上海交大大学物理习题7

MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713587044452_07 7-1．原长为 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，当物体静止时，弹簧长为 ．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8） 解：振动方程： ，在本题中， ，所以 ； ∴ 。 取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以：   即： 。 7-2．有一单摆，摆长 ，小球质量 ， 时，小球正好经过 处，并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8） 解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率： ， 频率： ， 周期： ； （2）振动方程可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为： ，∴ 根据初始条件， 时： ， 可解得： ， 所以得到振动方程： 。 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方 处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方 处的速度大小。 解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置； 由 ，知 ，∴ ， 振动频率： ； （2）物体在初始位置下方 处，对应着是x=0.03m的位置，所以： ，由 ，有： ， 而 ，那么速度的大小为： 。 7-4．一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 。当 时，位移为 ，且向 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2） 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于 ，且向 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ 又∵t=0时， ， ，由旋转矢量图，可知： 故振动方程为： ； （2）将t=0.5 s代入得： ， ， ， 方向指向坐标原点，即沿x轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于 ， 且向 轴负方向运动，如图示，质点从 位置回到 平衡位置 处需要走 ，建立比例式： ， 有： 。 7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 处，且向左运动时， 相位为 ， 而质点2在 处，且向右运动， 相位为 。 所以它们的相位差为 。 7-6. 质量为 的密度计，放在密度为 的液体中。已知密度计圆管的直径为 。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置：当 时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a： 可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用 来表示，所以力 ，利用牛顿定律： ， 再令： ，可得： ，可见它是一个简谐振动； 周期为： 。 7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为： 。 证明：两根弹簧的串联，由相互作用力相等，有： ，将串联弹簧等效于一根弹簧，仍有： ，考虑到 ， 可得： ，所以： 代入频率计算式，可得： 。 7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 解：由 ， ，有： ， ， （1）当 时，由 ， 有： ， ， ∴ ， ； （2）当 时，有： ∴ ， 。 7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 初相： ， 初相： ， 表明两者处于反相状态， （反相 ， ） ∵ ，∴合成振动的振幅： ； 合成振动的相位： ； 合成振动的方程： 。 7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理： 由图知  =0.01 m ∴A２=0.1 m ， 再利用正弦定理： ，有： ，∴ 。 说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。 7-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为 ，经过 后，振幅变为 。问：由振幅为 时起，经多长时间其振幅减为 ？ 解：根据阻尼振动的特征， ，知振幅： 。 ∵ ，当 时， ，可得： ， 上式两边取对数，得： ； 那么当振幅减为 时，有： ， 两边取对数，有： ，∴ 。 7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求： （1） 求振子在水中的振动周期 ； （2）如果开始时振幅 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解：（1） 有阻尼时： ，而 ， 过一个周期，振幅降为原来的90%，有： ， 可求得： ，代入 ，有： （2）由题意可列出等比数列： ， ， ， 则： ∴ 。 7-13．试画出 和 的李萨如图形。 解：∵ ，∴ 又∵ ，可参考书上的图形。 7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （1）  ；（2）  ； （3）  。试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于 ， 的叠加，可推得： （1）将 ， 代入有： ， 则方程化为： ，轨迹为一般的椭圆； （2）将 ， 代入有： 则方程化为： ，即 ，轨迹为一直线； （3）将 ， 代入有： 则方程化为： ，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。 7-15．在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为 ，求垂直方向的振动频率。 解：从图中可见，李萨如图形在水平方向的切点 是2个，在竖直方向的切点是3个，所以： ， 那么， 。 思考题 7-1．试说明下列运动是不是简谐振动： （1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 1 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量； 2 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 3 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动。 那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动。 （2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为 。题中所述， ，故 ，所以回复力为 。（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 mR ，令 ，则有： 。 7-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： ； 加速度： ； 要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。 7-3．分析下列表述是否正确，为什么? （1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1； （2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 7-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1：使其从平衡位置压缩 ，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2 ，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用 和 表示，则它们满足下面那个关系？ （A）     （B） （C）     （D） 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。 7-5．一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从 运动到 处所需要的最短时间为多少？ 答：质点从 运动到 处所需要的最短相位变化为 ，所以运动的时间为： 。 7-6．一弹簧振子，沿 轴作振幅为 的简谐振动，在平衡位置 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 ，问振子处于 处时；其势能的瞬时值为多少？ 答：由题意，在平衡位置 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 ，所以该振子的总能量为 ，当振子处于 处时；其势能的瞬时值为： 。