（
常叫做几率振幅），（3）式说明总的几率等于1。
重要：力学量算符与算符的关系的一个基本假定，见书第84页第一段
3.力学量有确定值的条件
根据上述假定，力学量在一般状态中没有确定值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值，每个可能值都以确定的几率出现。
力学量有确定值的条件是：
当体系处于
态时，测量力学量有确定值的充要条件是
必须是算符
的一个本征态。
二.力学量的平均值
因为：
（N为总的测量次数）
（4）
因此，从原则上讲，只要求出了
，就可以由上式求出
，但是，事实上计算的这个无穷级数是十分麻烦的，所以我们有必要寻求更为简便的方法，来计算
。
因为：
（5）
比较（4），（5）得：
上式中
已经归一化，若没有归一化，（5）改写为：
上面只讨论了
的平均值组成分立谱的情况，其他情形参见书第85页。
例题，自学
作业：书第100-101，3.1，3.2，3.5
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件
测不准关系
一、泊松括号 “
”
1．定义：
2．性质：
（1）
浙公网安备 33021202002483