光学(赵凯华)习题解答

光学(赵凯华)习题解答《光学》赵凯华（钟锡华）习题解答第一章 P23—5 （1-4）证一：对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到平板上下是同一介质，便可证明最后出射光线与当初入射光线的方向一致。根据几何关系可得侧向位移量为 ) cos sincos(sin 2 21 1 )sincoscos(sin cos )sin( 211 2 21 i iiit iii i tiiABX −= −=−=Δ 1 2 2i ...

《光学》赵凯华（钟锡华）习题解答第一章 P23—5 （1-4）证一：对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到平板上下是同一介质，便可证明最后出射光线与当初入射光线的方向一致。根据几何关系可得侧向位移量为 ) cos sincos(sin 2 21 1 )sincoscos(sin cos )sin( 211 2 21 i iiit iii i tiiABX −= −=−=Δ 1 2 2i 折射定律 sini =nsini 在i2 公式 , 在干涉、衍射、偏振中经常要用到, 我们应当记住。证二： α α α α +δ +⇒ δ= )sin(n → sin （当 0α 时）得出：δ α)1( −n＝ P23—11（1-10）解：设棱镜的折射率为 n ，水的折射率为 n’ ，先求得 n= 60.1 50 2 3550sin = + D DD 2 sin 再由 n=n’ 2 sin 2 sin α α +δm 得 D 25sin 33.1 60.1sin =+ 2 sin 2 ′= αδα n nm '1 32305080.0sin 2 D==+ −mδα 最后求出此棱镜放在水中的最小偏向角为 '411D=mδ p23—14（1-13）解：根据折射定律，得到 n0sin 2 2 111 sin1sin θθθ −= nn 21'1 cosθ == n 因为光线在玻璃芯和外套的界面上发生全反射的条件为 sin 1 2 2 n n≥θ 所以，欲使光线在纤维内发生全反射， 1θ 必需满足 n0sin 2 1 2 1 )(1 n nn −1 ≤θ 故数值孔径为 n0sin 22 1 nn −=θ 'sinsin iDEFng =∠ ng DEFEDF ∠−=∠ D90 nn g 21 光导纤维的数值孔径反映集光本领，是导光传象的重要性能参数之一。 P23—16（1-15）证：毛玻璃的作用是增加散射，以使液层上表面处处为散射源。如图（b）所示，在AB面入射角较小的光线，在AC面出射时折射角较大。以折射角下限i'出射的光线 1ˊ,其共轭光线 1 在AB面的入射角为 900。出射方向观察用的是一架接收平行光用的望远镜，它能接收从AC面出射的一系列不同方向的平行光束，同一方向的平行光在望远镜中会聚于一点。由于AC面出射光线的折射角有一下限i'，因此在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。对图（b）中的 E 点写出折射定律为对图（b）中的 D 点写出折射定律为 D90sinsin nEDF =∠ 又因为 DEFnEDF g ∠=∠ cossin=故由以上三式得 2 '2 2 sin1sin1 gg inDEFn −=∠− gn = '22 sin ing − g g = 201 =− aa P71—8（2-22）解：设 2 fa100 −a 111 =+ 10021 =aa＋得出： faa 10021 = 24f1 =a ,40 ,60 2 ==a 2 3 2 1 −= a a 1 −=v ， 3 2 2 −=v P71—10（2-24）解： jiangyun 椭圆形对L 来说是虚物成实像， 2 =s =′s 152 −=−s 201 =s fs =+ s 111 ′ ， cm60−=f P71—11（2-25）解这是两次成象问题，设对L1的物距、象距分别为s1、s/1,对L2 的物距、象距分别为s2、s’2，并注意到s2=-(s/1-d)，d是L2在L1 0.5 1 0.10 11 ' 1 =+ s右方的距离。把数据代入高斯公式得 0.10 1 )0.5( 11 ' 1 ' 2 − =−−+ ss ' 1s cms 0.102 =′ ,0.10 cm=解得 . 并有 s2=-5.0cm 0.1 0.10 0.10 1 ' 1 1 −=−=−= s sV 所以经此光学系统象成在L2之右 10.0cm处，横向放大率分别为 0.2 0.5 0.10 2 ' 2 2 =−−=−= s sV x 总放大率为V=V1V2=-2 用作图法验证（如图所示）。 P97—4（2-41）解放大镜（或目镜）的工作距离是要使得物体处在第一焦点附近稍靠里一些的小范围内，这样才能形成一个明视距离s0以远的放大虚象供正常人眼观察。所谓“焦深”就是指的上述小范围的纵向间隔Δ ，此值也正是与明视距离相对应的物距。令象距，由牛顿公式得 fs f x fx +−== 0 2 ' 2 )( 0 ' fsx +−= 须知视角放大率M=s0/f，替换上式中的焦距f 得 )1( 0 +−= MM sx jiangyun 椭圆形 x=-s0/M^2 jiangyun 椭圆形 jiangyun 铅笔 jiangyun 铅笔焦深 )1( 0 +== MMxΔ sx cmx 17.4= x x =Δ xΔ 由此算出 M=2x, Δ cm08.2=Δ M=3x, cm83.0M=5x, cm23.0=M=10x, 由此可见，高倍放大镜或目镜的焦距很短，焦深也随之缩短，要求实验调节更要精细。 P97—5（2-42）解一：物镜的横向放大率为 40 4 160 0 ' 0 0 −=−=−= f xV - 800 20＝EM mm4 20 =×显微镜的总放大率为M=V0ME=-40 解二: 参考书本 page 92 已知：目镜的视角放大率 ,物镜的焦距 0 =f 160mm=Δ ， EM× 0 E fMVM Δ−== 0 根据 800−=M 得到： P97—6（2-43）解: （1）物镜成像时：做近似处理 fss 111 =′+ m 像距 m195=′s ，，得出 mm7=f m26.7 m≈s （2）物镜的横向放大率 7.260 −=′−= s sV 1335（3）显微镜的总放大率 mm5 mm250 0 −== ef sVM 7.260 ×−= （4）目镜的焦深 mm1.0 mm)5( 22 −≈−=−=Δ ee fx 5mm-250mm0 − efs jiangyun 椭圆形由，得物镜的焦深 2oo fx =′ox 0.0001mmmm1.0 )188( )7( 222 =×=Δ′−=′Δ′−= eo o o o o o xx fx x fx 222 Δ P104—1（2-46）解如图所示，由几何关系易得孔径光阑即为物镜L0的边框。所以入射光瞳即为物镜本身。出射光瞳为物镜对目镜在象方的共轭。由高斯公式得 0.2 1 22 11 ' =+ es cmse 2.2 ' =解得 1.0 22 2.2' −=−=−= e e e s sV 即出射光瞳的位置在目镜后 2.2cm处。由横向放大率公式 mmcmVDD e 0.55.01.00.50 ' ==×==所以出射光瞳的直径为 P105—5 （2-50）解： (1) 确定孔径光阑、入射光瞳和出射光瞳。先将DD 对 L1 成象到系统物空间去。这时 s=ι=4a, 求得 sˊ=sf1/(s – f1) =(4a×2a)/(4a – 2a)=4a V = - (sˊ/s)= - (4a/4a)= - 1 r3′= r3 | V |= r3 式中r3ˊ为DD的象DˊDˊ的半径,（如图）。再将L2 对 L1 成象到系统的物空间去。这时 s = d = 6a, 求得 s′=sf1/(s – f1)=(6a×2a)/(6a – 2a)=3a V = - (s′/s) = - (3a/6a)= - (1/2) r′2= r2 | V | =(1/2)r2= (3/2)r3 式中r2ˊ为L2 的象L2ˊ （如图）的半径。现在比较DˊDˊ，L2ˊ,L1对轴上物点Q的张角u1,u2,u3的大小: tgu1= r′3/(10a – 4a)=(1/6)( r3/a) tgu2= r′2/(10a – 3a)=(3/14)(r3/a) tgu3= r1/10a=(3/10)(r3/a) 可见u1< u2 设计了现在人所公知的著名的双缝干涉实验,来验证自己的理论.杨氏实验本身也就成为历史上最早测定光波长的一种实际方法 . P180-3 解一: 这种情况下,干涉条纹走向与 x 轴正交,既平行 y 轴.条纹间距公式为 Δx=λ/(sinθ1+sinθ2)=λ/(2sinθ) θ1 θ2角如图所示. (1)(1) 当θ=50 时,Δx1=3.6μm (2) (2) 当θ=300 时,Δx2=0.63μm (3) (3) 上述两种情况下干涉条纹的空间频率分别为f1x=1/Δx1=276/mm f2x=1/ Δx2=1580/mm 均小于记录介质的空间分辨率，所以该介质干板能记录上述两种条纹。解二: 参考书本 page 177 (1) μm6.3 5sin2 6328 5sin2 0 0 01 ===Δ Ax λ (2) μm63.06328 0 2 ===Δ Ax λ 30sin230sin2 00 (3) 11 1 1 mm2000mm276 1 −− <=Δ= xxf 11 2 2 mm2000mm1580 1 −− <=Δ= xxf )]cossin(exp[ 所以介质能够记录下来这两种条纹 P181-6 解: ~ 101111 ϕθθ ++= zkxkiAU )exp(~ 20222 ϕ+= zikAU )]cos sin(exp[~ 30ϕθ +zU 0302010 3333 θ +−= kxkiA 1:2:1:: 321在原点处 , 0=z === ϕϕϕ =, AAA λ π2 321 === kkk )sincos(22 ~~~~ 321 UUUU =++= θkxAA +所以 ) 2 sin~~ (cos16]1)sin[cos(4 4222* θθ AkxAUU =+=⋅ kxI = 强度分布与无关,干涉条纹为垂直于y x轴的一系列直线 U A )sincos(222)sincos()sincos(kx A kx A A A kx θθθ += − + = + )sin(cos16 42 2 2 kxAUI == θ 干涉条纹的特征 θ π θ λ sinsin k x ==Δ 2 , π2 sin1 k θ x f x == u Δ P181-7 解本题是平面波和球面波的干涉问题。实验上可以采用如图（b）所示的装置，把一点源置于旋转抛物面反射镜的焦点上，则经反射后照射在屏幕上的是一列正入射的平面波，由点源直接照射在屏幕上的是一列发散的球面波，且发散中心在轴上。据题意可写出 xy 平面上平面波和傍轴球面波的复振幅分布函数分别为 ~ 1(x,y)=A1 2 ~u (x,y)=A2exp{i[k(x +y )/2a+φ2 2 20]} 式中ϕ 20=常数，为两列波在原点O处的位相差。因此总的复振幅分布为 u~ (x,y)=A1+A2exp[i(k((x2+y2)/2a)+ϕ 20)]=A1+A2expiδ 干涉强度分布为 I（x,y）=u~ (x,y)·u~ (x,y) =A12+A22+2A1A2cosδ(x,y) ϕ式中δ(x,y)=k (x2+y2)/2a+ 20它是xy 面上任一场点两列波的位相差。δ(x,y)=常数点的轨迹。因此任一干涉条纹的轨迹方程为 x2+y2=r2=常数这是中心在坐标原点的圆的标准方程。由此可见干涉条纹形状是以原点为中心的一系列同心圆环。原点的强度究竟是亮还是暗，取决于ф20的值。第 N 级亮环条件为 k(x2+y2)/2a+ϕ 20=2πN 如ϕ 20为 2π的整数倍，既相当于原点为亮点的情形，这时可略去ϕ 20不写，得 rN2=x2+y2=(2a/k)N2π=N2aλ(N=0,1,2,……) 则由中心向外第 N 个亮环的半径为 2 Nr =(N2aλ)1/2= 1rN N 式中r1为中心向外第一个亮环的半径。上式即为亮环的半径公式，它与菲涅耳波带片半波带的半径公式 ρ =(N)1/2p1形式一致。菲涅耳波带片是黑白型的。 P282—1（3-5）解（1）实际上各种分波前干涉装置都可以杨氏双孔实验为原型，它们是严格的或近似的双象系统，其干涉条纹的间距均可以套用公式 d D Δχ= λ 式中 d 为双象的距离，D 为双象中垂线方向至屏幕的距离。在菲涅耳双面镜装置（如图）中， d=2αB D=B+C CB Bα2 + ΔX= λ≈1.13mm 2）因幕上两光束的最大交叠区的宽度为 ΔL≈2αC 所以幕上最多能看到的条纹数为 ΔN≈ΔL/Δx≈22 （3）由于实际装置中，B《C，所以当光源沿纵向 MS 连线方向移远一倍时，则 D=B+C → D′=2B+C≈D d=2αB → d′=2α·2B=2d 于是 ΔX→ΔX′≈1/2 ΔX 即条纹间距密集了一倍。而交叠区的宽度 ΔL 没有变化，故可见条纹数的最大值增大一倍，即 ΔN′≈2ΔN≈44 （4）若点光源横向移动δs，则虚象点S1/′,S2/′随之在半径为B的圆弧上移动δs1′,δs2′,且 δs1/==δs2/=δs 从而保持s1′,s2′的间距d不变，因此条纹间距ΔX保持不变。但是，双象中垂线与屏幕的交点位置（零级）随之移动──以M为中心转了一个角度 β≈δs/B 反映在屏幕上零级位移为 C B δX=Cβ= δs 换句话说，此时幕上的条纹总体发生一个平移。这一点为下一个问题──扩展光源对干涉场反衬度的影响作了概念上的准备。（5）设扩展光源为 b，即其边缘两点间隔 δS=b,若这两套条纹错开的距离（即零级平移量） δX 正好与 ΔX 相等，则幕上反衬度降为 0。据此 C B δX= b CB Bα2 + λ ΔX= 令 δX=ΔX 得光源的极限宽度 b1≈λ∕2α≈0.05mm 从以上讨论中可以看到，菲涅耳双面镜的夹角 α越小，则条纹的间距越大，允许扩展缝光源的宽度越宽，这两点对实际观察是有利的。但是，此时光束的交叠区变小，产生的干涉条纹的数目很少。 P282—3（3-7）解一：洛埃镜为双象干涉装置，双象间隔 d=2α按条纹间距公式 ΔX=Dλ∕d=((A+B+C)/2α λ≈B/2αλ≈1.8mm 交叠区域的线度 21xx =− 12 oxox ΔL= (C+B)tgθ2-Btgθ1 = 而且 tgθ2=a/A, tgθ1=a/A+C 考虑到 B》A，C，得 ΔL=aBC/A(A+C)≈54mm 幕上产生的条纹数目为 ΔN=ΔL∕ΔX≈30（条）解二: 参考书本 page 271 在洛埃镜中, D 3.07mcm5m3cm2 = 5.0 mm++= =a , mm81.1 2 == a xΔ Dλ 根据三角形关系,得到看到条纹的范围 mm82.54)( =+ +′′ −= ldd addlaL 所以可以观察到的条纹 3082.54 === 81.1Δx Ln )( 条 P283—5（3-9）解: (1) 根据等光程原理,得出干涉条纹将向上移动 N LΔ= δλ (2) 102 10589320)000276.1(102 −− × ×=−′×× n 000865.1n =′ P283—6（3-10）解设空气折射率为n,真空折射率为n0,则实验过程中两管光程差的变化等于T1管中光程的变化 δ(ΔL)=Δnl=Nλ 所以 n=n0+Δn=1+Nλ/l≈1.000289 P283—7 （3-11）解一: 根据光场空间相干性反比关系 bΔθ1≈λ 在光源宽度 b 给定的情况下，干涉孔径角（即双缝对光源所张的角间隔）Δθ必须满足 Δθ<Δθ1≈λ∕b 即双缝间隔 d=RΔθ

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