1983年全国
高中数学
高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点
联赛
第一试
1．选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)
⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么
A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
⑵ x=
+
的值是属于区间
A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3)
⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中
A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数
C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定
⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是
A．a≥1
B．a=1
C．a≥1 D．0
R+r B．l≤R+r C．
R+r B．l≤R+r C．
135°，cosB=
60°，矛盾．故cosA=
．
∴ cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－
·
+
·
=
．
⑵ 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个．
解：设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个．即填36．
⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数
，那么积m?n是 ．
解：此六面体可看成是由两个正四面体粘成．每个正四面体的高h1=
a，于是，利用体积可得Sh1=3Sr1，r1=
a．
同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的高h2=
a，又可得 a2h2=4×
a2r2，r2=
a．
∴
=
，∴ m?n=6．
第二试
1．(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx=
，其中x∈[－1，1]
证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，
sin(
－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴
－arccosx∈[－
，
]．
故根据反正弦定义，有arcsinx=
－arccosx．故证．
2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|<
．
证明：不妨取0≤x1
，则x2－x1>
,于是1－(x2－x1)<
,即1－x2+x1－0<
．
而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1－0|+|1－x2|
=1－x2+x1－0<
．故证.
3．(本题满分16分) 在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．
证明 设AC、BD交于点E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶ND=r(r>0)， 则AM∶MC=r．
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