高等电磁场-02

Research Institute of Antennas & RF Techniques School of Electronic and Information Engineering South China University of Technology 高等电磁场 第二讲 MaxwellMaxwell方程方程 褚庆昕 华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所 Email:qxchu@scut.edu.cn 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology „ 引言 „ Maxwell方程的积分和微分形式 „ Maxwell方程的意义 „ 边界上的Maxwell方程－边界条件 „ 频域Maxwell方程 „ Maxwell方程的电路形式 第二讲内容第二讲内容 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ” 在经典、宏观的范围内，Maxwell方程是反映 电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切 电磁问题的出发点和基础。 ” Maxwell方程有几种不同的形式，实际中根据 不同的应用领域，采用不同的形式。 2.1 2.1 引言引言 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 2.2 Maxwell2.2 Maxwell方程积分和微分形式方程积分和微分形式 0 l s s l s s s v H dl J ds D ds t E dl B ds t B ds D ds dvρ ∂⎧ ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂⋅ =− ⋅∂⎨ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ vv v vv v vv v v v v v v � � 全电流安培环路定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理（磁场高斯定律） 电场高斯定律 (2 1) ⎪⎪⎪⎪ − ⎪⎪⎪⎪⎩ ’ Maxwell方程的积分形式 以及电流连续性方程 (2 2) s qJ ds t ∂⋅ = − −∂∫ v v� 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology s s l dl v dsv V 图2-1 体积分、面积分和线积分示意图 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ’ 对于连续媒质空间，利用二维积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式： (2 3) 0 DH J t BE t B D ρ ⎧ ∂∇× = +⎪ ∂⎪ ∂⎪∇× =− −⎨ ∂⎪∇⋅ =⎪⎪∇⋅ =⎩ vv v vv v v (2 4)J t ρ∂∇⋅ =− −∂ v 以及 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ’ 从微分形式通过三维积分变换还可以得到Maxwell方 程积分形式的另一种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形式： (2 5) s v v s v ds H Jdv Ddv t ds E Bdv t ∂⎧ × = +⎪⎪ ∂ −⎨ ∂⎪ × = −⎪ ∂⎩ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ v v vr v vr � � 物理意义是什么？ 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ; Maxwell方程的实践性 ¾ Maxwell方程来源于实践，主要是几个实验定律：库 仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定 律。但Maxwell方程又高于实践，它是在实验的基础 上溶入科学家智慧的结晶。 ¾ 比如，库仑定律 ，在实验中得到R的 指数幂其实并不是2，而是1.96，但库仑分析了实践 中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜 测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。 1 2 2 ˆ 4 q qF R Rπε=− v 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程的意义方程的意义 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ¾ 由库仑定律可以导出高斯定理，由毕奥一沙伐定律 可以导出磁通连续性原理，但是由实验定律并不能 直接导出全电流安培环路定律，而是 。 但是，由上式可得 ，不满足电流连续性方 程，为此，Maxwell大但引入了位移电流 从而构成了完整自洽的Maxwell方程。 H J∇× =v v 0J∇⋅ =v d DJ t ∂=− ∂ v 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ; Maxwell方程的对称性 ¾ 杨振宁说：对称性决定支配方程。居里(Pierre Curie) 说：不对称性创造世界。 ¾ Maxwell方程充分显示了电与磁的对称性，但发现这一对 称性却是从不对称性开始的。 ¾ 历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有《论 磁学》，1820年丹麦学者奥斯特(Oersted)首先发现电流 可以产生磁，并创造了Electromagnetics一词。 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ¾ 法拉弟(Faraday) 根据对称性原理，猜测磁铁可以产 生电流，但在1821-1831十年间多次失败。1831年8月 29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领 悟到变化的磁场产生电场。 ¾ Maxwell根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化 也可以产生磁场。 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 对 称 性 发 现 过 程 电流 磁场 磁铁 电流 磁场变化 电场 电场变化 磁场 奥斯特发现 法拉第猜想 法拉第发现 麦克斯韦发现 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ; Maxwell方程的哲学 ¾ 深刻揭示了电与磁的相互转化，相互依赖，相互对 立，共存在电磁波中。正是由于电不断转化成磁，而 磁又断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此， 电磁波是一对立统一的整体。 E H E E H 图2-3 电磁场相互绞链相互转换 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ¾ 深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成 时间变化，反过来，时间变化也会转化成地点变 化。正是这种地点和时间的相互转化构成了波动 的外在形式，通俗地说，一个地点出现的事物， 经过一段时间后又在另一地点出现。 Z Z T1时刻 T2时刻 电磁波 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ; Maxwell方程的独立性 ¾ Maxwell方程中四个方程并不是完全独立的。 独立的方程有 (2 6) DH J t BE t J t ρ ⎧ ∂∇× = +⎪ ∂⎪ ∂⎪∇× =− −⎨ ∂⎪ ∂⎪∇⋅ =−⎪ ∂⎩ vv v vv v 由上式中第一式，可得 。代入第三式， 得 ，即 ，即 。 由于在静态场时(如t = 0 时为静态场) 故对时变场也有 。 0J D t ∂∇⋅ + ∇⋅ =∂ v v D t t ρ∂ ∂= ∇ ⋅∂ ∂ v ( ) 0Dt ρ∂ ∇⋅ − =∂ v D constρ∇⋅ − =v D ρ∇⋅ =v D ρ∇⋅ =v 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ¾ 同理由第二式可得 ，由于静态场时 故对时变场也有 。 0B t ∂ ∇ ⋅ =∂ v 0B∇⋅ =v 0B∇⋅ =v ¾独立方程还可以有其他形式，如 (2 7) DH J t BE t D ρ ⎧ ∂∇× = +⎪ ∂⎪ ∂⎪∇× = − −⎨ ∂⎪⎪∇⋅ =⎪⎩ vv v vv v 也构成独立方程，它可以导出 和 应当注意，上述独立性是利用了静态方程。 0B∇⋅ =v J t ρ∂∇⋅ =− ∂ vv 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 磁通： (韦伯) 电通： (库仑) 磁势： (安培) m s e s l B ds D ds u H dl ψ ψ = = = ∫ ∫ ∫ r r� r r� rr � 2.4 Maxwell2.4 Maxwell方程的电路形式方程的电路形式 ¾电路参量的定义 电压： 电流： 电荷： ( ) ( ) ( ) l s v v E dl i J ds q dvρ = = = ∫ ∫ ∫ rr � r r� 伏特 安培 伏特 ; 所有电路参量都 是由场量积分而 来的标量。 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ● ¾Maxwell方程的电路形式 对应闭合曲线，可以表示为 l l s s = =∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫� � 于是，Maxwell方程可以表示为 l s s dH dl D ds J ds dt = +∫ ∫ ∫rr r rr r� � �� e tdu i idtψ= + =∑ 其中， 为位移电流， 为总电流。 e d di dt ψ= ti ● l sdE dl B dsdt= −∫ ∫ rr r r� �� m tdv m dt ψ= − = −∑ 其中， 为位移磁流， 为总磁流。 m d dm dt ψ= tm 基尔霍夫电压定律 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ● ● ● 0 s B ds =∫ r r�� 0mψ =∑ s v D ds dvρ=∫ ∫r r�� e qψ =∑ s v dJ ds dv dt ρ= −∫ ∫r r�� dqi dt= −∑ 基尔霍夫电流定律 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ¾Maxwell方程的电路解释 ● RC回路 沿回路导线积分 忽略导线间的电压，可得 其中 m l s d dE dl B ds dt dt ψ= − = −∫ ∫rr r r� �� E R Cl E dl V V V= − + +∫ rr�� 0 h R R R R J IV E dl E h h h IR Sσ σ= ⋅ = = = =∫ rr R RJ Eσ= RI J S= hR Sσ= VE h d I 假设导线、电 阻、电容的电 尺寸很小 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 忽略回路导线所围面积中磁通量的变化，则有 正是低频电路中 的RC回路方程 C C VE d = C C C CD E VJ t t d t εε∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ 1 C C d dV J dt Idt Idt S Cε ε= = =∫ ∫ ∫ 电容中的电场 电容中的位移电流 考虑 则 SC d ε= 1 EV IR IdtC = + ∫ 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology ●变压器 1 1 1 1 m l V E dl n t ψ∂= ⋅ = ∂∫ rr 2 2 2 2 m l V E dl n t ψ∂= ⋅ = ∂∫ rr 1 1 2 2 0C H dl n I n I⋅ = + =∫ rr� 1 1 2 2 2 1 2 1 nV V n nI I n = = − 正是低频电路中 的变压器方程 I1 I2 V1 V2VE 沿磁芯环路积分，磁场 作功为零－能量守恒 考虑 于是 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 应用电流连续性方程，s面包含o,a,b,c,d端点，则 0oa ob oc od l dqi i i i i dt + + + + + = 式中， 为导线为通过表面s的漏电电流，q为接点o上的 电荷。通常 ，在稳态下 ，则 li 0li ≈0dqdt = 0oa ob oc odi i i i+ + + = 这正是基尔霍夫电流定律的通常形式。 ●并联RLC回路 s 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 将法拉第定律用于串联RLC回路，得 0 e ab bc cd de ef fg gh ha dv v v v v v v v dt ψ+ + + + + + + + = 忽略导线上的电压 ，以及杂散电感电 压 ，则ed dt ψ 0ab cd ef ghv v v v+ + + = 这正是基尔霍夫电压定律的通常形式。 0bc de fg hav v v v+ + + = 或 0R L Cv v v E+ + − = ●串联RLC回路 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 2.5 2.5 边界上的场方程边界上的场方程--边界条件边界条件 ’在媒质界面上，由于媒质的性质有突变(ε,μ有奇异 性)，Maxwell方程的微分形式不再成立。但积分形式 仍然成立。从积分形式可以导出媒质界面上的场方程 即边界条件。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ (2 8 ) ˆ 0 (2 8 ) ˆ 0 (2 8 ) ˆ (2 8 ) s s n H H J a n E E b n B B d n D D dρ × − = − × − = − ⋅ − = − ⋅ − = − rv v v v v v v 媒质2 媒质1 sJ r 1 1,E H r r 2 2,E H r r nˆ 图2-5 两种媒质的交界面 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology [证明1] 如图2-6所示，跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体 积, h→0, 应用积分形式的Maxwell方程(2-5a)，有 1 2ˆ ˆ( ) Dn H n H S Kh JSh Sh t ∂× − × + = + ∂ rr r r r 式中， 表示 关于小盒侧面 的线积分。当h→0时， 则有 K r nˆ H× r 0 0DKh Sh t ∂→ →∂ rr ， 1 2ˆ ( ) sn H H J× − = r r r h S n 媒质1 媒质2 媒质界面 图2-6 边界条件的推导 其中， 为面电流密度。 0 lims hJ Jh→= 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 同理，应用电流连续性方程，有 式中， 为 S 的周界1的外法向单位矢。 当h→0时，有 1 2( ) ss sn J J J t ρ∂⋅ − = −∇ ⋅ − ∂ r r rr 式中 0 0 0 lim lim sl l s s h S S h J n dl J n dl J S S→ →→ ′ ′⋅ ⋅∇ ⋅ = =∫ ∫ r rr rr � � －面电荷密度sρ －面散度 1 2ˆ ( ) l Qn J J S h J n dl t ∂′⋅ − + ⋅ = − ∂∫ r r r r� nˆ′ 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 2.6 2.6 频域频域MaxwellMaxwell方程方程 ’对于时谐场(场量随时间作简谐变化)，可采用复函数， 取时谐因子 ，则上述时域中只须将 变为 。 注意如果时谐因子取为 ，则 变为 。 j te ω t ∂ ∂ jωj te ω− t ∂ ∂ jω− ’因此，在研究频域电磁场时，一定要事先规定好时谐 因子。由于任何时变场都可以应用Fourier变换展开为 时谐场分量的叠加，研究时谐场具有普遍意义。 第二讲 Maxwell方程Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology 2-1 讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。 2-2 证明边界条件： 2-3 用Maxwell方程导出RC回路和变压器回路的电 路方程。 ( ) ( ) 1 2 1 2 ˆ 0 ˆ s n E E n D D ρ × − = ⋅ − = v v v 习题习题22 Maxwell方程 第二讲内容 2.1 引言