材料力学重点及其公式

外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 2.5.2切应力计算公式 横截面上某一点切应力大小为              (3-12) 式中 为该截面对圆心的极惯性矩， 为欲求的点至圆心的距离。 圆截面周边上的切应力为          (3-13) 式中 称为扭转截面系数，R为圆截面半径。 2.5.3 切应力公式讨论 （1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 允许范围内。 （2） 极惯性矩 和扭转截面系数 是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。 表3-3 实心圆 （外径为d） 空心圆 （外径为D， 内径为d）       2.5.4强度条件 圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强度条件为           (3-14)  对等圆截面直杆                （3-15）式中 为材料的许用切应力。 3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系            (3-16) 式中， 是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量； 是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。 3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式              (3-17) 式中，M是横截面上的弯矩； 的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离 最大正应力出现在距中性轴最远点处              （3-18） 式中， 称为抗弯截面系数。对于 的矩形截面， ；对于直径为D的圆形截面， ；对于内外径之比为 的环形截面， 。 若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。 3.2梁的正应力强度条件 梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为                  （3-19） 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为 （3-20a） （3-20b） 式中， 分别是材料的容许拉应力和容许压应力； 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。 3.3梁的切应力                      （3-21） 式中，Q是横截面上的剪力； 是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩； 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。 3.3.1矩形截面梁 切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。 切应力计算公式                （3-22） 最大切应力发生在中性轴各点处， 。 3.3.2工字形截面梁 切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。 切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为      (3-23) 近似计算腹板上的最大切应力：   d为腹板宽度 h1为上下两翼缘内侧距 3.3.3圆形截面梁 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。 最大切应力发生在中性轴上，其大小为        （3-25） 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。 3.4切应力强度条件 梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即              (3-26) 式中， 是梁上的最大切应力值； 是中性轴一侧面积对中性轴的静矩； 是横截面对中性轴的惯性矩；b是 处截面的宽度。对于等宽度截面， 发生在中性轴上，对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。 1. 纯弯曲梁的正应力计算公式 2. 横力弯曲最大正应力计算公式 3. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ， ， 4. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（ 为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度） 5. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 6. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式 7. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式 8. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 9. 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 4.2剪切的实用计算 名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为              （3-27） 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力 ,即        （3-28） 5.2挤压的实用计算 名义挤压应力  假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则              （3-29） 式中， 表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。 挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力              （3-30） 1， 变形计算 圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为 (rad)      (4.4) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为 (rad)          (4.5) 图4.2                  式中 称为圆轴的抗扭刚度。显然， 的正负号与扭矩正负号相同。 公式（4.4）的适用条件： （1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即 ； （2） 在长度l内，T、G、 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即        (rad)        (4.6) 当T、 沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算 。 2， 刚度条件 扭转的刚度条件  圆轴最大的单位长度扭转角 不得超过许可的单位长度扭转角 ,即 (rad/m)      (4.7) 式            （ ）    （4.8） 2，挠曲线的近似微分方程及其积分 在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系 对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得 利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即         （4.9） 将上式积分一次得转角方程为          （4.10） 再积分得挠曲线方程         （4.11） 式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 1、 弯曲 (1)积分法:     (2)叠加法: …= +…，  = … (3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号) ,                     (4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出) = = (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式) 3，梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ，           （4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内，由功能原理得    当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律 ，可得        （4.14） 杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用 表示。线弹性范围内，得        （4.15） 4，圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原 将 与 代入上式得          （4.16）            图4.5 根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度 ：            （4.17） 5，梁的弯曲应变能 在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 将 与 代入上式得              （4.18）  图4.6 横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能 ，即         （4.19） 2．截面几何性质的定义式列表于下： 静 矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 极惯性矩           3．惯性矩的平行移轴公式 静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式： ，                     （Ⅰ-1） 量纲为长度的三次方。 由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 和 。则 由此可得薄板重心的坐标  为  同理有            所以形心坐标 ，                         （Ⅰ-2） 或 ， 由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 ， ； ，则 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积为 ，形心坐标为 ，则其静矩和形心坐标分别为  ，                   （Ⅰ-3） ，           （Ⅰ-4） §Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。 ，   （Ⅰ-5） 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 ，       （Ⅰ-6） 为图形对 轴和对 轴的惯性半径。 组合图形的惯性矩。设 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为 ，       （Ⅰ-7）若以 表示微面积 到坐标原点 的距离,则定义图形对坐标原点 的极惯性矩