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首页 西北工业大学《概率论与数理统计》3-1 随机变量的数学期望

西北工业大学《概率论与数理统计》3-1 随机变量的数学期望.ppt

西北工业大学《概率论与数理统计》3-1 随机变量的数学期望

精品课件库
2019-06-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《西北工业大学《概率论与数理统计》3-1 随机变量的数学期望ppt》,可适用于综合领域

第一节随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、应用实例一、数学期望的概念问题的提出年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望A、B两人赌技相同,各出赌金元,并约定先胜三局者为胜,取得全部元由于出现意外情况,在A胜局、B胜局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平引例分赌本问题(产生背景)A胜局B胜局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜局、B胜局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局:AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的可能性大小之比为:因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加即为若设随机变量X为:在A胜局B胜局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金则X所取可能值为:其概率分别为:设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:试问哪个射手技术较好引例选拔运动员解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好因而甲、乙两射手的平均水平分别为引例加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩设某学生四年大学各门功课成绩分别为显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种平均值的意义通过上述个引例,我们可以给出如下定义离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为注ºEX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值注º级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变设随机变量X服从参数为n,p二项分布,例(二项分布)设随机变量X~Bn,p,求EX解则有常见离散型随机变量的数学期望其分布律为同时可得两点分布B,p的数学期望为pnp解则有例(泊松分布)因而泊松分布P的数学期望为设随机变量XP(),求EX解这是因为例(几何分布)设随机变量X的分布律为则有设随机变量X服从几何分布,求E(X)常见离散型分布的数学期望小结分布分布律E(X)(分布X~B(,p)k(,p二项分布X~B(n,p)k(,,,…,nnp泊松分布,k(,,,…几何分布k(,,…unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown连续型随机变量数学期望的定义定义设连续型随机变量X的分布密度为即数学期望,px,记为EX,即例(均匀分布)解则有常见连续型随机变量的数学期望设随机变量X服从均匀分布,因而均匀分布数学期望位于区间的中点求E(X)则有解例(正态分布)所以例(指数分布)求EX解解例(伽玛分布)常见连续型分布的数学期望小结分布名称概率密度E(X(均匀分布正态分布(指数分布伽玛分布unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown例解但是数学期望不存在的实例设离散型随机变量X的分布律为由于因而其数学期望EX不存在求EX二、随机变量函数的数学期望(一)一维随机变量函数的数学期望问题的提出XE(X)数学期望f是连续函数,f(X)是随机变量,如:aXb,X等等f(X)数学期望如何计算随机变量函数的数学期望方法(定义法):f(X)是随机变量,按照数学期望的定义计算Ef(X)一维随机变量函数数学期望的计算关键:由X的分布求出f(X)的分布见节的相关内容难点:一般f(X)形式比较复杂的,很难求出其分布方法(公式法):定理设X是一个随机变量,Yf(X),则当X为离散型时,P(Xxk)pk,(k,,…)当X为连续型时,X的密度函数为p(x)求Ef(X)时,只需知道X的分布即可证现在只证明定理的特殊情形:单调连续,xfy为其反函数,并且可导,同时y,则即例设某种商品的需求量X是服从,上的均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间,中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利元若供大于求则削价处理,每处理单位商品亏损元若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利元为使商品所获利润期望值不少于元,试确定最少进货量(考研试题)解设进货量为a,则利润为因此期望利润为因此即最少进货量为单对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以由类似于定理得到二维离散型情形(二)二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量,ZfX,Y为二元函数,如果EZ存在,其中X,Y的联合概率分布为pij二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,ZfX,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则其中X,Y的联合概率密度为px,y例设X,Y的分布律为解X的分布律为求EX,EY,因为(X,Y)的分布律为Y的分布律为计算可得例设XN(,),YN(,),X与Y相互独立,解(作极坐标变换)三、数学期望的性质性质设C是常数,则有ECC证性质设X是一个随机变量,C是常数,则有证性质设X、Y是两个随机变量,则有证推广性质设X、Y是相互独立的随机变量,则有注连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似上述证明只证了一类证例解旅客有个到达一个车站车站可以下车如没有旅客下车就不停车,以X表示停车的次数,求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)引入随机变量Xi,一民航送客车载有位旅客自机场开出,解例且X,Y,Z相互独立,求随机变量WXYZ的数学期望设随机变量X~N,,Y~U,,Z~B,,四、应用实例厂家的销售策略按规定:出售的设备在售出的一年内损坏可予以调换若出售一台设备赢利元,调换一台设备厂方需花费元求厂方出售一台设备净赢利Y的数学期望解依题设,有某设备寿命X(以年计)服从的指数分布寿命不超过年的概率=出售的设备在售出一年之内调换的概率寿命超过年的概率=不需调换的概率因此出售一台设备净赢利Y的分布律为 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票万张,每张元设头等奖个,奖金万元,二等奖个,奖金各千元三等奖个,奖金各千元四等奖个,奖金各百元五等奖个,奖金各元每张彩票的成本费为元,请计算彩票发行单位的创收利润解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行万张彩票的创收利润为(元)如何确定投资决策方向某人现有万元现金,想投资于某项目,为期一年欲估成功的机会为,并可获利万元,失败的机会为,将损失万元若存入银行,同期间的利率为,哪一种方案可使投资的效益较大解设X为投资利润,则存入银行的利息:故应选择投资内容小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值数学期望的性质备用题例求证:随机变量X没有数学期望证由定义,数学期望应为由微积分学可知,右边的级数发散因此,随机变量X没有数学期望设随机变量X的分布律为解由于例(柯西分布)设随机变量X服从柯西分布,求EX因X服从柯西分布,则其密度函数为因而其数学期望E(X)不存在例游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,解已知X在,上服从均匀分布,其密度为电梯于每个正点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起行假设在早上的点的第X分钟到达底层候梯处,且X在,上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望(考研试题)设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则因此解例设随机变量X的分布密度函数为解例(报童问题)设某报童每日的潜在卖报数若记真正卖报数为Y,则Y与X的关系如下:X服从参数为的泊松分布如果每卖出一份报可报酬a,卖不掉而退回则每份赔偿b,若某报童买进n份报,试求其期望所得进一步,再求最佳的卖报份数因此期望所得为记所得为Z,则Z与Y的关系如下:则Y的分布为当a,b,给定后,求n使Mn达到极大利用软件包求得计算结果如下:

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