因式分解的常用方法及练习题

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用． 初中数学 初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍 教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a2-b2  (2) 完全平方公式：(a±b)2 = a2±2ab+b2  (3) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (4)  立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)  （5）完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3 下面再补充两个常用的公式： (6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= =           每组之间还有公因式！  =           例2、分解因式： 解法一：第一、二项为一组；      解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。              第二、三项为一组。 解：原式=       原式= =               = =                     = 练习：分解因式1、         2、 （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。                        例4、分解因式： 解：原式=               解：原式= =                     = =                           = 练习：分解因式3、                       4、 综合练习：（1）                 （2） （3）           （4） （5）                             （6） （7）         （8） （9）           （10） 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式—— 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知0＜ ≤5，且 为整数，若 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一个完全平方数。 于是 为完全平方数， 例5、分解因式： 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。  1      2 解： =       1      3  =           1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式：                   解：原式=       1      -1  =                     1      -6  （-1）+（-6）= -7 练习5、分解因式(1)               (2)                 (3) 练习6、分解因式(1)                 (2)                 (3) （二）二次项系数不为1的二次三项式—— 条件：（1）                             （2）                           （3）               分解结果： = 例7、分解因式： 分析：      1      -2 3      -5  （-6）+（-5）= -11 解： = 练习7、分解因式：（1）         （2） （3）       （4） （三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式： 分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1      8b 1      -16b  8b+(-16b)= -8b 解： = = 练习8、分解因式(1) (2) (3) （四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、               例10、 1      -2y          把 看作一个整体  1      -1  2      -3y                            1      -2    (-3y)+(-4y)= -7y                            (-1)+(-2)= -3    解：原式=                 解：原式= 练习9、分解因式：（1）       （2） 综合练习10、（1）             （2） （3）                   （4） （5）           （6） （7）                   （8） （9）                 （10） 五、换元法。 例13、分解因式（1） （2） 解：（1）设2005= ，则原式= = = （2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式= 设 ，则 ∴原式= = = = 练习13、分解因式（1）       （2） 六、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1）           解法1——拆项。                                          解法2——添项。 原式=                                           原式= =     =                                         =                                 = =                                                   = =                                                       = 练习15、分解因式 （2）               （3）                 4） 第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题 1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。 2分解因式： m3-4m=                         . 3.分解因式： x2-4y2= __                _____. 4、分解因式： =___________  ______。 5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为              . 6、若 ，则 =_________， =__________。 二、选择题 7、多项式 的公因式是(      ) A、     B、   C、   D、 8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(      ) A、       B、 C、     D、 10.下列多项式能分解因式的是（    ） (A)x2-y    (B)x2+1    (C)x2+y+y2    (D)x2-4x+4 11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（  ） A．（x－y）（x－y－1）      B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1）      D．（y－x）（y－x＋1） 12．下列各个分解因式中正确的是（  ） A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1） C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1） D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a） 13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（    ） A.2    B.4      C.2y2        D.4y2 三、把下列各式分解因式： 14、                       15、 16、                 17、 18、                     19、 ； 五、解答题 20、如图，在一块边长 =6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长 =3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。 21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 ，外径 长 。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取3.14，结果保留2位有效数字) 22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。 1.分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 因式分解小结 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ， ， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一：将 拆成 ，则有 解二：将常数 拆成 ，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式 的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设 ，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考点拨 1、在 中，三边a,b,c满足   求证： 2、 若x为任意整数，求证： 的值不大于100。 3、 将 试卷（因式分解） 一、填空：（30分） 1、若 是完全平方式，则 的值等于_____。 2、 则 =____ =____3、 与 的公因式是＿ 4、若 = ，则m=_______，n=_________。 5、在多项式 中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若 是完全平方式，则m=_______。7、 8、已知 则 9、若 是完全平方式M=________。 10、 ， 11、若 是完全平方式，则k=_______。14、若 则 ___。 12、若 的值为0，则 的值是________。 13、若 则 =_____。15、方程 ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式 的公因式是（  ） A、－a、  B、   C、   D、 2、若 ，则m，k的值分别是（    ） A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式： 中能用平方差公 式分解因式的有（    ） A、1个，B、2个，C、3个，D、4个 4、计算 的值是（  ） A、   B、 三、分解因式：（30分） 1 、     2 、       3 、      4 、       5、           6、           7、       8、       四、代数式求值（15分） 1、 已知 ， ，求 的值。 2、 若x、y互为相反数，且 ，求x、y的值 3、 已知 ，求 的值 五、计算： （15） （1）  0.75     （ 2） 　  （3） 六、试说明：（8分） 1、对于任意自然数n， 都能被动24整除。 2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。 七、利用分解因式计算（8分） 1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字） 2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。 八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述： 甲：这是一个三次四项式 乙：三次项系数为1，常数项为1。 丙：这个多项式前三项有公因式 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法 若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）