02.4综合评价多属性决策中基于离差最大化的最优组合赋权方法研究

在综合评价中, :克服了个人评价的片面性、主观性与局限性,从而提高综合评价结论的可信度 区间直觉模糊多属性决策中基于离差最大化的最优组合赋权方法研究 陈华友 张俊婷 （安徽大学数学科学学院 安徽合肥 230039） 摘要：区间直觉模糊多属性决策中属性权重的确定方法有多种。为了综合各种赋权法的特点，提出了一种基于离差最大化的组合赋权方法。该方法是通过一个最优 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 模型来确定组合权重，使组合权重能反映主观信息和客观信息。最后以实例表明该方法有效性。 关键词：区间直觉模糊多属性决策，组合赋权，离差，最优模型。 Research on Optimal Combination Determining Weights Method for Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Multiple Attribute Decision Making Based on Maximizing Deviations Chen Huayou Zhang Junting (School of Mathematics & Computational Science, Anhui University ,Hefei China,230039) Abstract: There are many methods to determine weights for interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making. Based on maximizing deviations, an optimal combination weights model is proposed in order to make advantage of these methods .The optimal combination weights can have objective and subjective information in the same time. Finally, an example shows effectiveness of this optimal combination weights model. Keywords: interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision making , combination weights, deviations , optimal model. 1.引言 区间直觉模糊多属性决策是多目标决策的一种，它是对具有多个属性的有限 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，且属性值为区间直觉模糊数，按照某种决策准则进行多方案选择和排序。它的实际应用领域广泛，包括社会、经济、管理等诸多领域。区间直觉模糊多属性决策问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的许多求解方法，一般都与属性权重的关系非常密切。所以在区间直觉模糊多属性决策中，权重问题的研究占有重要地位。因为权重的合理性直接影响着多属性决策排序的准确性。目前权系数确定的方法有多种。大体上可分为主观赋权方法和客观赋权方法两大类[1]。主观赋权法是基于决策者给出的主观偏好信息或决策者直接根据经验给出的属性权重的。例如专家调查法、二项系数法、ＡＨＰ法等。客观赋权法是基于决策矩阵信息，通过建立一定的数学模型计算出权重系数的。例如熵技术法，主成分分析法，多目标最优化方法等等。两大类赋权方法各有不同的特点。主观赋权法可以体现决策者的经验判断，属性的相对重要程度一般不会违反人们的常识。但是主观赋权法的随意性较大，决策准确性和可靠性稍差一些，这是其不足之处。客观赋权法存在赋权的客观 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，利用一定的数学模型，通过计算得出属性的权重系数。但客观赋权法的缺点是忽视了决策者的主观知识与经验等主观偏好信息，有时会出现权重系数不合理的现象。 为了让多属性决策的排序结果更科学，一个合理的做法就是将不同的赋权法所得的权重系数按照一定的方法进行组合。通过组合赋权，使得排序结果既能体现主观信息，又能体现客观信息。将主、客观信息综合集成的方法，是一个有研究价值的新课题[1]。文献[1] 、[2 ]分别提出了一种主、客观赋权集成方法，它们均通过建立一个数学规划模型来求解属性组合权重的。目前优化组合赋权方法的研究还不完善, 有必要进一步探讨多种准则下的优化组合赋权方法，并进行比较分析。文献[3] 提出了一种进行多指标决策和排序的离差最大化方法。本文在文献[3 ]的基础上提出了新的基于离差最大化准则下的区间直觉模糊多属性决策的最优组合赋权方法，并利用实例进行验证，表明本文提出的最优组合赋权方法的科学合理性。 利用该方法对文献[1]的实例进行了计算，结果与文献[1]是一致的。这就表明本文提出的最优组合赋权方法的科学合理性。 2．基于离差最大化的区间直觉模糊多属性决策的组合赋权方法的基本原理 对于区间直觉模糊多属性决策问题，设 为方案集， 为属性集，决策者对于方案 关于属性 进行测度，属性值为区间直觉模糊数 ，其中 表示决策者对于方案 关于属性 的满足程度， 表示决策者对于方案 不满足属性 的程度，这里 和 的取值应满足条件 ，从而构成区间直觉模糊数决策矩阵 对主观赋权和客观赋权这两大类赋权方法而言，它们均有若干种具体的赋权方法。假设某个多属性决策问题，有l种具体的赋权方法对n个属性给出权重系数。设第k种赋权方法给出的权向量值为: Wk=(w1k, w2k,…,wnk)T, k =1,2,…, l， 其中wjk≥0, , k =1,2,…, l，j=1,2,…,n 为了综合各种赋权方法的特点，可考虑如下组合赋权Wc =(wc1 , wc2 ,…,wcn)T，令： Wc=θ1 W1+θ2 W2 +…+θl Wl （3） 称Wc =(wc1 , wc2 ,…,wcn)T为组合赋权系数向量。其中θ1 , θ2 ,…, θl为组合权系数向量的线性表出系数。θk ≥0，k =1,2,…, l，且满足单位化约束条件： （4） 令分块矩阵W=( W1 , W2 ,…, Wl ) ，Θ=(θ1 , θ2 ,…, θl ) T，则称W为l种具体的赋权方法组成的权系数向量矩阵。W实际上为n×l的矩阵，Θ为组合权系数向量的线性表出系数组成的l维列向量。此时（3）、（4）式可表为矩阵形式： Wc=WΘ （5） ΘTΘ=1 （6） 根据简单线性加权法，由组合赋权系数向量Wc计算而得的第i个决策方案Si的多属性综合评价值可表示为： ，i=1,2,…,m， （7） 一般而言，Di(Wc)总是愈大愈好，Di(Wc)愈大表示第i个决策方案Si愈优。当组合赋权系数向量Wc已知的时候，可根据（7）式计算出各个决策方案的多属性综合评价值，从而可以对各决策方案进行排序。然而组合赋权系数向量一般是未知的。下面就来进一步讨论Wc的确定方法。 在多属性决策中，如果第j个属性Pj对所有决策方案而言均无差别，则属性Pj对决策方案的排序将不起作用，这样的属性可令其权系数为0；反之，如果Pj使所有决策方案的属性值有较大差异，这样的属性对决策方案的排序将起较大作用，此时应该给Pj赋予较大的权系数。在统计学中，离差是反映差异程度的一个重要指标。基于这样的原理，选择组合赋权系数向量Wc的一个基本思想是使所有n个属性对所有m个决策方案的总离差达到最大[3]。为此定义第i个决策方案和其它决策方案关于属性Pj的离差之和vij(Wc)为： （8） 对于属性Pj来说，设vj(Wc)表示所有m个决策方案与其它决策方案之总离差，则有： （9） 根据前述的选择组合赋权系数向量Wc的基本思想，应该使所有n个属性对所有m个决策方案的总离差达到最大，这样有利于决策方案的排序。于是可构造如下目标函数： （10） 若令n维行向量B1为： 则目标函数 可表为： （11） 其中Wc =(wc1 , wc2 ,…,wcn)T为组合赋权系数向量， 要想求出组合赋权系数向量Wc ，由（5）式知只要求出组合权系数的线性表出系数向量Θ就行了。既然W c为Θ的函数。从而（10）式表明目标函数 也为Θ的函数，此时 可记为F(Θ)。于是基于离差最大化的多属性决策的组合赋权方法即为如下最优化问题，记为模型（1）： 其中W=( W1 , W2 ,…, Wl )为 l种具体的赋权方法组成的分块矩阵 定理1　模型（1）所确定的最优化模型的最优解为： 　 （15） 证明：　构造Lagrange函数：　 其中λ为Lagrange乘子，　令： 所以 （16） 把（16）式代入（13）式且满足（14）式得： ， 所以 证毕。 将（15）式代入（3）式到基于离差最大化的多属性决策的最优组合赋权向量为： Wc*=θ1* W1+θ2* W2 +…+θl *Wl （17） 由于传统的加权向量一般都是满足归一化约束条件，因此为了与人们的习惯用法保持一致，还需要对Wc*=(wc1* , wc2 *,…,wcn*)T进行归一化处理。此时只需可以对θk*，k =1,2,…, l进行归一化处理即可。令： 　　 　　　　　　　（18） 显然 即满足归一化约束条件。 将(18)式代入(3)式得基于离差最大化的多属性决策的最优非负归一化组合赋权向量为：　　　　　　 　 Wc**=θ1** W1+θ2** W2 +…+θl **Wl （19） 实际上对组合赋权系数向量进行归一化处理并不影响决策方案的排序结果。 定理2　分别使用组合赋权系数向量Wc*和Wc**按（7）式对多属性决策问题进行决策方案的排序，则所得到的两个排序结果是相同的，即：若Di(Wc*)> Dj(Wc*)，则有Di(Wc**)> Dj(Wc**)，i，j=1,2,…,m。 证明　由（7）式知： 同理 由（18）式知： 所以 ， 即 因为 >0, 则当Di (Wc*)> Dj (Wc*)时, 则有Di (Wc**)> Dj (Wc**)，i，j=1,2,…,m，证毕。 3．组合赋权方法检验的探讨 从理论上说组合赋权方法可以综合集成主、客观信息，但是还有必要探讨多种组合赋权方法运用的前提条件以及运用的效果。也就是文献[5]指出的组合赋权方法检验的问题。组合赋权方法的事前检验主要用来印证主、客观赋权法的结果是否具有一致性。这可以采用Kendall一致性系数检验法。如果l种具体的主、客赋权方法通过一致性检验，即这l种赋权方法相差不大，此时考虑到计算上的简便性和信息的完备性，可以直接计算l种方法的算术平均[5]，将其作为组合权系数Wc**，即： Wc**=（ W1+ W2 +…+ Wl ）／l （20） 如果l种主、客赋权方法没有通过一致性检验，就可以通过本文提出的基于离差最大化的多属性决策的最优组合赋权向量的分析结果。为了反映本文提出的组合赋权方法与其它方法的合理性，同样有必要研究它的事后检验，组合赋权法的事后检验,可采用Spearman等级相关系数检验法[5]。 综上所述，基于离差最大化的多属性决策的最优组合赋权的计算步骤可归纳为： Step1. 由属性矩阵A=(aij)m×n，根据（1）、（2）式计算规范化的属性矩阵B=(bij)m×n 。 Step2. 采用Kendall一致性系数检验法对各种主、客赋权方法进行一致性检验，若通过检验，按（20）计算组合赋权向量Wc**，转Step4。否则，转下一步。 Step3. 根据定义式计算n维行向量B1 ，计算n维行向量B1和第k 种赋权方法给出的权系数向量Wk的乘积B1Wk，k =1,2,…, l， 根据（15）式计算最优组合赋权向量的线性表出系数Θ*=（θ1* ,θ2* ,…,θl *）T。根据（18）式计算Θ*的归一化向量Θ**=（θ1** ,θ2** ,…,θl **）T，再根据（19）式求出归一化的最优组合赋权向量Wc**。 Step4. 把Wc**代入(7)式计算第i个决策方案Si的多属性综合评价值Di (Wc**)，i=1,2,…,m。 Step5. 与其它方法一起进行组合赋权方法的事后检验，作对比分析。 4．应用举例分析 下面以文献[1]中的例子的数据，给出了本文提出的基于离差最大化的多属性决策的最优组合赋权向量的分析结果。 这是一个在市场上选择机器人的多属性决策问题。考虑一个用户要选择机器人，其方案集为S={S1,S2 ,S3 ,S4}，分别表示4个可供选择的方案；其属性集P={P1,P2 , P3 , P4 }，即有4个属性，它们分别是：P1表示价格(＄10000)；P2表示速度(m/s)；P3表示可重复性(mm)；P4表示负载能力(kg)。其中P1， P3为成本型属性, P2 ，P4为效益型属性。该问题的原始决策矩阵A=(aij)4×4为： 　 根据（1）、（2）式计算规范化的属性矩阵B=(bij) 4×4为： 根据定义式计算n维行向量B1为： 　假设第一类赋权方法为主观赋权方法，机器人用户聘请3个专家给出关于属性的权重向量分别为： W1=(0.3, 0.4, 0.15, 0.15)T ， W2=(0.4, 0.3, 0.15, 0.15)T ， W3=(0.25, 0.25, 0.25, 0.25)T ， 假设第二类赋权方法为客观赋权方法，运用文献[4]给出的客观赋权法,可以求出4个属性的权重向量为： W4=(0.2403 0.2294 0.3062 0.2242)T 上面的四种赋权方法权重向量表明各属性的排序有一定的差异， Kendall一致性系数检验的结果是四种赋权方法不具有一致性。因此计算n维行向量B1和第k 种赋权方法给出的权系数向量Wk的乘积B1Wk，k =1,2,3,4 B1W1=7.6953, B1W2=7.6326, B1W3=5.5596, B1W4= 5.0130, 根据（18）式计算：Θ**=（θ1** ,θ2** ,θ3**,θ4 **）T=（0.2971 0.2947 0.2147 0.1935）T 再根据（19）式求出归一化的最优组合赋权向量： Wc**=θ1**W1+θ2**W2+θ3**W3+θ4**W4= （0.3072 0.3053 0.2017 0.1858）T 把Wc**代入（7）式分别计算第i个决策方案Si的多属性综合评价值Di (Wc**)，i=1,2,3,4 D1(Wc**)= 0.5353 D2(Wc**)= 0.5129 D3(Wc**)=0.4930 D4(Wc**)=0.6142 计算结果表明S4 S1 S2 S3 ，其中“ ” 表示优于。 为了反映本文提出的组合赋权方法的合理性，最后需与文献[1]的方法作事后检验。文献[1]的最优组合赋权向量： W[1]** = （0.2733 0.2688 0.2509 0.2100）T 可见本文提出的组合赋权方法和文献[1]对四种属性有相同的排序，按文献[5]给出的Spearman等级相关系数计算式知，它们与原来的四种赋权方法之间具有相同的平均相关程度，因此对此市场上选择机器人的多属性决策问题，本文提出的方法所得的排序结果和文献[1]是一致的。实例就说明了本文提出的以离差最大化为准则的最优组合赋权方法的有效性。 5．结束语 在多属性决策中，权重问题的研究占有重要地位。因为权重的合理性直接影响着多属性决策排序的准确性。本文给出了基于离差最大化准则下的多属性决策的最优组合赋权方法，它综合了各种赋权方法的特点，通过一个最优化数学模型求出组合赋权系数。本文具有概念清楚、涵义明确的特点，同时计算也不复杂，应用举例表明本方法排序结果准确性。因此本文提出的最优组合赋权方法可操作性较强，具有重要的推广应用价值。 参考文献 [1] 樊治平，张全，马建，多属性决策中权重确定的一种集成方法[J]，管理科学学报，1998，1（3）：50-53 [2] 樊治平，赵萱，多属性决策中权重确定的主客观赋权法[J]，决策与决策支持系统，1997，7（4）：87-91 [3]王应明，运用离差最大化方法进行多指标决策与排序[J]，中国软科学，1998，（3）：36-38 [4]樊治平，多属性决策的一种新方法[J]，系统 工程 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