null第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应 2.3 卷积积分
一、微分方程的经典解 一、信号时域分解与卷积
二、关于0-和0＋初始值 二、卷积的图解
三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应 2.4 系统的性质
一、冲激响应 一、卷积代数
二、阶跃响应 二、奇异函数的卷积特性
三、卷积的微积分性质
四、卷积的时移特性第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立
并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时
间t，故称为时域分析法。这种方法比较直
观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析
法的基础。
第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解微分方程的经典解：第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解齐次解是齐次微分方程的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41
表
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2-1、2-2
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解例：描述某系统的微分方程为第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解解：齐次解为：第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解将其代入微分方程得：全解为：其中待定常数c1、c2由初始条件决定第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解（2）齐次解同上。当激励f(t)=e-2t时，其指数
与特征根之一相重。由表知：其特解为代入微分方程得：第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解求得P1=1 但P0不能求出。全解为：将初始条件代入得：全解为：第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解 上式第一项的系数C1+P0=2, 不能区分C1和P0求出。因而也不能区分自由响应和强迫响应。第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0＋时刻的初始值，即
y(j)(0+)(j=0,1,2,…,n-1)
而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0_时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0_)反应了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始值或起始值。
通常对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0_)设法求得y(j)(0+)第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应第二章 连续系统的时域分析－LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值例：描述某系统的微分方程为
y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)
已知解：将输入 代入上述微分方程得（1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，
在0-
0有：求得其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t，其特解为常数3，于是有代入初始值得：第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.3 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。例1 描述某系统的微分方程为
y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)解：根据h(t)的定义有第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应先求h’(0+)和h(0+)
因为方程右端有 ，故利用系数平衡法。h’’(t)中含有 ，h’(t)含有 ，
h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得由上式得：h’(0+)=1+h’(0-)=1第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应对t>0时，有h’’(t)+5h’(t)+6h(t)=0
故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为代入初始条件得：c1=1，c2=-1，所以第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应例2 描述某系统的微分方程为
y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f’’(t)+2f’(t)+3f(t)
求其冲激响应h(t).解：根据h(t)的定义有（1）先求h’(0+)和h(0+)由方程可知，h(t)中含 ，故令第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应代入式（1），有第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应整理得利用 系数匹配，得：a=1，b=-3，c=12所以（2）（3）（4）第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应对式（3）从0-到0+积分得h(0+)-h(0-)=-3
对式（4）从0-到0+积分得h’(0+)-h’(0-)=12
故h(0+)=-3，h’(0+)=12对t>0时，有h’’(t)+6h’(t)+5h(t)=0微分方程特征根为-2,-3。故系统冲激响应为代入初始条件h(0+)=-3，h’(0+)=12求得c1=3，c2=-6，所以第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应第二章 连续系统的时域分析－冲激响应和阶跃响应一、冲激响应结合式（2），得二、阶跃响应由于 与 为微积分关系，故方法二：教材P54第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.3卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解（1）预备知识问f1(t)=?p(t)可直观得出：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分（2）任意信号分解“0”号脉冲高度f(0)，宽度为 ，用p(t)表示为第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分（2）任意信号分解“1”号脉冲高度 ，宽度为 ，用 表示为：“-1”号脉冲高度 ，宽度为 ，用 表示为：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分2. 任意信号作用下的零状态响应根据h(t) 的定义：由时不变性：由齐次性：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分2. 任意信号作用下的零状态响应由叠加性：卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分2. 卷积积分的定义已知定义在区间 上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)和f2(t)的卷积积分，简称卷积，记为
f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量 下进行的， 为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分例：求yf(t)解：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：（2）反转平移：（3）乘积：（4）积分：注意：t为参变量第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分解：采用图解形式例：f(t)，h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)tt-1第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分t：移动的距离t=0时 未移动t>0时 右移t<0时 左移t从 到 对应 从左向右移动浮动坐标： 上限 下限t-1t20第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分t<0第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分0==3第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分卷积结果再来一遍第二章 连续系统的时域分析－卷积积分第二章 连续系统的时域分析－卷积积分 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时
刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的
上下限是关键。积分的上下限上限取小，下限取大第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数（教材P67-69）1. 交换律：2. 分配律：3. 结合律：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微分性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质三、卷积的微分性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质例1解：通常将复杂函数放前面，代入定义式得：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质例2第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质四、卷积的时移性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质四、卷积的时移性质前例：解：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质四、卷积的时移性质例：解：第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质第二章 连续系统的时域分析－卷积积分的性质小结求卷积是本章的重点与难点。方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易
求积分的函数比较有效。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷
积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。
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