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首页 (新版)§7.4 基本不等式及其应用

(新版)§7.4 基本不等式及其应用.ppt

(新版)§7.4 基本不等式及其应用

中小学精品课件
2019-03-02 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《(新版)§7.4 基本不等式及其应用ppt》,可适用于高中教育领域

主页山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义基本不等式及其应用主页临沂第一中学XXX高三数学第一轮复习主页不等关系及不等式二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划问题不等式的基本性质一元二次不等式及其解法绝对值不等式基本不等式不等式的实际应用两个实数大小的比较最大(小)值问题绝对值的解法主页忆一忆知识要点基本不等式()基本不等式成立的条件:()等号成立的条件:当且仅当时取等号a>,b>a=b几个重要的不等式()a+b≥ab(ab∈R).()eqf(b,a)+eqf(a,b)≥(ab同号).()ab≤(ab∈R).()eqf(a+b,)≥(ab∈R).unknown()a+b≥ab(ab∈R).()eqf(b,a)+eqf(a,b)≥(ab同号).()ab≤(ab∈R).()eqf(a+b,)≥(ab∈R).unknown()a+b≥ab(ab∈R).()eqf(b,a)+eqf(a,b)≥(ab同号).()ab≤(ab∈R).()eqf(a+b,)≥(ab∈R).unknown()a+b≥ab(ab∈R).()eqf(b,a)+eqf(a,b)≥(ab同号).()ab≤(ab∈R).()eqf(a+b,)≥(ab∈R).unknown主页算术平均数与几何平均数设a>b>则ab的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.利用基本不等式求最值问题已知x>y>则()如果积xy是定值p那么当且仅当时,x+y有最值是(简记:积定和最小)()如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有最值是(简记:和定积最大)小大主页AB题号答案主页利用基本不等式证明简单不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.【例】已知x>y>z>求证:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT≥unknownunknownunknown证明:∵x>y>z>∴eqf(y,x)+eqf(z,x)≥eqf(r(yz),x)>eqf(x,y)+eqf(z,y)≥eqf(r(xz),y)>eqf(x,z)+eqf(y,z)≥eqf(r(xy),z)>∴EMBEDEquationDSMTEMBEDEquatio(,x)+x=-∵-eqf(,x)+(-x)≥eqr()=,当且仅当-x=eqf(,-x),即x=-时等号成立∴f(x)=-≤-=-∴f(x)的最大值为-unknownunknown主页利用基本不等式求最值【例】()已知x<求f(x)=+eqf(,x)+x的最大值()已知x>求f(x)=x+eqf(,x-)的最小值()已知<x<eqf(,)求y=x-x的最大值.()∵x>∴x->∴f(x)=x+eqf(,x-)=x-+eqf(,x-)+≥eqr(x-·blc(rc)(avsalco(f(,x-))))+=+=当且仅当x-=eqf(,x-)即x=时等号成立.∴f(x)的最小值为()∵x>∴x->∴f(x)=x+eqf(,x-)=x-+eqf(,x-)+≥eqr(x-·blc(rc)(avsalco(f(,x-))))+=+=当且仅当x-=eqf(,x-)即x=时等号成立.∴f(x)的最小值为()∵x>∴x->∴f(x)=x+eqf(,x-)=x-+eqf(,x-)+≥eqr(x-·blc(rc)(avsalco(f(,x-))))+=+=当且仅当x-=eqf(,x-)即x=时等号成立.∴f(x)的最小值为()∵x>∴x->∴f(x)=x+eqf(,x-)=x-+eqf(,x-)+≥eqr(x-·blc(rc)(avsalco(f(,x-))))+=+=当且仅当x-=eqf(,x-)即x=时等号成立.∴f(x)的最小值为主页利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值时必须注意三点:“一正,二定三相等”缺一不可.如果项是负数可转化为正数后解决当和(或积)不是定值时需要对项进行添加、分拆或变系数将和(或积)化为定值.() y=x-x=x(-x)=eqf(,)·x·(-x)∵<x<eqf(,)∴x<,-x>∴x(-x)≤=∴y≤eqf(,)当且仅当x=-x即x=eqf(,)时ymax=eqf(,)unknown()y=x-x=x(-x)=eqf(,)·x·(-x)∵<x<eqf(,)∴x<,-x>∴x(-x)≤=∴y≤eqf(,)当且仅当x=-x即x=eqf(,)时ymax=eqf(,)unknown()y=x-x=x(-x)=eqf(,)·x·(-x)∵<x<eqf(,)∴x<,-x>∴x(-x)≤=∴y≤eqf(,)当且仅当x=-x即x=eqf(,)时ymax=eqf(,)unknown()y=x-x=x(-x)=eqf(,)·x·(-x)∵<x<eqf(,)∴x<,-x>∴x(-x)≤=∴y≤eqf(,)当且仅当x=-x即x=eqf(,)时ymax=eqf(,)unknown()y=x-x=x(-x)=eqf(,)·x·(-x)∵<x<eqf(,)∴x<,-x>∴x(-x)≤=∴y≤eqf(,)当且仅当x=-x即x=eqf(,)时ymax=eqf(,)unknown【例】()已知<x<eqf(,)求y=x-x的最大值.主页B()已知x>,y>,x+y+xy=,则x+y的最小值是(  )A.B.Ceqf(,)Deqf(,)依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是依题意得(x+)(y+)=∴(x+)+(y+)≥eqr(x+y+)=即x+y≥当且仅当eqblc{rc(avsalco(x+=y+,x+y+xy=))即eqblc{rc(avsalco(x=,y=))时等号成立.∴x+y的最小值是主页()已知a>b>则a+eqf(,ba-b)的最小值是.∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown∵a>b>∴b(a-b)≤=eqf(a,)当且仅当a=b时等号成立.∴a+eqf(,ba-b)≥a+eqf(,f(a,))=a+eqf(,a)≥eqr(a·f(,a))=当且仅当a=eqr()时等号成立.∴当a=eqr()b=eqr()时a+eqf(,ba-b)取得最小值unknown主页基本不等式的实际应用【例】围建一个面积为m的矩形场地要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)其他三面围墙要新建在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为m的进出口如图所示.已知旧墙的维修费用为元m新墙的造价为元m设利用的旧墙长度为x(单位:m)修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).()将y表示为x的函数()试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.主页()利用基本不等式解决实际问题时应先仔细阅读题目信息,理解题意明确其中的数量关系并引入变量依题意列出相应的函数关系式然后用基本不等式求解.()在求所列函数的最值时若用基本不等式时等号取不到,可利用函数单调性求解.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.解:()设矩形的另一边长为am则y=x+(x-)+×a=x+a-由已知xa=得a=eqf(,x)所以y=x+eqf(,x)-(x>).()∵x>,∴x+eqf(,x)≥eqr(x×f(,x))=∴y=x+eqf(,x)-≥当且仅当x=eqf(,x)时等号成立.即当x=m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是元.主页如图所示,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金宽均为cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为∶此铝合金窗占用的墙面面积为cm,设该铝合金窗的宽和高分别为acm,bcm,铝合金窗的透光部分的面积为Scm()试用ab表示S()若要使S最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少解:()∵铝合金窗宽为acm高为bcma>b>∴ab=①又设上栏框内高度为hcm下栏框内高度为hcm则h+=b∴h=eqf(b-,)解:()∵铝合金窗宽为acm高为bcma>b>∴ab=①又设上栏框内高度为hcm下栏框内高度为hcm则h+=b∴h=eqf(b-,)解:()∵铝合金窗宽为acm高为bcma>b>∴ab=①又设上栏框内高度为hcm下栏框内高度为hcm则h+=b∴h=eqf(b-,)解:()∵铝合金窗宽为acm高为bcma>b>∴ab=①又设上栏框内高度为hcm下栏框内高度为hcm则h+=b∴h=eqf(b-,)主页∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.∴透光部分的面积S=(a-)×eqf(b-,)+(a-)×eqf(b-,)=(a-)(b-)=ab-(a+b)+=-(a+b)+=-(a+b).()∵a+b≥eqr(a·b)=eqr(××)=当且仅当a=b时等号成立此时b=eqf(,)a代入①式得a=从而b=即当a=b=时S取得最大值.所以铝合金窗的宽为cm,高为cm时,可使透光部分的面积最大.主页基本不等式等号成立的条件把握不准致误(分)已知a,b均为正实数,且a+b=,求的最小值.unknown解:方法一EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown解:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT分当且仅当a=b=eqf(,)时取最小值最小值为eqf(,)分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown主页()这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错.()利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件:即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立条件不具备而出错()本题出错的原因前面已分析,关键是忽略了等号成立的条件方法二=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown=ab+eqf(,ab)+eqf(a,b)+eqf(b,a)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b,ab)=ab+eqf(,ab)+eqf(a+b-ab,ab)=eqf(,ab)+ab-分令t=ab≤=eqf(,)即t∈又f(t)=eqf(,t)+t在上是单调递减的分∴当t=eqf(,)时f(t)min=eqf(,)此时a=b=eqf(,)∴当a=b=eqf(,)时y有最小值eqf(,)分unknownunknownunknownunknown主页基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能常常用于比较数(式)的大小或证明不等式解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点选择好利用基本不等式的切入点.恒等变形:为了利用基本不等式有时对给定的代数式要进行适当变形.比如:()当x>时x+eqf(,x-)=(x-)+eqf(,x-)+≥+=()<x<eqf(,)x(-x)=eqf(,)(x)(-x)≤=eqf(,)unknown()当x>时x+eqf(,x-)=(x-)+eqf(,x-)+≥+=()<x<eqf(,)x(-x)=eqf(,)(x)(-x)≤=eqf(,)unknown主页.使用基本不等式求最值其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值这三个条件缺一不可..在运用重要不等式时要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件..连续使用公式时取等号的条件很严格要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.主页作业纸:课时规范训练:P主页预祝各位同学年高考取得好成绩!主页主页一、选择题二、填空题A组 专项基础训练题组题号答案CCB主页三、解答题.若xy∈(+∞)x+y+xy=()求xy的取值范围()求x+y的取值范围.解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-eqblcrc(avsalco(x++f(,x+)))+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.unknown主页三、解答题()x+y=x+eqf(-x,+x)=x+eqf(,x+)-=x++eqf(,x+)-≥eqr()-当且仅当eqblc{rc(avsalco(x=r()-,y=r()-))时等号成立又x+y=x++eqf(,x+)-<因此x+y的取值范围是eqr()-,).()x+y=x+eqf(-x,+x)=x+eqf(,x+)-=x++eqf(,x+)-≥eqr()-当且仅当eqblc{rc(avsalco(x=r()-,y=r()-))时等号成立又x+y=x++eqf(,x+)-<因此x+y的取值范围是eqr()-,).()x+y=x+eqf(-x,+x)=x+eqf(,x+)-=x++eqf(,x+)-≥eqr()-当且仅当eqblc{rc(avsalco(x=r()-,y=r()-))时等号成立又x+y=x++eqf(,x+)-<因此x+y的取值范围是eqr()-,).()x+y=x+eqf(-x,+x)=x+eqf(,x+)-=x++eqf(,x+)-≥eqr()-当且仅当eqblc{rc(avsalco(x=r()-,y=r()-))时等号成立又x+y=x++eqf(,x+)-<因此x+y的取值范围是eqr()-,).()x+y=x+eqf(-x,+x)=x+eqf(,x+)-=x++eqf(,x+)-≥eqr()-当且仅当eqblc{rc(avsalco(x=r()-,y=r()-))时等号成立又x+y=x++eqf(,x+)-<因此x+y的取值范围是eqr()-,)..若xy∈(+∞)x+y+xy=()求xy的取值范围()求x+y的取值范围.解:由x+y+xy=(+x)y=-x则+x≠y=eqf(-x,+x)>,<x<()xy=eqf(-x+x,x+)=eqf(-x-x+x+-,x+)=-x-eqf(,x+)+=-eqblcrc(avsalco(x++f(,x+)))+≤x=时取等号因此xy的取值范围是(,.主页.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown.已知a>b>a+b=求证:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥()≥证明:()eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)=eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(a+b,ab)=∵a+b=a>b>∴eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,a)+eqf(a+b,b)=+eqf(a,b)+eqf(b,a)≥+=∴eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立)unknownunknown主页()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown()方法一 ∵a>b>a+b=∴+eqf(,a)=+eqf(a+b,a)=+eqf(b,a)同理+eqf(,b)=+eqf(a,b)∴==+≥+=∴≥(当且仅当a=b=eqf(,)时等号成立).方法二=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)由()知eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥故=+eqf(,a)+eqf(,b)+eqf(,ab)≥unknownunknownunknownunknownunknown主页一、选择题二、填空题B组 专项能力提升题组题号答案DDB主页.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为m的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛造价为元m在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪造价为元m再在四个空角上铺草坪造价为元m()设总造价为S元,AD的长为xm,试建立S关于x的函数关系式()计划至少投入多少元,才能建造这个休闲小区三、解答题主页三、解答题解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.解:()设DQ=y则x+xy=y=eqf(-x,x)S=x+×xy+××eqf(,)y=+x+eqf(,x)(<x<eqr()).()S=+x+eqf(,x)≥+eqr(×)=当且仅当x=eqf(,x)即x=eqr()时Smin=(元)即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区.主页主页F不等式链(a>,b>)加权平均数调和平均数几何平均数算术平均数主页定理的变式()ab≥ab(a>,b>)(a、b同号)(a<)(a>)(a、b∈R)主页探究:下面几道题的解答可能有错如果错了,那么错在哪里?一不正需变号二不定要变形三不等用单调主页基本不等式基本题型已知条件(a>,b>)求解最大值、最小值主页例.求函数的最大值一不正需变号主页例求函数的最大值当且仅当时取“=”号即当x=时,函数的最大值为二不定要变形主页依据:利用函数(t>)的单调性t∈(,单调递减,t∈,∞)单调递增解:例求函数的最小值在,∞)上单调递增三不等用单调主页当且仅当时取“=”号“”代换法例已知正数x,y满足xy=,求的最小值代码主页解:(方法一)例若正数a,b满足ab=ab,求ab的取值范围当且仅当,即a=b=时取等号主页即a=时,取等号(方法二)当且仅当所以ab≥主页例已知a,b是正数且ab=求证:主页例已知a,b是正数且ab=求证:主页主页主页【】下列函数的最小值为的是()【】若正数x,y满足xy–(xy)=,则有()AD主页【】函数的最大值是【】已知正数x,y满足xy=,则的最小值是【解题回顾】错误的原因在于两次运用均值定理时取等号的条件矛盾(第一次须x=y第二次须x=y)主页所以的最大值是【】若正数a,b满足,求的最大值,即时,取等号当且仅当主页C【】设是非零实数,且满足等式,则实数等于()A. B.C.D.unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown主页【】已知不等式对任意正实数恒成立则的最小值是则正实数的最小值为unknownunknownunknownunknown主页【】主页C化归与转化思想恒成立,则n的最大值是()ABCD【】主页恒成立,则n的最大值是()ABCD【】恒成立,主页【】D三个数成等比数列且则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown主页B【】设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为,则为()A.B.  C.D.unknownunknownunknownunknownunknown主页CDDE【】(·湖北)设称为ab的调和平均数.如图C为线段AB上的点且AC=aCB=bO为AB的中点以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接过OD,AD,BD.过点C作OD的垂线垂足为E.连结ODADBD.过点C作OD的垂线垂足为E.则图中线段OD的长度是ab的算术平均数线段的长度是ab的几何平均数线段的长度是ab的调和平均数.unknownunknown主页C主页主页“十一”节日期间,甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销,以便吸引更多的顾客进行消费甲商场采取的促销方式是在原价a折的基础上再打b折乙商场的促销方式则是两次都打折如果你是顾客,你会进哪个商店采购?主页第届国际数学家大会(简称ICM)于年月日在北京举行主页第二十四届国际数学家大会会标主页ICM会标赵爽:弦图主页大会会标设计的基础是公元世纪中国数学家赵爽的弦图会标对这个图进行了加工变形首先,打开外面正方形的边并放大里面的正方形,这代表着数学家思想的开阔以及中国的开放颜色的明暗使它看上去更像一个旋转的纸风车,这代表着北京人的热情好客主页新世纪第一次发展中国家第一次世界数学最高盛会中国数学百年机遇这届国际数学家大会主席由我国著名数学家,中科院院士,年度国家最高科学技术奖得主吴文俊担任第届国际数学家大会(简称ICM)于年月日在北京举行国家主席江泽民出席大会开幕式并为本届菲尔茨奖获得者颁奖主页赵爽,中国古代数学家东汉末至三国时代的人他的主要贡献是约在年深入研究了《周髀算经》为该书写了序言并作了详细注释其中一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献.它记述了勾股定理的理论证明将勾股定理表述为:“勾股各自乘并之为弦实开方除之即弦.”证明方法叙述为:“按弦图又可以勾股相乘为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中黄实加差实亦成弦实.”主页数学界的战略科学家中科院院士吴文俊吴文俊在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献在国内外享有盛誉他在拓扑学的示性类、示嵌类的研究方面取得一系列重要成果是拓扑学中的奠基性工作并有许多重要应用他创立的“吴文俊方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响有广泛的重要的应用价值主页国际数学家大会(简称ICM)已有多年历史年,首届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行年巴黎大会后,每年举行一次,除了两次世界大战期间中断,一直延续至今它是最高水平的全球性数学科学学术会议,被誉为数学界的“奥运会”主页丘成桐年生,广东汕头人,年毕业于香港中文大学数学系,岁获博士学位,岁因证明世界数学难题卡拉比猜想而引起轰动,华人中惟一获得被称为世界数学领域的诺贝尔奖的菲尔兹奖,美国哈佛大学讲座教授,中科院外籍院士,美国科学院院士,中科院晨兴数学研究中心、浙江大学数学研究中心主任,香港中文大学数学研究所所长菲尔兹奖获得者美籍华人丘成桐主页解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样只能通过模仿和实践来学到它!波利亚代

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