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A Primer in Game Theory_Robert Gibbons_博弈论基础_答案.pdf

A Primer in Game Theory_Robert …

上传者: UC 2011-10-10 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《A Primer in Game Theory_Robert Gibbons_博弈论基础_答案pdf》,可适用于IT/计算机领域,主题内容包含Gibbons《博弈论基础》习题解答(CENET)第一章猪头非整理ebwfcom略不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是:T,M,L,R纯战略纳什均衡符等。

Gibbons《博弈论基础》习题解答(CENET)第一章猪头非整理ebwfcom略不会被重复剔除严格劣战略剔除的战略是:T,M,L,R纯战略纳什均衡是(T,R)和(M,L)。设此博弈的纯战略纳什均衡是(*s,*s)。对于参与人来说*****max{max,max}max{,}sssssssss<===同理**ss=。也即此博弈的纯战略纳什均衡为(*s,*s)且满足**ss=**,ss。对于第i个厂商其目标为最大化自己的利润即:*maxmax()max()iiiiiiiqqpcqaqqcqp==由一阶条件iiqp=可得:**()iiqaqc=……()()式两端乘以再减*iq可得:**iqaQc=……()对于任意的i都成立。所以所有的*iq都相等。由此将***iiiQqnq==å代入()式可得:*()()iqacn=*()()Qnacn=*()()pancn=。当n趋近于无穷时*p趋近于边际成本c市场趋近于完全竞争市场。双方都生产mq时每一方的利润都为()acp=一方生产mq另一方生产cq时生产mq的一方的利润为()acp=生产cq的一方的利润为()acp=双方都生产cq时每一方的利润都为()acp=。以标准式表示为:qmqcp,pp,pp,pp,p因为pp<pp<所以每一方都有一个严格劣战略即qm从而最后的均衡为qmqcGibbons《博弈论基础》习题解答(CENET)第一章猪头非整理ebwfcom(cq,cq)。因为pp>所以均衡状态时每一企业的福利都要比他们相互合作时下降。至于q’不妨令'()qac=则同理可得如下标准式:qmqcq’p,pp,pp,pp,pp,pp,pp,pp,pp,p其中()acp=()acp=()acp=p=。此博弈符合题目要求即(cq,cq)是唯一的纳什均衡并且在纳什均衡下每一企业的福利都要比他们相互合作时低但两个企业都没有严格劣战略。当,cca<<时易求均衡产量*()qacc=*()qacc=。而当cca<<且cac>时纳什均衡解为角点解即*()qac=*q=。此题目说明:当厂商的生产成本有较大差异时具有成本优势的厂商将垄断整个市场而处于成本劣势的厂商将退出市场。简单证明(c,c)为唯一的纳什均衡。首先给定对方定价c己方定价c时利润为。而己方定价高于c时利润为低于c时利润为负。所以给定对方定价c己方定价c是最优反应这对于双方都成立也即(c,c)是纳什均衡。其次由于不存在固定成本所以市场中企业的定价不可能低于c。而双方定价都高于c时每一方理论上都倾向于定价低于对方但无限接近对方从而占据整个市场从而此时没有稳定的均衡而一方定价高于c、另一方定价为c同样不够成稳定均衡因为定价为c的企业更倾向于定价高于c但低于另一方的定价。由此可以证明纳什均衡(c,c)的唯一性。如果有两个候选人唯一的纯战略纳什均衡为**xx==即两候选人集聚于中点平分全部选票。下面简单证明:无论两候选人都在中点右侧都在中点左侧还是分居中点两侧每一候选人都倾向于比另一候选人更接近中点以获得超过半数的选票所以没有稳定的均衡都在中点时每个人都有的胜出概率而偏离必定输掉选举所以没有人会偏离中点。由此得证上述均衡为唯一的纯战略纳什均衡。如果有三个候选人可以用类似于上面的方法证明不存在纯战略纳什均衡:无论三个候选人的相对位置如何都不会形成稳定的均衡。所以题目要求的是混合纳什均衡。具体方法请参见Hotelling,H()“StabilityinCompetition”,EconomicJournal:qmqcq’Gibbons《博弈论基础》习题解答(CENET)第一章猪头非整理ebwfcom略按照求解混合战略纳什均衡的方法去解这些博弈发现不存在混合战略纳什均衡也就证明了。过程略。首先重复剔除严格劣战略可得下面的博弈:LR针对上面的博弈设参与人的战略为(p,p)参与人的战略为(q,q)。则对于来说****()()qqqq=得:*q=对于来说***()()ppp=得*p=。则原博弈的混合战略纳什均衡为:{(,,),(,,)}。按照的解法可得混合战略纳什均衡为:{(,),(,)}。过程略。此博弈有两个纯战略纳什均衡、一个混合战略纳什均衡。纯战略纳什均衡为:(向企业申请向企业申请)(向企业申请向企业申请)。混合战略纳什均衡为:()(){}()(),()(),()(),()()wwwwwwwwwwwwwwww证明:在混合战略纳什均衡中参与人i的混合战略为*ip其中选择第j个纯战略ijs的概率为*ijp。用反证法证明。假设*ijp>且ijs是第一个被重复剔除劣战略所剔除的战略。那么参与人i必定存在另一个纯战略Sik使得(,)(,)iijiiikiuspusp<ip是其他参与人任意的战略组合。因为ijs第一个被剔除那么**(,)(,)iijiiikiuspusp<必然成立。构建参与人i的另一个混合战略'ip其中'ijp=**'ikikijppp=其他纯战略的选择概率不变。因为**(,)(,)iijiiikiuspusp<所以***(,)(',)iiiiiiuppupp<而这与**(,)iipp为混合战略纳什均衡矛盾假设不成立原命题得证。TMGibbons《博弈论基础》第二章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet采用逆向归纳法先最大化家长的收益:给定孩子的行动A来选择自己的行动B,()()pcBMaxVIBkIB一阶条件:'()pVIBk=,Þ*'()()pBIAVk=接着最大化孩子的收益给定家长的反应函数*B来选A:'(()()())cpAMaxUIAIAVk一阶条件:'*''()()()ccpUIBIAIA=由于U是递增又严格凹的'*()cUIB这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同:''()()cpIAIA=采用逆向归纳法先最大化家长的收益:给定的孩子的行动S来选择自己的行动B,()()()pcBMaxVIBkUISUSB一阶条件:''()()pVIBkUSB=反应函数满足:*"""()dBdSkUkUV<=<即孩子储蓄减少家长给予更高的赠与。接着最大化孩子的收益:给定反应函数*B来选S:*()()cSMaxUISUSB一阶条件:''**()()()cUISUSBdBdS=由此可得:''**()()()cUISUSBdBdS<=<(*)因此当增加S时()cUIS会减小同时()dSBdS>SB会增加()USB会增加因为(*)式()USB增加的幅度比()UIS减小的幅度大所以孩子的收益效用增大了同时家长的收益效用也增大了。根据Shaked和Sutton的研究发现我们可以把无限博弈截开(见Gibbons教材页)首先分析前三阶段:假设在第三阶段参与人提出S参与人接受S则解决方案为(SS)。则在第二阶段提出不少于Sd给参与人就会接受解决方案(,)SSdd。则在第一阶段参与人提出不少于()Sdd给参与人就会接受解决方案为(()Sdd()Sdd)推广到无限期从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的所以解:()Sdd=S得出()()Sddd=解决方案:()()(),()()ddddddd略采用逆向归纳法:Gibbons《博弈论基础》第二章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet()在第二阶段企业和企业决策:()cqqqqqaMaxMaxqq=p()cqqqqqaMaxMaxqq=p得反应函数ïïîïïíì==qcaqqcaq()第一阶段企业的决策:()cqqqqqaMaxÞ=qpÞ将qcaqq==代入得caq=caqq==采用逆向归纳法()第一阶段企业最大化其收益:)(====øöççèæ====øöçèæ=åååånwanLnwaLLLLwaLLwaLLwLaLwLaLinijjiijjiinjiinjiipp()第二阶段工会最大化其收益)()()(*waawnwanwawLwawMaxw=ÞÞ所以企业数量不影响工会效用。略思路:逐个分析上述的四种情形:第一种情形第一阶段选择Qi第二阶段选择Pi即双方均采取合作的策略得益均为Gibbons《博弈论基础》第二章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet第二种情形和第三种情形下实际上有一方是采取了不合作其得益为x另一方即利益受损方得益为第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略而根据题目要求对于x下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡所以x必须小于双方均合作时的收益否则第一种情形不会出现因为既然x>了双方均会选择不合作而使情形一不会出现。由题目先前给定的条件x<综合之得x的取值为(,)。(可参见教材页的分析)能够。战略组合为:在第一阶段选择(B,R)若第一阶段的结果是(B,R)则第二阶段选择(T,L)若第一阶段的结果不是(B,R)则第二阶段选择(M,C)。证明为子博弈完美均衡SPE:显然第二阶段的策略组合是NE第一阶段若偏离不选择B而选择T则会增加单位收益但在第二阶段会减少单位收益所以不会偏离若在第一阶段选择B则会选择R所以(B,R)会成为第一阶段的SPE。略使用触发战略双方都采取垄断价格为:()ipac=(最大化利润()()iiappc得出)只要任何一方违背时以后就转向阶段博弈的价格ipc=。如一直使用垄断价格则每个企业收益每期都一样为()iacp=如在t期某企业违背了战略t期开始双方的收益相同都为在t期它的最大收益为()ac(考虑此企业只是把价格边际上减少一点点所有的利润都归它)如不违背则把以后无限期的收益贴现到t期可得d()ac触发战略有效的条件是:d()ac>()ac得到:d>(可参见谢识予的《经济博弈论》习题解答)。略()垄断的产量、价格、利润:π=Q(aQ)CQ利润最大化时:aQ=C从而Q=(ac)此时价格为(ac)。()古诺均衡下的产量、价格、利润:π=(aqi)qicqi),,(nincaqcqqaqiiiii==Þ==åpGibbons《博弈论基础》第二章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet价格为)(==nancncanaP利润为øöçèæ==ncancacncanancip企业违背垄断产量时的各期利润:()ncnanpcannqcqqncanaqcqqqcannaijiiiiiii)()(),())((==Þ==øöçèæ=pp利润为)()(cann要使企业不违背产量须满足:ncancancann)()()()()(dd解之得:)()()(nnnnnd(<δ<)待续>>>>>>Gibbons《博弈论基础》第三章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet略在市场需求为高时企业的最优策略为:max()HHHaqqcq()推出HHaqcq=()在市场需求为低时企业的最优策略为:max()LLLaqqcq()推出LLaqcq=()企业的最优策略为:max{()()()}HHLLaqqcqaqqcqqq()由一阶条件的得:()()()*HHLLaqaqcqqq=()()与()()联立:()()*HLHaacqqq=()*LHLaacqqq=()*HLaacqqq=结论:企业战略(*,*)HLqq企业战略*q为贝叶斯纳什均衡。行动空间:a)类型:{,}HLbb推断:(),()HLLLPbbPbbqq==(),()HHLHPbbPbbqq==效用函数:企业imax{()()()()()iiHjHiiHjLpcapbppcapbpqqmax{()()()()()iiLjHiiLjLpcapbppcapbpqq企业jmax{()()()()()jjHiHjjHiLpcapbppcapbpqqmax{()()()()()jjLiHjjLiLpcapbppcapbpqq求解一阶条件Gibbons《博弈论基础》第三章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet得()()**()LHjHiHHLbbappbbqqq==()(BL)()参与者在左边博弈时选T右边博弈时选B如果参与者推断自然选择左边博弈的概率>参与者选L如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=参与者选L和选R无差异如果参与者推断自然选择左边博弈的概率<参与者选R()参与者以相等的概率选T或选B如果参与者推断自然选择左边博弈的概率>参与者选L如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=参与者选L和选R无差异如果参与者推断自然选择左边博弈的概率<参与者选R()自然选择左边博弈时参与者选T参与者选L自然选择右边博弈时参与者选B参与者选R假设参与者的私人信息为ct参与者的私人信息为pt。,(,)cpttxÎ正面反面正面反面当ctc>时参与者选正面当ptp>时参与者选择反面因此参与者选择正面的概率为xcx选背面的概率为cx参与者选择正面的概率为px选背面的概率为xpx。对于参与者若选正面的收益大于选择反面则:()()cxppxpptxxxx>=〉cptcxp>=()对于参与者若选反面的收益大于选择正面则:()()pxccxcctxxxx>=〉pctpxc>=()()与()联立cp=带入()ct,,pt,,Gibbons《博弈论基础》第三章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet(),,,,cxccxccxcxxxcxcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcxxppcxx========其中由于Game中各方地位对称取第i个人进行分析假设其他所有人的策略都是(),jjvnbjin="则对于第i个人效用最大化:max{()Pr()Pr()Pr()Pr()}(),,()Pr()max{()Pr()Pr()Pr()Pr()}max{(iiiiiiniijjjjiijiiiiiinivbbbbbbibbibbnnjibbvvnnvbnbbnvbbbbbbibbibvb>>>>">=Þ<>=>>>>=服从上的均匀分布ii())}():()()()()v()*v()*niinniiiinnniiiiiiibnnnvnbnvbnnbvnbnvnbnnbnnbn=<==一阶条件二阶条件:解得:由于每个人的地位都是相同的在其他人都选择每个人都不愿离开该策略因此每个人都选择该策略时达到贝叶斯纳什均衡策略Gibbons《博弈论基础》第四章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnetRRMa标准式L’R’纯战略纳什均衡:(L,L’)(R,R’)子博弈精炼纳什均衡:(L,L’)(R,R’)精炼贝叶斯纳什均衡:(L,L’)b标准式L’M’R’,,,,,,,,,纯战略纳什均衡:(R,M’)子博弈精炼纳什均衡:(R,M’)精炼贝叶斯均衡:没有标准式L’R’六种纯战略组合每种组合中都至少有一方存在偏离的动机因此不存在纯战略纳什均衡因此也就不存在纯战略精炼贝叶斯均衡。求混合战略精炼贝叶斯均衡:设参与者选择L、M、R的概率分别为,,()pppp参与者选择L’和R’的概率分别为,()qq在给定参与者的战略下参与者选择L’和R’的收益无差异则:****pppppp=Þ=给定参与者的战略参与者选择L、M、R的收益无差异则:**()**()*():**,*pqqpqqppppppq======又联立得所以LLMLLMLRLGibbons《博弈论基础》第四章习题解答(部分)仅供参考!!Email:beckhamnet答案(见)表示方法第一个括号逗号左边为type发送者信号逗号右边为type发送者信号第二个括号逗号左边为接收到L信号的反应逗号右边为接收到R信号的反应P为信号接收者对type发送L的推断q为信号接收者对type发送R的推断(a)(,),(,),(,),(,),(,),((),),(,),(,),,RRuupRRdupRRduupLRudpqaa><===(b)(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,LLuupqLRdupqRLudpq=<====中文版习题答案(a)(,),(,),,RRudpq>=(b)(,,),(,),,(,,),(,),,LLLuuppqqLLRudppqq==<===GibbonskeychGibbonskeychGibbonskeychGibbonskeych

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