6、运动方程--（N-S、欧拉）

第一章 流体力学基础 1.3 流体流动的基本方程 1.3.3 运动方程 即 又微元系统内流体的质量不随时间而变，即D(dm)/Dt=0，于是 （1-49） 直角坐标系下的三个分量式分别为： 一． 作用在微元流体系统上的力 第1.1节中已讲到，作用在流体上的所有外力可以分为质量力和表面力两种，分别用FB和 FS表示，于是，对微元系统有： （1-51） （1-52） 单位质量流体的质量力为 ，故 （1-53） _____________________________________________ _____________________________________________ * 所谓系统是指包含着固定不变物质的集合。系统以外的一切则称为环境，二者的分界称为 边界。边界可以是真实的表面，也可以是假想的表面。通过边界，系统可以与环境进行能量 交换，也可以受到系统以外物质施加的力，但没有质量交换。如果选取系统来研究流体流动 过程，就是将着眼点放在每个流体微团上，即追随着流体质点来研 1.3.3.1 运动方程的推导 对任一流动系统*而言 均遵循着动量定理。现任取 一微元六面体流动系统，如 图1-18所示，其质量为 dm=rdxdydz，则动量定理可 以表述为：微元系统内流体 的动量随时间的变化率等于 作用在该微元系统上所有外 力之和。即 （1-48）   （1-50） 流体流动规律，这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系，从而，由流体微团组 成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究方法称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的 各种物理定律，如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对"系统"而建立的， 图1-19 微元六面体的受力图 或写成 （1-54） 微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量，一个 法向应力和两个切向应力，六个面共计18个应力，其大小标于图上。 于是，微元系统在x方向上所有表面力之和为： （1-55） 类似地，y、z方向上所有表面力之和分别为： （1-56） （1-57） 可统一表示为： （1-58） 将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得： 二．运动方程 将式1-59代入式1-50中，并除以dxdydz得： 写成矢量式为： （1-61） 这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程，亦称为运动方程。   （1-59）   （1-60）   三．奈维-斯托克斯方程 1．应力与形变速率之间的关系---本构方程 流体质点受到应力作用将发生形变，因此应力大小与流体的形变速率之间必存在着一定 的关系。这种关系称为本构方程。 （1）剪应力与形变速率之间的关系 前已述及，对一维层流流动的牛顿型流体，牛顿粘性定律成立，即 （1-18） 上式即为一维层流流动时的剪应力tyx与剪切形变速率dvx/dy之间的关系。对于三维层流 流动，剪应力与形变速率之间的关系较为复杂，本书不作推导，感兴趣的读者可参阅有关流 体力学专著，下面只将最后结果列出： 1-62） （2）法向应力与形变速率之间的关系 可以认为，法向应力由两部分组成：压应力和法向粘性应力，即 （1-63） 压应力p在数值上可认为等同于热力学中的压力，其作用的结果使流体发生体积形变，而 粘性应力作用的结果则使流体在法向方向承受拉伸或压缩，发生线性形变。 各法向应力与形变速率之间的关系为[1]： 式1-62和式1-64又称为牛顿型流体的本构方程。不适用于非牛顿型流体。 根据式1-63，应力张量tij也可写成如下形式： P￠称为偏应力张量，是应力除去压力项后得到的张量。由式1-62及式1-64可知，P￠与流体 粘性有关。 2．奈维-斯托克斯方程（N-S方程） 将本构方程代入式1-60中并整理得： 上式即为直角坐标系下牛顿型粘性流体的奈维-斯托克斯方程，简称N-S方程。 （1-64）   （1-65）   令 (1-66)   （1-67a）   （1-67b）   （1-67c） 对不可压缩流体，有： （1-42） 代入式1-67中得： 其矢量形式为： （1-69） 式1-69是不可压缩粘性流体的N-S方程。等式左边r(Dv/Dt)项代表惯性力项，右边m?2v项 代表粘性力项。 若引入广义压力G 将质量力和压力合写为： （1-70） 式中FBM指单位质量流体的质量力，r为矢径， 。于是 （1-71） 将上式代入式1-69中，则N-S方程变为： （1-72） 式中将不出现质量力项。这在某些场合下较为方便。将上述矢量式在直角坐标系下展开为： 附：柱坐标系和球坐标系下的不可压缩流体的N-S方程表达式如下： 1． 柱坐标系 r分量： (1-74a) q分量： (1-74b) z分量： (1-74c) 应力与形变速率的关系为： 2． 球坐标系   (1-68)   (1-73)   (1-75) 四．欧拉方程 对于粘度为零的流体（称为理想流体），其运动方程则可简化为： （1-78） 此式称为欧拉（Euler）方程，是理想流体力学的基本方程。其在直角坐标系下分量式为： （1-79） 1.3.3.2 N-S方程的若干解 理论上，通过求解连续性方程、运动方程以及流体的状态方程f (r，p，T) = 0等5个方 程组成的偏微分方程组，再结合具体过程的初始条件和边界条件，可获得速度场、压力场和 密度场。但事实上，由于方程组中含有非线性项，如vx( vx /x）、r( vx /t）等，使求解过 程十分困难。到目前为止，只有极少数几个简单问题得到了解析解。例如： （1）对于某些特定的流动问题，N-S方程中若干项将等于零，从而使方程大大简化，由 偏微分方程组转化为一个常微分方程。典型的例子是圆管内的层流流动问题、环隙内流体层 流流动问题等，此时可得到其精确解。 （2）当方程中的某些项相对于其它项可以略去不计时，也可使N-S方程简化而求出其近 似解。例如，对于Re<1的极慢流动（又称爬流），惯性力相对于粘性力来说可以略去不计， 此时方程的求解就简单很多。 （3）对于雷诺数很大的实际流体绕物体的流动，可以将流体分为两个区域，一个是靠近 壁面的边界层区域（指壁面附近速度变化较大的区域），另一个是边界层以外的外流区域 （指速度变化很小的区域）。外流区域的流体可以看作理想流体，而用欧拉方程来计算。至 于边界层内的流动，则可根据边界层理论对N-S方程进行若干简化而求其近似解。   (1-76a) 分量：     (1-76b) 分量：     (1-76c) 应力与形变速率的关系为：     (1-77) 对于复杂流体流动问题，可采用数值流体力学的方法求解。数值流体力学不仅可解决 层流问题，而且已成功应用于解决许多湍流问题。读者可参阅有关专著。 下面我们将就第（1）种情况举几个例子介绍N-S方程的应用。 流体不可压缩，Dr/Dt=0，流动稳定，/t=0，圆管内层流属一维流动，vr=vq=0，且流动 轴向对称，/q=0。将以上诸条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程（式1-46）和N-S 方程（式1-74）中化简得： （1-80） 由/q=0和式1-80可知vz只是r的函数，G只是z的函数。因此可将上式中最后一个表达式中 的偏微分写成常微分，即： (1-81） 经过上述简化，非线性的N-S方程转化成了常微分方程。式的左边是z的函数，而右边是r 的函数，根据数理方程的基本知识，只有两侧同时等于一常数时该式才成立，即： =常数 设管长L内广义压力降为DG=G1-G2，则： 对上式进行两次积分可得通解为： （1-82） 边界条件：r=R（圆管半径）时，v=0；r=0时，v为有限值。 将边界条件代入式1-82得积分常数为： c1=0， 于是，不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为： （1-83） 对比式1-83、1-84可得v与vmax之间的关系为： （1-85） 平均流速 （1-86） 通过以上推导得到了圆管内层流时的速度分布，由此可以进一步求算出工程上有着十分 重要意义的阻力系数。阻力系数又称范宁因子，用f表示，其定义为： 1．圆管内的稳定层流 在化工工业生产中经常遇到不可压 缩流体在圆管内的稳定层流流动，如 图1-20所示。对圆管内的流动，采用 柱坐标系下的方程最为方便。 可见，速度分布为抛物线，如图1- 21所示。当r=0时，即在管中心处， v达到最大，由式1-83得： (1-84)   （1-87） 式中tw为壁应力。由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时： （1-88） 代入式1-87中化简得： （1-89） 式中d为管的直径，Re=dur /m 对管道流动问题，工程上也常用摩擦因数l表示阻力系数，l=4f，于是 （1-90） 式1-89、式1-90适用范围为Re=dur /m≤2000。 上述N-S方程求解结果，无论在速度分布，还是平均流速、阻力系数等方面均与实验结果 十分吻合。 以上推导采用了广义压力概念，故管子无论倾斜放置还是水平放置，上述结果均适用 将以上条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程，得： ，又 因/z=0，可见vq只是r的函数。 化简式1-74b，考虑到vq只是r的函数，故可将式中的偏微分写成全微分，得： 对上式积分两次，得： 边界条件为： ； 代入上式得积分常数为： ， 于是，速度分布方程为： 根据式1-75，外圆筒内壁所受到的剪应力： 若圆筒长为L，则外圆筒内壁上所受到的扭矩M为： (1-91) 由此可见，扭矩M与角速度w、流体粘度m成正比。若已知套筒的几何尺寸，通过实验再测 出扭矩M、角速度w值，则由上式可计算得到被测流体粘度m。这就是双圆筒粘度计（又称旋转 粘度计）的测量原理。 例1-4 20℃水以0.1m/s的平均速度流过内径d=0.01m的圆管，试求1m长的管子壁上所受到的 2．环隙内流体的周向运动 如图1-22所示，两同心 套筒内充满不可压缩流体， 内筒静止，外筒以恒定角速 度w旋转，则套筒环隙间的流 体将在圆环内作稳定周向流 动。设外管内径为R2，内管 外径为R1。 由于流动稳定，/t=0。设圆 筒很长，忽略端面效应，故 vz=0，/z=0。又流动为一维 的，vr=0，且流动周向对 称，/q=0。   流体摩擦力大小。 解 首先确定流型。 查附录得20℃水的物性为：r=998.2kg/m3，m=1.005cP=1.005×10-3Pa×s，于是 可见属层流流动。由式1-88得： N/m2 1m长管子所受的总的摩擦力 N 返回目录 上一页 化工原理网络教程 下一页