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首页 2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件

2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件.ppt

2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用…

Sky
2019-01-17 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件ppt》,可适用于高中教育领域

高考AB卷学法大视野第二节 导数的应用高考AB卷学法大视野高考AB卷学法大视野知识点一导数与函数的单调性、极值函数的单调性与导数在某个区间(ab)内如果f′(x)那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增如果f′(x)那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减><高考AB卷学法大视野函数极值的概念()判断f(x)是极值的方法一般地当函数f(x)在点x处连续时①如果在x附近的左侧右侧那么f(x)是极大值②如果在x附近的左侧右侧那么f(x)是极小值f′(x)>f′(x)<f′(x)<f′(x)>高考AB卷学法大视野()求可导函数极值的步骤①求f′(x)②求方程的根③检查f′(x)的方程的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得如果左负右正那么f(x)在这个根处取得()极大值点、极小值点统称为极值点极大值、极小值统称为极值f′(x)=f′(x)=极大值极小值高考AB卷学法大视野►利用导数解决单调性问题()求函数的单调区间函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为答案 ()解析 f(x)定义域为(+∞)f′(x)=x-eqf(,x)=eqf((x+)(x-),x)由f′(x)<得<x<高考AB卷学法大视野()利用单调性求参数的取值范围函数f(x)=x+ax在+∞)上是增函数则实数a的取值范围为解析 f′(x)=x+a则x+a≥在+∞)上恒成立即a≥-x在+∞)上恒成立所以a≥-且a=-时f′(x)不恒为答案 -+∞)高考AB卷学法大视野►有关极值的两个易混点:极值点取极值条件()极值点是f(x)取得极值时的x值函数f(x)=x-x的极小值点是解析 f′(x)=x-x=x(x-)由f′(x)=得x=或x=当<x<时f′(x)<当x>时f′(x)>所以x=是f(x)极小值点答案 高考AB卷学法大视野()f′(x)=是函数f(x)在x=x处有极值的必要不充分条件若函数f(x)=x+alnx在x=时取得极值则a=答案 -解析 f′(x)=x+eqf(a,x)由f(x)在x=时取得极值知f′()=所以+a=a=-高考AB卷学法大视野知识点二导数与函数的最值及在实际生活中的应用函数的最值()在闭区间ab上连续的函数f(x)在ab上必有最大值与()若函数f(x)在ab上单调递增则f(a)为函数的最小值f(b)为函数的若函数f(x)在ab上单调递减则f(a)为函数的最大值f(b)为函数的最小值()设函数f(x)在ab上连续在(ab)内可导求f(x)在ab上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(ab)内的极值②将f(x)的各极值与比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值最小值最大值f(a)f(b)高考AB卷学法大视野解决优化问题的基本思路高考AB卷学法大视野►利用导数求函数最值()若为闭区间可直接比较函数值若为闭区间注意利用函数单调性求解函数f(x)=x-x+在上的最小值为解析 f′(x)=x-由f′(x)=得x=±又f()=f()=-f()=-所以f(x)最小值为-答案 -高考AB卷学法大视野突破利用导数研究函数单调性的方法利用导数求函数单调区间的步骤()求函数f(x)的定义域()求导函数f′(x)()在定义域内解不等式f′(x)>和f′(x)<若不等式中带有参数时可对参数进行分类讨论()确定函数f(x)的单调区间高考AB卷学法大视野由函数的单调性求参数的取值范围的方法()可导函数在某一区间上单调实际上就是在该区间上f′(x)≥(或f′(x)≤)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于)恒成立然后分离参数转化为求函数的最值问题从而获得参数的取值范围()可导函数在某一区间上存在单调区间实际上就是f′(x)>(或f′(x)<)在该区间上存在解集这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题()若已知f(x)在区间I上的单调性区间I中含有参数时可先求出f(x)的单调区间令I是其单调区间的子集从而可求出参数的取值范围高考AB卷学法大视野【例】已知函数f(x)=ex-ax-()求f(x)的单调增区间()是否存在a使f(x)在(-)上为减函数若存在求出a的取值范围若不存在请说明理由高考AB卷学法大视野解 f′(x)=ex-a()若a≤则f′(x)=ex-a≥即f(x)在R上单调递增若a>ex-a≥∴ex≥ax≥lna因此当a≤时f(x)的单调增区间为R当a>时f(x)的单调增区间是lna+∞)()∵f′(x)=ex-a≤在(-)上恒成立∴a≥ex在x∈(-)上恒成立又∵-<x<∴e-<ex<e只需a≥e当a=e时f′(x)=ex-e在x∈(-)上f′(x)<即f(x)在(-)上为减函数∴a≥e故存在实数a≥e使f(x)在(-)上为减函数高考AB卷学法大视野点评 ()利用导数的符号来判断函数的单调性()已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题()f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(ab)都有f′(x)≥且在(ab)内的任一非空子区间上f′(x)≠应注意此时式子中的等号不能省略否则漏解高考AB卷学法大视野导数与极值(最值)的求解方略求函数f(x)极值的步骤()确定函数的定义域()求导数f′(x)()解方程f′(x)=求出函数定义域内的所有根()列表检验f′(x)在f′(x)=的根x左右两侧值的符号如果左正右负那么f(x)在x处取极大值如果左负右正那么f(x)在x处取极小值若遇极值点含参数不能比较大小时则需分类讨论高考AB卷学法大视野求函数f(x)在区间ab上的最值的方法()若函数在区间ab上单调递增或递减f(a)与f(b)一个为最大值一个为最小值()若函数在闭区间ab内有极值要先求出ab上的极值与f(a)f(b)比较最大的是最大值最小的是最小值可列表完成高考AB卷学法大视野()求f(x)在区间(-∞)上的极小值和极大值点()求f(x)在-e(e为自然对数的底数)上的最大值【例】已知函数f(x)=eqblc{(avsalco(-x+x(x<),alnx(x≥)))高考AB卷学法大视野高考AB卷学法大视野解 ()当x<时f′(x)=-x+x=-x(x-)令f′(x)=解得x=或x=eqf(,)当x变化时f′(x)f(x)的变化情况如下表:x(-∞)eqblc(rc)(avsalco(f(,)))eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(f(,)))f′(x)-+-f(x)极小值极大值高考AB卷学法大视野故当x=时函数f(x)取得极小值为f()=函数f(x)的极大值点为x=eqf(,)()①当-≤x<时由()知函数f(x)在-和eqblcrc)(avsalco(f(,)))上单调递减在eqblcrc(avsalco(f(,)))上单调递增因为f(-)=feqblc(rc)(avsalco(f(,)))=eqf(,)f()=所以f(x)在-)上的最大值为②当≤x≤e时f(x)=alnx当a≤时f(x)≤当a>时f(x)在e上单调递增则f(x)在e上的最大值为f(e)=a故当a≥时f(x)在-e上的最大值为a当a<时f(x)在-e上的最大值为高考AB卷学法大视野点评 求极值、最值时要求步骤规范、表格齐全含参数时要讨论参数的大小求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯可使问题直观且有条理减少失分的可能高考AB卷学法大视野利用导数求解不等式恒成立问题突破方略利用导数证明不等式的方法()证明f(x)<g(x)x∈(ab)可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)如果F′(x)<则F(x)在(ab)上是减函数同时若F(a)≤由减函数的定义可知x∈(ab)时有F(x)<即证明了f(x)<g(x)()证明f(x)>g(x)x∈(ab)可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)如果F′(x)>则F(x)在(ab)上是增函数同时若F(a)≥由增函数的定义可知x∈(ab)时有F(x)>即证明了f(x)>g(x)高考AB卷学法大视野利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈Df(x)>M∀x∈Df(x)min>M∀x∈Df(x)<M∀x∈Df(x)max<M∃x∈Df(x)>M∀x∈Df(x)max>M∃x∈Df(x)<M∀x∈Df(x)min<M∀x∈Df(x)>g(x)∀x∈Df(x)-g(x)min>∀x∈Df(x)<g(x)∀x∈Df(x)-g(x)max<高考AB卷学法大视野注:上述的大于、小于改为不小于、不大于相应的与最值对应关系的不等式也改变如果函数没有最值则上述结果可以用函数值域相应的端点值表述∀x∈D∀x∈Df(x)>g(x)∀x∈D∀x∈Df(x)min>g(x)max∀x∈D∃x∈Df(x)>g(x)∀x∈D∀x∈Df(x)min>g(x)min∃x∈D∀x∈Df(x)>g(x)∀x∈D∀x∈Df(x)max>g(x)max∃x∈D∃x∈Df(x)>g(x)∀x∈D∀x∈Df(x)max>g(x)min高考AB卷学法大视野【例】设函数f(x)=x+ax+blnx曲线y=f(x)过P()且在P点处的切线斜率为()求ab的值()证明:f(x)≤x-高考AB卷学法大视野()解 f′(x)=+ax+eqf(b,x)由已知条件得eqblc{(avsalco(f()=,f′()=))即eqblc{(avsalco(+a=,+a+b=))解得a=-b=()证明 f(x)的定义域为(+∞)由()知f(x)=x-x+lnx设g(x)=f(x)-(x-)=-x-x+lnx则g′(x)=--x+eqf(,x)=-eqf((x-)(x+),x)高考AB卷学法大视野当<x<时g′(x)>当x>时g′(x)<所以g(x)在()上单调递增在(+∞)上单调递减而g()=故当x>时g(x)≤即f(x)≤x-点评 运用导数证明不等式f(x)>g(x)成立的一般步骤:第一步:构造h(x)=f(x)-g(x)第二步:求h′(x)第三步:判断h(x)的单调性第四步:确定h(x)的最小值第五步:证明h(x)min>成立第六步:得出所证结论高考AB卷学法大视野利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面也是高考的一个新热点其关键是构造适当的函数判断区间端点对应的函数值与的关系实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性并通过单调性证明不等式高考AB卷学法大视野导数与函数的综合问题利用导数研究方程的根函数的零点和图象交点问题是高考题的典型题型该类问题一般可通过导数研究函数的单调性、极值、变化趋势等根据题目要求画出函数图象的走势规律然后分析观察列出相应不等式(或方程)求解要注意转化与化归函数与方程数形结合分类讨论思想的应用高考AB卷学法大视野()求f(x)的单调区间与极值()若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(e上有公共点求实数a的取值范围【示例】已知函数f(x)=eqf(lnx+a,x)(a∈R)g(x)=eqf(,x)高考AB卷学法大视野解 ()函数f(x)的定义域为(+∞)f′(x)=eqf(-(lnx+a),x)令f′(x)=得x=e-a当x∈(e-a)时f′(x)>f(x)是增函数当x∈(e-a+∞)时f′(x)<f(x)是减函数所以函数f(x)的单调递增区间为(e-a单调递减区间为e-a+∞)极大值为f(x)极大值=f(e-a)=ea-无极小值高考AB卷学法大视野()令F(x)=f(x)-g(x)=eqf(lnx+a-,x)则F′(x)=eqf(-lnx+-a,x)令F′(x)=得x=e-a令F′(x)>得x<e-a令F′(x)<得x>e-a故函数F(x)在区间(e-a上是增函数在区间e-a+∞)上是减函数①当e-a<e即a>时函数F(x)在区间(e-a上是增函数在区间e-ae上是减函数F(x)max=F(e-a)=ea-又F(e-a)=F(e)=eqf(a+,e)>由图象易知当<x<e-a时F(x)<当e-a<x≤eF(x)>此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(e上有个公共点高考AB卷学法大视野②当e-a≥e即a≤时F(x)在区间(e上是增函数F(x)max=F(e)=eqf(a+,e)若F(x)max=F(e)=eqf(a+,e)≥即-≤a≤时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(e上只有个公共点若F(x)max=F(e)=eqf(a+,e)<即a<-时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(e上没有公共点综上满足条件的实数a的取值范围是-+∞)高考AB卷学法大视野答题模板 第一步:确定函数定义域并求其导数f′(x)第二步:求函数f(x)单调区间第三步:由f(x)单调区间确定f(x)极值第四步:构造新函数F(x)并求其导数F′(x)第五步:求新函数F(x)的单调性第六步:利用单调性求F(x)最值确定函数F(x)的零点即f(x)与g(x)图象交点个数第七步:明确规范地表述结论第八步:反思回顾查看关键点易错点及规范解答

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