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随机变量的数字特征及其应用.doc

随机变量的数字特征及其应用

Barry姜林
2019-02-24 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《随机变量的数字特征及其应用doc》,可适用于工程科技领域

青岛大学学士学位论文随机变量的数字特征(期望、方差、协方差)及其应用学  院:   数学与统计学院  姓  名:     宋飞     专  业:   信息与计算科学  学  号:      指导教师:     宋丽娜    职  称:     副教授    随机变量的数字特征(期望、方差、协方差)及其应用摘要:伴随着人类思想的进步与发展实际问题的概率化思想已经深刻的融入在了生活的方方面面。然而在很多事件发生的可能性的层面上来说其结果往往会呈现出不确定性在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数这种由随机变量的分布所确定的能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几个重要的数字特征(包含数学期望、方差、协方差)进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特征所各自代表的实际意义时通过对其定义、产生背景、实际意义等方面进行逐一分析之后配备了相应例题进行讲解分析达到与生活实际融会贯通的目的。最后通过对数字特征的数学分析可以浅谈它们各自在实际生活中的应用已达到学以致用的目的。关键词:随机变量数字特征期望方差协方差与相关系数DigitalCharacteristics(Expected,Variance,Covariance)ofRandomVariablesandTheirApplicationsAbstract:Withtheprogressanddevelopmentofhumanthought,theprobabilisticthoughtofpracticalproblemshasbeendeeplyintegratedintoallaspectsoflifeHowever,atthelevelofthelikelihoodofoccurrenceofmanyevents,theresultstendtoshowuncertainty,andinmanytimestheresultsofrepeatedtrialshavestatisticalregularity,whichwecallrandomphenomenaTheoccurrenceofeachthingisabstractedasarandomvariable,soinsomepracticalproblemsortheoreticalproblemsinthepeopleinterestedinsomeofthecharacteristicsofarandomvariablecandescribeaconstant,whichisdeterminedbythedistributionofrandomvariables,Constantsthatdescribethecharacteristicsofaparticularaspectofarandomvariablearecollectivelyreferredtoasadigitalfeature,whichisimportantbothintheoryandinpracticalapplicationsInthispaper,severalimportantdigitalfeatures(includingmathematicalexpectation,variance,covariance)ofrandomvariablesarestudiedInthestudyoftheactualmeaningofeachofthedifferentdigitalfeatures,throughitsdefinition,background,practicalsignificanceandotheraspectsoftheanalysis,withthecorrespondingexamplestoexplaintheanalysis,toachievethepurposeofintegrationwiththeactuallifeFinally,throughthemathematicalanalysisofdigitalfeatures,youcantalkabouttheirrespectiveapplicationsinreallife,hasreachedthepurposeoflearningtouseKeywords:Randomvariablesdigitalcharacteristicsexpectationvariancecovarianceandcorrelationcoefficient目 录摘 要  I关键词  I英文摘要  II英文关键词  II引 言  数学期望  数学期望的引入及定义  研究数学期望的重要性  数学期望的应用问题  数学期望在经济学中的应用  …………………………………………数学期望在体育比赛中的应用………………………………………方差…………………………………………………………………………………方差的引入与定义…………………………………………………………研究方差的重要性…………………………………………………………方差的应用问题……………………………………………………………协方差及相关系数………………………………………………………………协方差………………………………………………………………………相关系数……………………………………………………………………协方差与相关系数的应用…………………………………………………总结…………………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………………………………致谢……………………………………………………………………………………………引 言随着人类社会的进步、科学技术与经济的发展实际问题的概率研究已经与人们的生活不可分割已经成为人们生活中不可或缺的一部分。随机变量数字特征是概率论中重要的内容,在概率论与数理统计中有着广泛的应用。“避其锋芒”“投其所好”的思想无论是在金融理财还是在理论科学研究中都得到了更广泛的应用从而可以看出实际问题的概率分析在很长时间以前就得到了人们的关注只不过在现在的生活中应用得更加的广泛与全面。在数学中我们习惯将实际问题抽象为我们习惯的数学语言随机现象的发生需要用随机变量来描述。随机变量的不同取值随实际试验的结果而定而试验的结果出现有一定的概率因而随机变量的取值也就有一定的概率。不但如此随机变量在不同条件下由于偶然因素的影响其可能取各种不一样的值其具有不确定性和随机性。随机变量分类有离散型随机变量和连续型随机变量。用来刻画随机变量在某一方面的特征的常数就统称为数字特征。而在本文当中通过研究随机变量最重要也是平时用的最多的数字特征(数学期望、方差、协方差)的性质总结出每个不同的数字特征所代表着的实际意义加深理解数字特征对于解决实际问题的重要意义。最后通过分析不同案例总结出各个不同的数字特征在实际生活中的应用达到在解决问题时的“游刃有余”做到“知己知彼百战百殆”。数学期望数学期望的引入及定义我们首先来看一个例子中国体彩新推出一种福利彩票每张彩票都对应一个兑奖号码每卖出万张彩票设一个开奖组一张彩票的获奖金额概率如下获奖金额的分布金额(元)               P          问:每张彩票售价多少时可以确保体彩中心不会亏损?分析:要保证体彩中心不会亏损的话每张彩票的价格不能低于每张彩票平均获得的金额也就是说每张彩票的价格不能低于E(X)= =。数学期望求解最重要的就要是先求出随机变量的分布列所以此例中要求出购买多少次才首次中奖则需先求出首次中奖时购买次数的分布列如下表次数            …  k   …P         … *k  …于是可以引出这种离散型随机变量的数学特征的概念定义:设离散随机变量X的分布列为p(xi)=P(X=xi),i=,,…n,…如若     ,                   则称为随机变量X的数学期望或者可以称之为该分布的数学期望简称为期望或均值假如级数不收敛则称X的数学期望不存在。在以上的定义中要求级数绝对收敛的目的是为了使数学期望唯一。这是因为随机变量的取值可正可负取值的次序也可前可后。我们可以从无穷级数的理论知道如果此无穷级数绝对收敛则可保证它的和不受次序变动的影响。因为有限项的和不受次序变动的影响所以取有限个可能值的随机变量的数学期望总是存在的。以上的定义是针对离散型随机变量的数学期望而连续型随机变量的数学期望的定义完全类似于离散型随机变量场合只是把分布列p(xi)改为密度函数把求和改为求积就可以了。我们下面给出连续型随机变量的数学期望的定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x)假若,则称为X的数学期望或称为该分布列P(x)的数学期望简称期望或均值。若 不收敛则称X的数学期望不存在。 研究数学期望的必要性下面我们通过一个非常著名的案例分析一下研究数学期望的必要性分赌本问题在世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡(pascal)提出了一个使他想了很长时间的分赌本问题:甲、乙两位赌徒的赌技不分上下各自赌注了法郎每局中没有平局必有一胜一负。他们事先约定好谁先赢到三局者赢得全部赌本法郎。现在当甲赌徒赢了两局乙赌徒赢了一局时由于突发事件(国王要召见赌徒)要终止赌局。现在问:法郎如何分才算公平?这个问题提出来是引起来了很多数学家的兴趣。首先大家可以想到:要是均分的话肯定是对甲赌徒是不公平的但如果要全部都分给甲赌徒又对乙赌徒不太公平。所以大家想到一个比较合理的办法是按照一定的比例甲赌徒可以多分一些乙赌徒可以少分一些。所以问题的关键在于:按照何种比例来分的话才能保证最大限度的公平?考虑到公平性假若能够继续比下去最多的话再有两局必结束。设A为甲获得的赌本后面两局可能出现的情况可能就是(甲和甲)(甲和乙)(乙和甲)(乙和乙)则我们可以列出A的分布列如下A               P              根据离散型随机变量的数学期望的定义我们可以求出随机变量A的数学期望E(A)=**=这就是说甲赌徒“期望”所得为法郎乙赌徒“期望”所得为法郎。像这种分法在考虑的过程中既考虑了已经结束了的赌局又照顾到了可能继续赌局的可能性体现出来一种“期望”的数学思想于是数学期望这个定义被提了出来。数学期望又称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表达了其概率分布的中心位置所在。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况:在总共a+b种等可能出现的结果中,有a种结果可赢得α,其余b种结果可赢β),则这就是他在这局赌博中所能“期望”的收入。数学期望的这种初始形式早在年即由荷兰数学家C惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。从上面这个经典的案例我们可以可以感觉到随着经济不断的发展人类对于物质财富的分配更加注重在分配的过程中我们又可以感觉到我们似乎可以找寻一种规律通过研究这种规律我们能在物质财产分配前做出对于结果更好的预测。期望这个概念就是在最初的分赌本问题中被提出来也是随着人类社会的发展各种问题的深入复杂化也就产生了随机变量其它各个数字特征的概念人们通过研究它们的性质预测即将要发生的结果概率学也就会在人类社会中起到十分重要的作用。我们下面研究一下数学期望这个数字特征在现实生活中的应用。数学期望的应用问题 .数学期望在经济学中的应用通过以上我们对数学期望的概念分析我们可以感觉到无论是从计划还是从决策层面上数学期望都起着非常大的作用所以在一些最基础的经济学问题上我们往往会不自觉的利用它。我们来分析几个案例一:决策方案决策方案就是就是将数学期望最大的方案作为最优的方案来加以决策。数学期望为经济决策提供了良好的工具。经济决策类型按其影响范围可大致上分为宏观经济决策和微观经济决策。宏观经济决策主要是指是在宏观层面上比如说国民经济的最高层次的决策。而微观经济决策就是指对局部性的某些具体问题的决策消费者可以根据自己的有限收入决定其对各种产品的需求量。知识来源与生活只有能解决实际问题人类才会能动的利用知识去解决实际问题对于数学期望这一数字特征来说其最大的价值就是通过研究事物发展的规律进而得出科学准确的结果所以说研究它对于经济生活是具有十分重要的意义的。风险规避如果有这么一个公司它预测自己的市场需求将会增长而就目前来看的话其公司员工都在每天超负荷的工作。于是公司为了满足市场需求公司考虑是否让员工每天加班或者是添加设备的方式来提高产量假设公司预测市场需求量增加的概率为p,同时就会有p的可能市场需求会下降。已知的数据可见下表: 市场需求减少(p)市场需求增加(p)维持现状(A)万万员工加班(A)万万添加设备(A)万万   有已知条件可以判断在市场需求增加的情况下使员工加班或添加设备都是对公司盈利是有利的但是现实情况是不知道哪种情况会出现因此我们可以比较几种方案获利的期望大小然后用期望值判断于是就有:E(A)=(p)pE(A)=(p)pE(A)=(p)p实际上假如p=,则E(A)=(万元) E(A)=(万元)  E(A)=(万元)从结果我们可以得知公司要想得到效益最大化就得添加设备扩大生产。假如p=则E(A)=(万元)  E(A)=(万元) E(A)=(万元)此时公司要想达到效益最大化可决定增加员工的工作时间。由以上结果我们可分析得到只要市场需求的增长可能性在之上公司就必须采取一定的措施以达到利润的增长。 .数学期望在体育比赛中的应用我们都知道体育比赛的结果往往会被很多因素决定。除了运动员自身身体素质的缘故还有会很多其他外界因素可能会对比赛结果造成影响。譬如说比赛场地天气原因现场观众的干扰等等等等因素。而这些因素统称为外界因素每场比赛运动员可能都会遇到一些或多或少的外界因素的干扰这也是不可避免的这就对运动员的发挥造成一些影响。所以在一些大型体育比赛开赛前教练员会在真实水平差不多的运动员之间选择发挥更稳定的那个去参加比赛而这里所说的稳定就是相对的在求运动员水平的期望。例:A和B是两名真实水平都差不太多的射击运动员但要去参加奥运会只有一个名额教练员为了取得更好的成绩只能派出那个相对来说实力最强的运动员于是他安排两位运动员在同样的条件下进行了一组射击射击的结果如下表所示问:A和B哪位运动员实力更强一些?A运动员的成绩表A                    P                  B运动员的成绩表B                    P                  我们可以根据上表分别求出A和B两个运动员的射击均值(数学期望)来分析他们水平的差别。解:E(A)==(环)E(B)==(环)计算结果我们可以看出E(B)>E(A)所以要单纯从实力强弱的角度上分析运动员水平的话就可以选B运动员去参加奥运会。B运动员的数学期望高于A运动员的数学期望代表着在相同的比赛条件下(可假设为外界对于运动员影响都一样)B  运动员实力要强于A运动员可以派B运动员去参加比赛其把握更大一些。从以上例子我们可以看出在数学期望对于体育比赛的影响。我们都知道概率论与数理统计是从数量上研究随机现象统计规律性的一门学科。且随机变量的分布函数比较能较全面的表现出随机变量的统计规律性。但是在现实很多的经济现象中要求随机变量的分布函数并不是一件容易的事情所以只要能知道能反映随机变量的一些重要数字特征就可以。而且另一方面来说有一些常用的分布譬如正态分布泊松分布等等这些分布只依赖几个参数。所以研究随机变量的数字特征在理论上和实际中都有很重要的意义。数学期望这一数字特征是随机变量的重要的数字特征之一它也在实际生活中很多地方都扮演着十分重要的作用本文也仅仅只是在经济决策和体育比赛中的一些简单例子来粗浅的阐明一些数学期望的实际应用以传达数学期望在实际生活中的现实意义及其重要性。下面我们来研究随机变量的另一个重要的数字特征方差。方差通过以上对数学期望的简要分析我们可以了解到随机变量X的数学期望E(X)是分布的一种位置特征数它刻画了X的取值总是在E(X)周围波动。但这个位置特征数无法反映出随机变量取值的“波动”大小比如X与Y的分布列分别为X              P          Y                P               方差的引入与定义从以上X和Y的分布列我们可以得知尽管它们的数学期望都是但显然Y取值的波动要比X取值的波动要大。能否用一个数值来反映出随机变量的“波动”大小这里数学期望显然是不能反映出这种性质的。如何要用一个数字或者一个数学概念来表示出随机变量“波动”的大小自然而然的就出现了方差这个非常重要的特征数。定义:假设随机变量X的数学期望为b=E(X),但是X的取值并不一定正好是b会或多或少的有偏差偏离的量Xb有正有负为了不让正负偏差彼此抵消我们考虑(Xb),不考虑数学上难以处理的绝对值由于(Xb)仍然是一个随机变量所以可以取其数学期望E(Xb)就可以刻画X的“波动”程度则这个量被称为X的方差定义为假若随机变量X的数学期望存在则称偏差平方(XEX)的数学期望E(XEX)为随机变量(或相应分布)的方差记做 Var(X)=E(XE(X))=这是在离散场合时的方差定义在连续场合方差的定义为Var(X)=E(XE(X))=研究方差的重要性我们给出一个简单的例子来分析一下研究方差的重要性。例如有一批零件可以得知其使用寿命是E(X)=(小时)。仅仅有这一个指标我们是不能判定这批零件的质量好坏的。实际上在这批零件中有可能绝大部分零件的寿命都在~小时之间也有可能在这批零件中可能有将近一半是高质量的其使用寿命可能有小时另一半可能是质量很差的它的寿命可能仅为小时。现在为了评定这批零件的使用寿命还需要进一步分析零件寿命X与其数学期望E(X)=(小时)的偏离程度。假若分析结果其偏离程度较小表示质量比较稳定。从这个层面上考虑的话我们就认为这批零件的质量较好。但是怎么要用一个量去度量这个偏离程度呢?显然我们前面所分析过的用数学期望的思想去分析就不是很好用了所以得用到方差这个数字特征来去衡量这个偏离程度。通常用量表示零件寿命X的方差这个特征值就可以反映偏离程度。假若此数值越大则表明偏离程度越大反之则说明偏离程度越小。在讨论数学期望在体育比赛中的应用问题时曾经引入过一个挑选运动员去参加奥运会的的实例。当时仅仅是在两个运动员实力差不太多的情况下按照实力微弱差距去挑选实力更强的那个运动员那我们可以试想一下假如教练员不去考虑两个运动之间微弱的实力差距而更加注重的是运动员临场的发挥对于环境的适应能力尤其是在射击这种对于运动员心里素质要求极高的运动中更要去考虑运动员发挥的稳定性,这时数学期望这个数字特征就体现不出这种“稳定性”而方差就可以。Var(A)=E(AE(A))===()()()==Var(B)=E(BE(B))===()()()==由计算结果我们看出Var(A)<Var(B)这说明A运动员成绩起伏相对于B运动员来说起伏不大故从稳定性的角度上来选择的话应选择A运动员。同样一个案例如果单从实力强弱来说可能会选择B远动员去参赛这时用到的是数学期望的应用问题但如果从运动员发挥的稳定性上来选择此时又选择A运动员去参加比赛更加稳妥。此时则是用到了方差的应用问题。所以从不同角度去考虑问题就会有不同的结果这说明研究方差的应用问题和研究数学期望的应用问题一样也是非常有必要的。下面我们简单研究一下方差在实际生活中的应用问题。方差的应用问题方差分析法在科学研究中有时为了探索研究某一个分析任务的可靠性和影响因素就需要进行多次的试验。比如说在化学研究中为了测试试剂的准确化学性质取几批试剂分别送到几个相关的实验室用各种不同的方法进行试验每一方法的测定过程又重复多次最终会得到大量的数据。在分析结果时我们会考虑到底哪一个因素对测定结果影响最大?哪一个因素对结果影响不是很大?这时有一种方法就可以判断这种结果这就是方差分析法它常被用作处理和判断数据的手段我们下面结合实例来简单分析一下方差分析法的有关知识。在数理统计这门学科里我们用常用标准偏差表示精密度它也被称为标准差或者是均方误差用表示其表达式为()这个式子是应用于大量数据的前提下(一般有次以上的测定)。此时测定的平均值就比较接近与真值用表示根式的分子代表各种测定的数据的偏差的平方和N是测定的次数。这时方差代表各偏差平方和的平均值用表示。我们知道只有当测试次数是无限多或者至少有次以上是所得的平均值才被称为真值。但是在通常情况下测定次数总是有限的这样的话所得的平均值就并不是真值。这时如果用()去计算标准偏差就不合理。测定平均值同真值不相等测定值与平均值之差同测定值与测定值与真值之差不相等。为要表示有限测定次数的精密度采用符号S代替这样有效测定次数标准偏差的计算公式就为:     ()与式子()相比用试样平均值代替了真值用代替。在数理统计中称之为“自由度”它表明了在N次测定中只有个可变的偏差。自由度也可以这样理解:数据中可以用来对比的数目。举一个例子:两次测定x和y只有一个x和y之间的比较但是三次测定会有两种比较(也就是其中任何两个数据之间与这两个数据的平均值与第三个数据之间的比较)以此类推N次测定只有N个可以进行对比。如果有几个互相独立的因素可以同时影响测定结果设不同来源的方差分别为,根据方差的加法法则总的方差应为各个方差的和:方差分析就是将总的方差分解成为各个方差的成分然后再利用显著性检验法进行分析判断和得到适当的结论。最简单的有一种分析的方法:单因素的方差分析方法就是以上例子中试验者使用多种不同的方法去测定试验结果每种方法都重复去做几次然后再判断不同的方法所得的平均值之间是否存在差异。通过以上对方差的现实应用中的方差分析法的简单研究我们可以看到无论是在科学研究中还是在数据统计中方差的作用都是不言而喻的。通过有方差这一数字特征又会给随机变量的数据分析带来不一样的角度去分析问题和解决问题。方差分析时我们将总离均差平方和即总变异分析为几个组成部分其自由度也分解为相应的几部分故方差分析又称变异数分析。这种分析通常在医学研究中用的会比较多。方差具有对统计数据的稳定性的直观表现的性质这种特性就决定了它会在生活的方方面面都会被用到。以上我们是在对一维随机变量在做简单研究可现实生活中这种简单的例子很少更多的是二维甚至是多维随机变量的数字特征的应用这时候它们的方差就出现了一个新的数字特征去衡量那就是协方差下面我们重点讨论一下协方差及其应用。协方差及其相关系数协方差对于二维随机变量(XY)我们不仅要分离讨论X与Y的数学期望和方差之外更需要讨论描述X和Y之间相互关系的数字特征描述这种相互关联程度的一个特征数就是协方差。定义:设(X,Y)是一个二维随机变量假如存在则称此数学期望为X与Y的协方差或称为X与Y的相关(中心)矩记做:特别地有从以上定义我们可以看出它是X的偏差“”与Y的偏差“”的乘积的数学期望。因为这个偏差可以为正数也可以为负数所以协方差也可以为正数也可以为负数也可以是零具体表现如下:当>时这时称正相关这时两个偏差和有同步增加或同步减少的倾向。由于都是常数所以也可以等价于X与Y有同步增加和同步减少的倾向这就是正相关的含义。当<时称负相关这个时候有X增加而Y减少的倾向或者有Y增加而X减少的倾向这就是负相关的定义。当=时称X与Y不相关。这时可能是有两类情况导致:一种情况是X和Y的取值毫无关联另一种情况是X与Y之间存有某种非线性的关系。给出几个在协方差计算中很重要的几个性质:性质:性质:若随机变量X和Y相互独立则,反之不然。性质:对任意的二维随机变量(X,Y)有性质:协方差的计算与的次序无关也就是说=性质:任何随机变量X和常数a的协方差为零也就是说性质:对任何常数a,b,有性质:假设X,Y,Z是任意三个随机变量则从一个简单的例子来应用一下协方差的性质。例:设二维随机变量(XY)的联合密度函数为试求解:利用协方差的计算公式我们要先计算的值它们可直接用导出但要注意积分限的确定具体如下:因此我们可以算得最后我们得到结论:X与Y不相互独立。相关系数通过以上分析我们知道协方差是有量纲的量譬如X是作用在物体上的力单位是牛顿(N)Y表示物体在这个力作用下移动的距离单位是米(m)那么带有量纲()为了消除量纲的影响现在对协方差除以相同量纲的量就得到了一个新的定义相关系数它的具体定义如下。定义:设是一个二维随机变量且则称为X与Y的(线性)相关系数。从以上定义可看出:相关系数与协方差是同符号的即同时为正或同时为负或同时为零。这说明从相关系数的取值也可以反映出X与Y的正相关负相关和不相关。同协方差一样它也有自己的性质。性质:。这个性质表明:相关系数介于性质:线性关系也就是说存在与使得其中当时有当时有对于性质有下面几点说明:):相关系数描述了随机变量X和随机变量Y之间的线性关系的强弱因此相关系数又有一个名字“线性相关系数”。):则称随机变量X与随机变量Y之间没有线性关系但这不一定意味着它们之间没有其它的函数关系比如说立方关系指数关系等等。):假如这时就说X和Y之间完全正相关假若这时就说随机变量X和随机变量Y之间完全负相关。):假如这时就称随机变量X和随机变量Y之间有“一定程度”的线性关系。如果越接近于则表明线性相关程度越高反过来如果越接近于则表明线性相关程度越低。比较协方差的性质假如协方差很小的话它的两个标准差和也就随之很小但它们的比值不一定很小这一点可以看出协方差与相关系数之间的不同。通过以上对于协方差和相关系数的概念分析和性质分析我们可以知道协方差描述的是随机变量X和随机变量Y之间相互关系而相关系数则进一步的表现了随机变量X和随机变量Y之间的线性相关的关系。这两个数字特征虽然相似但也有其性质方面的差别在实际应用中我们也要去要分析问题的侧重点但有一点协方差与相关系数在实际生活中有着极其广泛的应用接下来我们简单的去研究一下它们在实际中的应用。协方差及相关系数的应用我们来看一个例子。在一次化学分析试验中通过将不同药品(可以看做一个集合)在相同环境中的实验得到了很多结果。我们将药品集中的各个自身属性字段看做随机变量,将不同药品之间的类标号属性看做随机变量Y。各药品自身属性的属性值的分布情况即可看做各随机变量的取值分布则任一随机变量的所有可能取值的情况为。取值的可能性就称作是随机变量的概率分布。这样的话整个药品集就成为了很多个随机变量的组合每个随机变量的取值按照一定的概率分布。于是可以衡量一下药品的每个自身属性和类标号属性之间的相关程度。可以设分别是随机变量和中的取值个数然后再分别计算随机变量同随机变量Y的协方差:(一)其中是的联合分布率那么随机变量和Y的方差就为:(二)其中是的分布率。(三)其中是Y的分布率。那么随机变量和Y的相关系数为:(四)如果考虑以随机变量X的线性函数来近似表示随机变量Y以均方差(五)来衡量以e的值越小表示和Y的近似程度越好。取a,b使得e到最小可以将e分别关于a,b求偏导并令他们为零可以算得:(六)(七)联立(六)、(七)两式子可以求得可将带入(五)式可算得:(八)最后我们由(八)式可以知道均方误差e是的单调严格递减函数这样的含义就非常明显了如果相对e来说比较大时说明XY联系比较紧密说明药品的自身属性和类别属性可能会在某个层面上有很大的关系特别地当=时X和Y之间凭借概率存在着线性关系。以上这个例子是在科学研究中提取出的一个实例。我们可以感觉到看似毫不相关的两个因素通过进行协方差和相关系数的分析表明在一定条件下两者之间可能会有十分重要的联系这对于科学研究来说拓宽了思路也论证了看似不可能的思想。事实上协方差与相关系数的分析在实际生活中还有着更广泛的作用比如在医学研究和核能研究中等等都体现出了这种极其重要的数学思想。由于时间的原因我们在这里不去一一研究但是要清楚的知道协方差这个特别重要的数字特征一定是与科学研究机现实生活密不可分的总 结本文在引言中主要简述了随着世界经济的高速发展与科学水平的快速进步概率学的思想已经深入了人类的思想要想做到对未知事物的探索就必须要去研究概率学的知识而研究随机变量的特征值就变得非常重要了在第二节中概述了最基本的一个数字特征数学期望从定义分析结合基础的实例分析研究数学期望对于经济问题和体育问题的重要性然后简要的阐述了数学期望在实际生活中的应用在文章的第三节中研究了随机变量的另一重要的数字特征方差方法也是从定义出发通过实例分析方差对于“稳定性”的衡量来凸显出研究方差的重要性。在最后从案例入手简要分析什么情况下应用方差去分析随机变量的性质在文章的最后一节着重分析了随机变量应用较广的一个数字特征协方差与相关关系。对于二维随机变量(XY)我们不仅要分离讨论X与Y的数学期望和方差之外更需要讨论描述X和Y之间相互关系的数字特征描述这种相互关联程度的一个特征数就是协方差。分析出一些协方差的性质可以使我们在计算协方差时变得容易。最后也引出了刻画随机变量之间线性关系的另一重要指标相关系数通过案例分析体现出协方差与相关系数对于无论是在科学研究还是在实际生活中的数据分析的重要性。参考文献浙江大学盛骤谢式千潘承毅概率论与数理统计第四版高等教育出版社概率论与数理统计教程第二版茆诗松程依明濮晓龙:科学出版社高等教育出版社基于案例教学的数学期望定义的教学研讨李英华梁鑫黄远敏:教育观察期刊论数学期望在经济决策中的应用白兰南昌高专学报年第期浅析数学期望在经济生活中的应用段丽凌河北经贸大学数学与统计学院:商场现代化年月(中旬刊)方差分析法浅析单因素的方差分析杨小勇广东石油化工学院:实验科学与技术年月赵翔齐云嵩刘同明协方差及相关系数在决策树构造中的应用华东船舶工业学院华东船舶工业学院学报年月致 谢真心的感谢宋丽娜老师对我全方面的认真、精心的指导。在整个过程中宋老师总是不厌其烦的为我提供建议使我受益颇深。不但要感谢老师还要感谢在我大学期间给予我鼓励与帮助的各位老师们。正是因为有了他们的教育和指导所以在大学期间的各方面为我提供了极大的动力也造就了我现在在各方面中取得的极大的进步。对我现在以及未来的生活有着颇深的影响为我在未来工作和学习中提供了前进的动力使我在面对困难时能够勇往直前不断进取不断进步。因此我向在大学期间所有给予过我帮助与关心的各位老师们表示最诚挚的谢意与感激。感谢所有帮助、鼓励、支持过我的良师益友。

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