非线性有限元课程报告

1    非线性问题的求解方法 无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后,它们都归结为求解一个非线性代数方程组： …… 其中： , …… 是未知量， , …… 是 , …… 的非线性函数，现引用矢量记号 上述方程组可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为： 还可以将它改写为： 是一个 的矩阵，其元素 是矢量 的函数， 为已知矢量。在位移有限元中， 代表未知的结点位移， 是等效结点力， 为等效结点荷载，方程 表示结点的平衡方程。 在线弹性有限元中，线性代数方程组 可以毫无困难地求解，但对非线性方程组 则不行。一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。为了使这一系列线性解收敛于非线性解，曾经有过许多方法，但这些解法都有一定的局限性。某一解法对某一类非线性问题有效，但对另一类问题可能不合适。因而，根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一个极重要的问题。 1.1    直接迭代法 目前求解非线性方程组的方法一般为线性化方法。若对总荷载进行线性化处理，则称为迭代法。 对非线性方程组： 1-1 设其初始的近似解为 ，由此确定近似的 矩阵 ，根据式1-1可得出改进的近似解 。重复这一过程，以第 次近似解求出第 次近似解的迭代公式为： 1-2 直到Δ 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。在迭代过程中，得到的近似解一般不会满足式1-1，即 。 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。 对于一个单变量问题的非线性方程， 为凸曲线时，直接迭代法的计算过程如图1-1所示，可以看出 就是过曲线上点 与原点的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通过矩阵耦合，迭代过程可能不收敛。同样可以得出 为凹曲线时的情况。 图1-1 为凸曲线 1.2  Newton-Raphson方法 Newton—Raphson方法是求解非线性方程组 1-3 的一个著名方法，简称Newton法。 设 为具有一阶导数的连续函数， 是方程1-3的第 次近似解。若 ，希望能找到一个更好的、方程1-3的近似解为 Δ                                 1-4 将式1-4代入式1-3，并在 附近按一阶Taylor级数展开，则 在 处的线性近似公式为 Δ 。 其中 ， 。 引入记号： 。 假定 为真实解，则由 ，解出修正量为： 1-5 由于这样确定的 仅考虑了Taylor级数的线性项，因而按式1-4和1-5求出的新解仍然是近似解。这样，Newton法的迭代公式可归纳为： Δ                                   1-6 对于单变量的非线性问题 是 曲线上通过点 的切线斜率。Newton法的收敛性是好的，但对某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭代过程中 可能是奇异或病态的，于是 的求逆就会出现困难。为此，可引入一个阻尼因子 ，使矩阵 或者成为非奇异的，或者使它的病态减弱。这里 为 阶的单位矩阵。 的作用是改变矩阵 主对角线元素不占优的情况。当 变大时，收敛速度变慢，当 →0时，收敛速度最快。引入 后，将用下式代替式1-5 1-7 1.3    修正的Newton-Raphson法 采用直接迭代法和Newton法求解非线性方程组时，在迭代过程的每一步都需要重新计算 。如将Newton法迭代公式中的 改用初始矩阵 ，就成了修正的Newton-Raphson法。此时，仅第一步迭代需要完全求解一个线性方程组，并将三角分解后的 存贮起来，以后的每一步迭代都采用公式： 1-8 这样，只需按式1-8右端的 进行回代即可。修正的Newton法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度降低。为了提高收敛速度，可引入过量修正因子 。在按式1-8求出 之后，采用下式计算新解： Δ                               1-9 为大于1的正数。可以采用一维搜索的方法确定 ，此时将 看作n维空间中的搜索方向，希望在这一方向上找到一个更好的近似值，即使不能得到精确解（使 的解），但可通过选择 使 1-10 这是一个关于 的单变量非线性方程。在应用修正的Newton法时，还可以在每经过若干次迭代后再重新计算一个新的，也可达到提高收敛速度的目的。 1.4    增量法 在用线性方法求解非线性方程组时，若对荷载增量进行线性化处理，则称增量法。它的基本思想是将荷载分成许多小的荷载部分（增量），每次施加一个荷载增量。此时，假定方程是线性的，劲度矩阵K为常矩阵。对不同级别的荷载增量，K变化的。这样，对每级增量求出位移增量 ，对它累加就可得到总位移。实际上就是以一系列的线性问题代替了非线性问题。 1.4.1    Euler法 设R为总荷载，引入参数 荷载因子，令 则非线性方程组成为 1-11 问题成为对一个任意给定的 （ ），求 。现设 是对应于 的解，而 是对应于 的解，则有： 1-12 对上式按Taylor级数展开： 略去高次项，令 ，并注意 和式1-11，可得： 1-13 这就是增量法的基本公式，现设 ，将 分成M个增量： ，                         1-14 此时，第m级荷载增量为： 1-15 迭代公式成为 1-16 初始值可取 ， ， ， 一般可取等分值。根据位移增量 ，可求出应变增量 和应力增量 ，则： 1-17 1-18 为初始切线劲度矩阵， 是对应于第m级荷载开始时应力状态 的切线劲度矩阵，式1-16是基本的增量法，又称Euler法，对一维问题，其求解过程如图1-2所示。 图1-2 从图1-2可以看出，每步计算都会引起偏差，使折线偏离曲线，解答产生漂移，随着求解步数的增加，由于偏差的积累使最后的解答离开真解较远，从而降低了计算精度，为此须对这一方法做些改进。 1.4.2    修正的Euler法 将由Euler法第m级荷载增量求得的 作为中间结果，记为 ，它与前一级结果 加权平均为： 1-19 式中 为加权系数，由 确定 ，并代替式1-16中的 ，则得： 1-20 上式就是修正Euler法的基本公式，实际计算步骤为： (1) 由荷载增量 1-21 按下式计算中间位移 ， ， (2) 计算相应于 的劲度矩阵 。 (3) 施加全部荷载增量 ，按式1-20计算 。 2    材料非线性的基本理论 在材料非线性问题中，物理方程中的应力—应变关系不再是线性的。例如在结构中的裂纹尖端存在应力集中现象，当外载荷达到一定数值时该部位进入塑性，而此时结构中的其他部位还处于弹性阶段。又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在荷载和应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物理方程所能描述的。 材料非线性问题可以分为两类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间变化。另一类是依赖于时间的黏弹塑性问题，其特点是荷载作用后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间而继续变化，在荷载保持不变的条件下，由于材料黏性而继续增长的变形称之为蠕变。本文重点讨论弹塑性问题的有限元 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。 2.1    塑性力学的基本法则 2.1.1    初始屈服条件 此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于初始各向同性材料，在一般应力状态下开始进入塑性流动的条件是 ，式中 表示应力张量分量， 的几何意义可以理解为九维应力空间的一个超曲面。 1）V. Mises屈服条件 其中 是材料的初始屈服应力， 是偏斜应力张量分量， 是平均正应力。 并且有以下关系 。其中 是等效应力， 是第二应力不变量。在三维主应力空间，V. Mises屈服条件可以表示为： 其中 、 、 是三个主应力，上式的几何意义是以 为轴线的圆柱面。在过原点O、并垂直于直线 的π平面上，屈服函数 的轨迹是半径为 的一圆周。在 的平面上（即 、 子空间）屈服函数的轨迹是一椭圆，它的长半轴为 ，短半轴为 。 2）Tresca屈服条件 它在主应力空间是以 为轴线并内接V. Mises圆柱面的正六棱柱面。在π平面上的屈服轨迹是内接V. Mises屈服轨迹的正六边形。同样在 、 子空间Tresca屈服轨迹也是内接V. Mises屈服轨迹的正六边形。 2.1.2    流动法则 流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量增量分量之间的关系。V. Mises流动法则假设应变增量可从塑性势导出，即： 其中 是塑性应变增量的分量， 是一正的待定有限量，具体数值和材料硬化法则有关。Q是塑性势函数，一般来说它是应力状态和塑性应变的函数。对于稳定的应变硬化材料，Q通常取和后继屈服函数F相同的形势，称之为和屈服函数相关联的塑性势。对于关联塑性情况，流动法则表示为： 2.1.3    加载卸载准则 该准则用以判别从一塑性状态出发是继续塑性加载还是弹性卸载，这是计算过程中判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必需的，这个准则表述如下： 1）若 ， ，则继续塑性加载。 2）若 ， ，则由塑性按弹性卸载。 3）若 ， ，则应分区考虑：对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载，因为在此条件下可以继续塑性流动。对于硬化材料，此情况是中性变载，即仍保持在塑性状态，但不发生新的塑性流动（ =0）。 以上各式中 按不同材料特性而采用的屈服函数形式而定。对于理想塑性材料和采用各向同性硬化法则的材料： ，对于采用运动硬化法则和混合硬化法则的材料 。 2.2    应力应变关系 其中：