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第7章多元函数及其微分法.ppt

第7章多元函数及其微分法

艾尔小茜茜
2019-02-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第7章多元函数及其微分法ppt》,可适用于自然科学领域

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分法的几何应用第七节多元函数的极值及其求法一、多元函数概念例如(i)圆柱体的体积公式其中r、h是自变量。当r、h在定义域内取定一对数值(rh)时V就有唯一的值与之对应。(ii)矩形的面积S=xy。其中x、y是自变量。当x、y在定义域内取定一对数值(x,y)时S就有唯一的值与之对应。、多元函数定义设有变量x、y、z。若当x、y在一定范围内任意取定一对值(xy)时z按一定的法则f总有唯一确定的数值与之对应则称这个f为x、y的二元函数。x、y叫做自变量z叫因变量。x、y的变化范围叫做定义域函数记为函数的定义域是使函数有定义的点的全体构成的点集。三元函数u=f(x,y,z)可看作空间内点P(x,y,z)的函数。定义域是空间内的点集。故二元函数f(x,y)的定义域是xoy平面上的点集。例的定义域是满足的点(x,y)的全体。即例的定义域为二元函数z=f(x,y)的图形建立空间直角坐标系先在xoy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D对于D中的任一点P(x,y)在空间中都能找到一点M与之对应当P点变动时对应点M的轨迹为z=f(x,y)的几何图形。它通常是一张曲面。图形为中心在原点的上半球面函数z=sinxy<x<,<y<的几何图形、邻域与点的距离小于的点P(x,y)的全体。记为即在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含平面上的方邻域内点、外点、边界点设有点集E及一点P:E、区域若点集E上的点都是内点则称E为开集开区域连同它的边界一起称为闭区域连通的开集称为开区域,简称区域E的边界点的全体称为E的边界,记作E开区域及闭区域点集不是区域虽然是开集但是不连通整个平面是最大的开区域,也是最大的闭区域二、多元函数的极限如果对总当 时有则A叫做当时的极限首先让我们回顾一下一元函数极限的定义记作或定义设f(x,y)的定义域为D点是某个定义区域的内点或边界点。如果存在常数A对总当D内的点P(x,y)满足都有则称常数A为函数当时的二重极限记为或例设证明故总有证:要证说明:二重极限存在必须是点以任何方式趋向于函数都趋向于同一个数值A。三、多元函数的连续性定义设在区域或闭区域D内有定义。是D的内点或边界点且。若则称函数在点连续。例求一切初等函数在其定义域内是连续的。一、偏导数的定义、一元函数的导数定义设y=f(X)在点的某邻域内有定义。若存在则称函数在点处可导。此极限为函数在点处的导数。、二元函数的偏导数定义设在的某一邻域内有定义。当而x在处有增量时函数相应增量为若存在则此极限为函数在点处对x的偏导数。类似地,也有在点对y的偏导数上面给出的是二元函数在某点处的偏导数。如果z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)对x都有偏导数。则这些偏导数值构成了一个新的函数称为z=f(x,y)对x的偏导函数。记作类似地也有对y的偏导函数例已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常量)求证:由此可见偏导数的记号是一个整体记号并不代表相除的意思。、二元函数偏导数的几何意义表示空间一个曲面。设为曲面上一点过作平面与曲面相交于一曲线则曲线方程为。那么就是这条曲线在点处的切线对x轴的斜率。同样表示曲面z=f(x,y)与平面的交线在点处的切线对y轴的斜率。、多元函数可导与连续的关系对一元函数若函数在某点可导则在此点必连续。对多元函数是否也有此结论呢?若多元函数可导不一定连续。二、高阶偏导数设在区域D内存在偏导数这两个偏导数仍然是x、y的函数。若它们的偏导数还存在则称这两个函数的偏导数为的二阶偏导数。按照对自变量求导顺序可以分为四种二阶偏导数:、f(x,y)对x的二阶偏导数、f(x,y)对x、y的二阶混合偏导数定理若二阶混合偏导数在区域D内连续则这两个二阶混合偏导数相等。例验证函数满足方程例设证明:函数满足方程上述两例中的方程称为拉普拉斯方程一元函数的微分定义若可表示为则f(x)在点可微。叫做在点的微分。记作dy引例设一圆柱体的底半径为r,高为h当底半径和高各自获得增量和时现分析圆柱体体积V的改变量设z=f(x,y)的定义域为D。当x取得增量y取得增量时得到另一个点那么P和的函数值之差称为全增量。一、全微分二、多元函数可微、连续、偏导数之间的关系定理若二元函数在点(x,y)可微分则函数在这个点也连续。可微连续不连续不可微注意:偏导数存在全微分不一定存在。反例定理若偏导数连续则函数的全微分必存在。在点(,)偏导数存在但不可微。例求的全微分。例求在点(,)处的全微分。例求的全微分。三、全微分的应用若连续都很小时就有一、复合函数的中间变量均为一元函数例设。求全导数。例设(u>,)均可导求。二、复合函数的中间变量均为多元函数例设f具有连续偏导数证明:例设。求。三、复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数、例设求和。、例设求和。例设f具有二阶连续偏导数求和。我们以前学习过由方程所确定的隐函数的求导方法。但这是在方程能确定一个一元函数且这个一元函数可导的前提下进行的。隐函数存在定理设在点的某一邻域内具有连续的偏导数。则在这个邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数且这就是一元隐函数的求导公式。例求由方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数。例设求一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线L的参数方程为其中t为参数例求曲线在点()的切线及法平面方程。曲线L参数方程的特殊形式:二、曲面的切平面与法线、隐式的曲面方程设的偏导数在点连续且不同时为则在曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上这个平面叫做点M的切平面。通过点M垂直于切平面的直线叫曲面在M点的法线。例求球面在点()的切平面及法线方程。例求旋转抛物面在点(,,)的切平面及法线方程。例求出曲线上的点使在该点的切线平行于平面。例在曲线z=xy上求一点使这点处的法线垂直于平面。、定义设z=f(x,y)的定义域为D。若存在对有则称函数在点有极大值。则称函数在点有极小值。一、多元函数的极值及最值多元函数的驻点:使所有偏导数同时为的点。处有极小值.在函数),(yxz=处有极大值.在函数),(yxz=处无极值.在函数),(xyz=、二元函数极值判定定理设z=f(x,y)在内有直到二阶连续偏导数记则()时有极值A<时有极大值A>时有极小值。()时无极值()时不确定是否存在极值。具有二阶连续偏导数的二元函数z=f(x,y)求极值的步骤:第步解方程组即求出所有驻点(实数)第步求ABC第步定出的符号。例求函数的极值。、最值一元函数比较区间端点和驻点上的函数值最大的就是最大值最小的就是最小值。二元函数把区域D内所有驻点和边界上的点的函数值相比较但是边界上的点有很多计算函数值再比较就非常麻烦。实际上我们遇到的问题中往往会给出一些特定的条件:函数的最值一定在区域D内部取得且在D内只有一个驻点那么这个驻点处的函数值就一定是最值。二、条件极值对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内没有其它条件了称为无条件极值。在实际问题中往往会有对自变量的约束条件。例如求表面积为而体积最大的长方体的体积。象这种对自变量有约束条件的极值称为条件极值。有时可以将条件极值转化为无条件极值问题但有时转化过程比较复杂因此下面介绍一种直接求条件极值的方法拉格朗日乘数法。从中解出xy则(x,y)就是极值点。例求表面积为而体积最大的长方体的体积。得到这是唯一可能的极值点。因此表面积为的长方体中以棱长为的正方体的体积为最大最大体积例求函数在附加条件下的极小值。

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