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参赛密码 （由组委会填写） 全全 全全国国第第八八届届研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛 学 校 东北大学 参赛队号 10145003 队员姓名 1. 陈先磊 2. 王辞海 3. 郭铠源 参赛密码 （由组委会填写） 全全国国第第八八届届研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛 题 目 关于房地产业动态系统分析的数学模型 摘 要 万事万物都是相互联系、发展变化的，因此我们在处理问题时，要把握事物之间的 联系，要动态的、系统的看问题。房地产行业在整个国民经济中占有重要位置，它和其 他行业具有千丝万缕的联系，并且对我国的经济发展状况具有重要影响，因此我们在分 析房地产行业的问题时要从全局出发，从系统 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 的角度进行全面分析，才能更好的建 立模型。因此在具体建立模型之前有必要对整个系统中各因素相互之间的关系进行仔细 地分析和总结。由于各个因素相互联系、相互制约，关系十分复杂，因此整体分析难以 下手。我们可以将整个大的模型分成若干子模块，首先分别对各子模块进行分析，然后 再试图寻找各子模块的联系，从而将各子模块联系起来，组成一个完整的系统。对此我 们可以将整个房地产系统分为住房需求模块，住房供给模块、人口预测模块、房地产业 与其他产业之间的关系模块、就业率和房地产业发展关系模块等。本文的主要工作包括 以下几个方面： 1. 针对住房供给模型，我们可以用附件中新建住宅面积来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 征供给量，但数据中 只给出了每一年的数据，是一些离散的点，因此我们不能知道每一个时间点上的供应量 是多少，所以我们可以应用多次样条曲线拟合的方法来拟合供应量的大小，这样拟合误 差较小。另外我们还要预测出今后的住宅供应量，由于数据量不是很大，我们采用 GM （1，1）的方法来建立预测模型。应用多次样条曲线拟合方法和 GM（1，1）方法建模 既可以很好的对未来趋势做预测，又可以很好的拟合出每一时间点的数据。 2. 由于在建立住房需求模型中要用到新增城镇人口数量因此建立城镇人口预测模 型是有必要的。在人口预测模型中，由于 GM（1，1）模型在对小样本预测中具有很强 的优势因此本模型还是应用此算法建立模型。 3. 针对住房需求模型，由于没有能够表征住房需求的统计量，因此我们要重新建 立需求模型来表征需求的大小，然后验证该模型是否可靠。我们分析出住房需求与新增 城镇人口和人们的期望住房面积有直接关系，新增城镇人口可以由人口预测模型间接得 到，然而人均期望住房面积需要建立模型，我们可以假设人均住房面积是在现有人均住 房面积的基础上乘以了一个大于 1 的期望系数，因此我们的任务变成了构造这个期望系 数，我们找出了 5 个可能与人均住房面积相关的统计量，并求其与实际人均住房面积的 相关系数，然后求出一个权重，然后再把权重分别乘以每个因素最大值与均值的比，将 此值作为期望系数，从而建立出人均期望住房面积模型，最后在此模型的基础上得出住 房需求模型。进而按照贝纳西--波特斯模型(B-P 模型)对住宅市场进行非均衡分析，结果 显示商品房销售价格指数和住宅市场非均衡度相关性很显著。 4. 针对房地产业和其他产业的关系模型，我们认识到它们是相互依存、相互制约 的，因此找出它们的制约度和依存度更有实际的意义，在此用舍弃等级论域的模糊综合 评价方法来建立关系模型。然后试图进一步建立一个数量关系将房地产业投资进行量化。 首先用灰色关联度的方法找出与房地产行业关系很大的统计因素，然后利用回归分析建 立数学模型，最后得出它们之间的量化关系。 最后我们对建立的模型及相互关系进行探讨和评价，并依据对模型的分析得出相应 的结论，对国家的政策做出解读。 本模型的创新之处有以下几个亮点： 1. 以系统工程的视角动态的看待问题，将整个系统模型分成不同的子模块来解决， 注重不同子模块之间的联系。 2. 在分析房地产业和其它行业的关系时，采用舍弃等级论域的模糊综合评价方法， 求出它们之间抑 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 和依赖度，并不是单纯的寻找其相关系数。 3. 在建立需求模型时，我们提出了人均期望住房面积的概念，并利用相关系数求 权重的方法寻找出了可以表征它的量。 关键字：房地产，GM（1，1)，样条插值拟合，灰色关联度，舍弃等级论域的模糊综合 评价方法，回归分析法 目录 一、问题的重述 ..................................................................................................................................... 1 1.1 问题的背景 .................................................................................................................................. 1 1.2 问题的提出 .................................................................................................................................. 1 二、基本假设 ......................................................................................................................................... 1 三、符号说明 ......................................................................................................................................... 2 四、问题分析 ......................................................................................................................................... 3 五、模型建立与问题解析 ..................................................................................................................... 4 5.1 住房供给模型 .............................................................................................................................. 4 5.1.1 基本原理 ............................................................................................................................... 4 5.1.2 提取数据 ............................................................................................................................... 5 5.1.3 建立模型 ............................................................................................................................... 5 5.1.4 模型求解及结果分析 ........................................................................................................... 6 5.2 人口预测模型 .............................................................................................................................. 8 5.2.1 提取数据 ............................................................................................................................... 8 5.2.3 模型求解与结果分析 ........................................................................................................... 8 5.3 住房需求模型 .............................................................................................................................. 9 5.3.1 变量的选取依据 ................................................................................................................... 9 5.3.2 建立模型 ............................................................................................................................. 10 5.4 住宅市场供求非均衡模型 .................................................................................................... 12 5.4.1 基本原理 ............................................................................................................................. 12 5.4.2 数据提取及建模 ................................................................................................................. 12 5.4.3 模型求解与结果分析 ......................................................................................................... 14 5.5 房地产业与相关产业关系模型 ................................................................................................ 15 5.5.1 基本原理 ............................................................................................................................. 15 5.5.2 数据预处理 ......................................................................................................................... 16 六、模型的评价与改进 ....................................................................................................................... 22 参考文献 ............................................................................................................................................... 23 附件 ....................................................................................................................................................... 24 1 一、问题的重述 1.1 问题的背景 房地产行业既是国民经济的支柱产业之一，又是与人民生活密切相关的行业之一， 同时自身也是一个庞大的系统，该系统的状态和发展对国民经济的整个态势和全国人民 的生活水平影响很大。近年来，我国房地产业发展迅速，不仅为整个国民经济的发展做 出了贡献，而且为改善我国百姓居住条件发挥了决定性作用。但同时房地产业也面临较 为严峻的问题和挑战，引起诸多争议，各方都坚持自己的观点，然而多是从政策层面、 心理层面和资金层面等因素来考虑，定性分析多于定量分析。显然从系统的高度认清当 前房地产行业的态势、从定量角度把握各指标之间的数量关系、依据较为准确的预见对 房地产行业进行有效地调控、深刻认识房地产行业的经济规律进而实现可持续发展是解 决问题的有效途径。因此通过建立数学模型研究我国房地产问题是一个值得探索的方向。 1.2 问题的提出 利用附录中提供的全国房地产数据、货币数据、人口数据和居民消费数据，以及相 关的国民经济其他行业累计数据等可以查到的数据，建立相应的数学模型，解决以下问 题： （1） 房价一直是人们普遍关心的问题，然而它又与住房供应量和住房需求量相互关 系相互作用，因此利用附件中的数据建立住房供应模型和住房需求模型十分必要。 （2） 在现代经济中，产业之间相互联系、相互依存、相互制约地推动整个国民经济 的发展。房地产的发展涉及到国计民生的众多行业，房地产行业作为新的经济增长点， 其投资规模的快速发展促进了建筑业、金融业、制造业、煤炭开采及洗选也、采矿业、 农林牧渔业等多个国民经济产业的相应增长，同时这些产业的发展反过来又将诱导房地 产业的进一步发展。通过建立数学模型，从定性分析转为定量分析房地产行业与国民经 济其他行业的关系。 （3） 国家为了使经济更好更快发展，就要利用宏观调控的手段，对各行业进行干预 和调整，因此怎样看待国家政策对房地产行业的影响是个十分有意义的事情。 一、 基本假设 （1） 附件中的数据真实可靠，且没有错误。 （2） 中国未来不会发生重大自然灾害且不会出现突发性的全球性的经济危机。 （3） 中国各行业发展平稳。 2 二、 符号说明 符号 解释说明 A 直接消耗系数矩阵 ija 第 i项产业对第 j项产业的直接消耗系数 ijq Leontief逆矩阵 1( )I A  的第 i行第 j 列元素 n 与房地产业相关联的产业个数 if 第 i项产业对其他产业发展的制约度 ~ if 第 i项产业对房地产业发展的制约度 jb 第 j项产业的发展对其他产业的依存度 ~ jb 第 j项产业的发展对房地产业的依存度 X 制造业投资总额累计 Y 房地产业投资总额累计 a,b 回归系数  其他随机因素影响 3 i 的累计贡献率各因素对期望住房面积 i 住房期望系数 N（k+1） 城镇人口数量 N 城镇新增人口 )1( kDE 城镇人均期望住房面积 D 住房需求量 S 住房供给量 三、 问题分析 房地产行业在整个国民经济中 占有重要位置，它和其他行业具有 千丝万缕的联系，并且对我国的经 济发展状况具有重要影响，因此我 们在分析房地产行业的问题时要从 全局出发，全面分析，才能更好的 建立模型。在具体建立模型之前有 必要对整个系统中各个因素相互之 间的关系进行仔细地分析和总结， 其系统动态关系示意图如下： 从上图图 1 可知各个因素相互 联系、相互制约，关系十分复杂， 因此整体分析难以下手。我们可以 将整个大的模型分成若干子模块， 首先分别对各子模块进行分析，然 后再试图寻找各子模块的联系，从 图表 1 系统动态关系示意图 4 而将各子模块联系起来，组成一个完整的系统。对此我们可以将整个房地产系统分为住 房需求模块，住房供给模块、人口预测模块、房地产业与其他产业之间的关系模块、就 业率和房地产业发展关系模块等。本文主要解决以下几个问题： 1. 针对住房供给模型，我们可以用附件中新建住宅面积来表征供给量，但数据中 只给出了每一年的数据，是一些离散的点，因此我们不能知道每一个时间点上的供应量 是多少，所以我们可以应用多次样条曲线拟合的方法来拟合供应量的大小，这样拟合误 差较小。另外我们还要预测出今后的住宅供应量，由于数据量不是很大，我们采用 GM （1，1）的方法来建立预测模型。应用多次样条曲线拟合方法和 GM（1，1）方法建模 既可以很好的对未来趋势做预测，又可以很好的拟合出每一时间点的数据。 2. 由于在建立住房需求模型中要用到新增城镇人口数量因此建立城镇人口预测模 型是有必要的。在人口预测模型中，由于 GM（1，1）模型在对小样本预测中具有很强 的优势因此本模型还是应用此算法建立模型。 3. 针对住房需求模型，由于没有能够表征住房需求的统计量，因此我们要重新建 立需求模型来表征需求的大小，然后验证该模型是否可靠。我们分析出住房需求与新增 城镇人口和人们的期望住房面积有直接关系，新增城镇人口可以由人口预测模型间接得 到，然而人均期望住房面积需要建立模型，我们可以假设人均住房面积是在现有人均住 房面积的基础上乘以了一个大于 1 的期望系数，因此我们的任务变成了构造这个期望系 数，我们找出了 5 个可能与人均住房面积相关的统计量，并求其与实际人均住房面积的 相关系数，然后求出一个权重，然后再把权重分别乘以每个因素最大值与均值的比，将 此值作为期望系数，从而建立出人均期望住房面积模型，最后在此模型的基础上得出住 房需求模型。 4. 针对房地产业和其他产业的关系模型，我们认识到它们是相互依存、相互制约 的，因此找出它们的制约度和依存度更有实际的意义，在此用舍弃等级论域的模糊综合 评价方法来建立关系模型。然后试图进一步建立一个数量关系将房地产业投资进行量化。 首先用灰色关联度的方法找出与房地产行业关系很大的统计因素，然后利用回归分析建 立数学模型，最后得出它们之间的量化关系。 5. 另外，我们还分析了失业率和房地产景气指数的相关系数以及就业率和国民生 产总增速的关系，并由此得出房地产业发展与失业率的关系。 最后我们对建立的模型及相互关系进行探讨和评价，并依据对模型的分析得出相应 的结论，对国家的政策做出解读。 四、 模型建立与问题解析 5.1 住房供给模型 5.1.1 基本原理 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算， 以及对在特定时区内发生事 件的未来时间分布情况做出研究等等。 这些工作实质上是将 “随机过程” 当作 “灰 色过程”“随机变量”当作“灰变量” ，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进 行处理。灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程， 5 进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型， 而且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为 GM（Grey Model），即 灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数， 建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 5.1.2 提取数据 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 城镇新 1.73 1.92 2.4 3.08 3.57 3.75 3.95 4.06 4.76 5.59 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 城镇新 5.49 5.75 5.98 5.5 5.69 6.61 6.3 6.88 7.6 8.21 表 1 各年城镇新建住宅面积 5.1.3 建立模型 令 (0)X 为 GM(1,1)建模序列， (0) (0) (0) (0)( (1), (2),..., ( ))X x x x n （5-01） (1)X 为 (0)X 的 1-AGO（一次累加生成）序列， (1) (1) (1) (1)( (1), (2),..., ( ))X x x x n （5-02） (1) (0) 1 ( ) ( ) k i x k x i   , 1,2,...,k n （5-03） 令 (1)Z 为 (1)X 的紧邻均值（MEAN）生成序列 (1) (1) (1) (1)( (2), (3),..., ( ))Z z z z n （5-04） )()1( kz =0.5 )()1( kx +0.5 )1()1( kx （5-05） 即定义：GM(1,1)的灰微分方程模型为 bkazkx  )()( )1()0( (5-06) 式中 a称为发展系数，b为灰色作用量。设ˆ 为待估参数向量，即 ˆ ( , )Ta b  ，则灰微分 方程的最小二乘估计参数列满足：   = n TT YBBB 1)(  (5-07) 其中 6 B = (1) (1) (1) (2) 1 (3) 1 ... ... ( ) 1 z z z n              ， nY = (0) (0) (0) (2) (3) ... ( ) x x x n              定义： (1) (1)dx ax b dt   (5-08) 求解以上微分方程得： GM(1,1)灰色微分方程 bkazkx  )()( )1()0( 的时间响应序列为 (1)ˆ ( 1)x k  [ (1)(0) b x a  ] ake + b a ， 1,2,...,k n (5-09) 5.1.4 模型求解及结果分析 根据模型求得发展系数和灰色作用量： 0.0561a   2 . 7 8 8 5b  住宅供给量时间响应序列为： 4968014101.51)1( 056.0)1(  kekN （5-10） 住宅供给量随时间变化关系如下： )(4101.51)()1()1( )1(056.0056.0)1()1()0(  kk eekNkNkNS （5-11） 序号 年份 原始值 模拟值 残差 相对误差 级比偏差 1 1990 1.73 1.73 0 0 2 1991 1.92 2.968097 -1.0481 0.545884 0.046924 3 1992 2.4 3.139457 -0.73946 0.308107 0.153801 4 1993 3.08 3.320709 -0.24071 0.078152 0.17578 5 1994 3.57 3.512426 0.057574 0.016127 0.087432 6 1995 3.75 3.715211 0.034789 0.009277 -0.00698 7 1996 3.95 3.929704 0.020296 0.005138 -0.00419 8 1997 4.06 4.156581 -0.09658 0.023788 -0.02909 9 1998 4.76 4.396555 0.363445 0.076354 0.097802 10 1999 5.59 4.650385 0.939615 0.168089 0.099305 11 2000 5.49 4.918869 0.571131 0.104031 -0.07702 12 2001 5.75 5.202853 0.547147 0.095156 -0.00992 13 2002 5.98 5.503233 0.476767 0.079727 -0.01707 14 2003 5.5 5.820955 -0.32096 0.058356 -0.15006 15 2004 5.69 6.157021 -0.46702 0.082077 -0.02243 16 2005 6.61 6.512488 0.097512 0.014752 0.089471 7 17 2006 6.3 6.888479 -0.58848 0.093409 -0.1098 18 2007 6.88 7.286176 -0.40618 0.059037 0.031421 19 2008 7.6 7.706834 -0.10683 0.014057 0.042459 20 2009 8.21 8.151778 0.058222 0.007092 0.020841 表 2 各年城镇新增住房面积拟合表 图表 2 各年城镇新增住房面积拟合图 由结果可知，相对误差有的前些年份已经超过 50%，因此拟合程度不好，但是后五 年的相对误差小于 6%，因此可用来预测。为了弥补拟合程度不好，采用三次样条插值的 方法进行曲线拟合。结果如（图 01）所示。 图表 3 三次样条插值曲线拟合图 0 2 4 6 8 10 19 90 19 91 19 92 19 93 19 94 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 原始值 模拟值 8 由上图可知，三次样条插值拟合的效果良好，可以用来弥补 GM(1,1)拟合程度不好的缺 陷。 5.2 人口预测模型 5.2.1 提取数据 年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人口(万人) 31203 32175 33173 34169 35174 37304 39449 41608 43748 45906 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 人口(万人 48064 50212 52376 54283 56212 57706 59379 60667 62186 66557 表 3 各年城镇人口增长表 5.2.3 模型求解与结果分析 根据 GM(1,1)所建立的人口预测模型，计算出 20 年间的拟合数据见下表（5-01）： 序号 年份 原始 值 模拟值 残差 相对误 差 级比偏 差 1 1991 31203 31203 0 0 2 1992 32175 32658.74 -483.745 0.015 -0.0094 3 1993 33173 33992.81 -819.81 0.0247 -0.0095 4 1994 34169 35381.37 -1212.37 0.0355 -0.0105 5 1995 35174 36826.65 -1652.65 0.047 -0.0111 6 1996 37304 38330.97 -1026.97 0.0275 0.0186 7 1997 39449 39896.74 -447.739 0.0113 0.0157 8 1998 41608 41526.47 81.53357 0.002 0.0132 9 1999 43748 43222.77 525.2337 0.012 0.0101 10 2000 45906 44988.36 917.6422 0.02 0.0081 11 2001 48064 46826.07 1237.929 0.0258 0.0059 12 2002 50212 48738.85 1473.147 0.0293 0.0037 13 2003 52376 50729.77 1646.231 0.0314 0.0022 14 2004 54283 52802.01 1480.989 0.0273 -0.0043 15 2005 56212 54958.9 1253.098 0.0223 -0.0051 16 2006 57706 57203.9 502.1014 0.0087 -0.0139 17 2007 59379 59540.6 -161.6 0.0027 -0.0115 18 2008 60667 61972.75 -1305.75 0.0215 -0.0188 19 2009 62186 64504.26 -2318.26 0.0373 -0.0154 20 2010 66557 67139.17 -582.168 0.0087 0.0275 表 4 各年城镇人口拟合表 根据城镇人口总数数据表，基于GM（1，1）法利用MATLAB编程得到灰色模型中参 9 数： 3076,04.0   ba ， 则人口的时间响应序列为： 76900108103)1( 04.0)1(  kekN k=1,2,„,n （5-12） 城镇人口随时间（年）的变化关系式： )()1()1( )1()1()0( kNkNkN  （5-13） 其中1代表1991年,2代表1992年„ 模拟值与原始值对比效果如表： 图表 4 各年城镇人口拟合表 由对比效果图可以看出，人口模型很好的模拟了人口的变化趋势。 5.3 住房需求模型 5.3.1 变量的选取依据 研究住房需求，首先，必须处理好理论需求(潜在需求)和实际需求(有效需求)的关 系，要充分考虑实际需求。影响住房需求的因素众多，长期来看主要因素包括： （1） 人口和家庭状况； （2） 城镇居民人均建筑面积； （3） 地区经济发展水平； （4） 住房价格； （5） 家庭收入水平； （6） 年期平均利率。 选择这些变量的依据： （1）人口和家庭状况。衡量人口和家庭状况的因素很多，主要包括两个方面：一 是城市人口数量发展趋势与人口结构（包括人口的年龄结构、性别结构、职业结构和流 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 19 91 19 93 19 95 19 97 19 99 20 01 20 03 20 05 20 07 20 09 原始值 模拟值 10 动人口的结构等）；二是家庭数量与结构。考虑到变量资料数据的易取得性以及可量化 性，此处选择年底城镇人口数（万人）作为衡量人口的因素进入模型。 （2）城镇居民人均建筑面积。随着生活水平的提高，人均住房面积不断变大直接 影响着住房需求，必须考虑。 （3）经济发展水平。考虑到经济发展水平对住房消费的影响也体现在对地区基础 设施的改善和社会整体消费能力的影响，进而影响到住房的地区整体消费环境。因此， 本节将国内生产总值（亿元）代表经济发展水平引入模型。 （4）住房价格。本节选定商品房销售平均价格作为变量进入模型。 （5）收入水平。衡量收入水平的因素很多，对住房的需求影响最直接的有家庭可 支配收入水平和家庭资产。家庭收入包括过去收入转变成的各种储蓄(公积金储蓄、银 行储蓄等)、有价证券和可以变现的其它物品，以及将来可能取得的收入，积蓄决定家 庭支付首期付款能力，而家庭月收入决定家庭支付抵押贷款月还款额的能力。某一时间 段内，只有收入达到一定程度的家庭才会对当前的住房市场产生有效需求。本节选择城 镇居民家庭、平均每人每年实际收入（元）、年均每人可支配收入（元）、恩格尔系数（%） 作为变量进入模型。 （6）年期平均利率。利率是国家调控的手段，对住房需求也有很大影响。 5.3.2 建立模型 根据以上分析我们不妨把影响住房需求的因素分成两大类：人口是一类；人均期望 住房需求面积为一类。人均住期望房面积用剩余五个因素来衡量，用期望系数来具体表 示。 由此得出住房需求模型如下：D= N  )1( kDE 注： N 为新增城镇人口 )1( kDE 人均期望住房面积 根据以上选取的影响因素从 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 中提取相关数据如下： 商品房本年 销售价格 城镇家庭平均每 人可支配收入 年期平 均利率 城镇家庭恩 格尔系数 国内生产总 值（现价） (元/平方米) (元) (%) (亿元) 1995 1591 4282.95 10.98 50.1 60793.7 1996 1806 4838.9 8.325 48.8 71176.6 1997 1997 5160.3 5.67 46.6 78973 1998 2063 5425.1 4.59 44.7 84402.3 1999 2053 5854 2.25 42.1 89677.1 2000 2112 6279.98 2.25 39.4 99214.6 2001 2170 6859.6 2.25 38.2 109655.2 2002 2250 7702.8 1.98 37.7 120332.7 2003 2359 8472.2 1.98 37.1 135822.8 2004 2778 9421.6 2.07 37.7 159878.3 2005 3168 10493 2.07 36.7 184937.4 11 2006 3367 11759.5 2.52 35.8 216314.4 表 5 需求模型影响因素 首先对以上数据 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化处理 j j j S XX Z   （5-14） j=1，2，3，„.12 分别对应 1995年到 2006 年 求城镇居民人均建筑面积与各因素的相关系数矩阵 ),,,,( 54321 rrrrrR  ， 求出累计贡献率，并用它作为权重来衡量各因素对城镇居民人均建筑面积的影响程 度。 各因素累计贡献率： i i 5 i i r r    （5-14） 标准化系数：     12 j i 12 1 Zmax j jZ  （5-15） i=1，2，3，4，5 期望系数： 5 i( )i i     （5-16） 代入数据求得住房期望系数 81.79531662 应用 GM(1,1)可求出城镇居民人均建筑面积的时间响应序列为： 59.32789.343)1( 0479.0 )1(  kekD （5-17） 人均建筑面积随时间（年）的变化关系式： )(89.343)()1()1( )1(0479.00479.0 )1()1()0(  kk eekDkDkD （5-18） 人均期望住房面积随时间（年）的变化关系式： )(89.34381.79531662)1()1( )1(0479.00479.0 )0(  kkE eekDkD  （5-19） 12 图表 5 城镇居民人均建筑面积模拟值与原始值对比效果 整合以上公式得出住房需求模型： )(89.34381.79531662)2(108103 )1( )1(0479.00479.0)2(04.0)1(04.004.0    kkkkk E eeeee kDND （5-20） 5.4 住宅市场供求非均衡模型 5.4.1 基本原理 住宅市场非均衡分析模型：按照贝纳西——波特斯模型(B-P 模型)对住宅市场进行 非均衡分析。该模型对市场非均衡的一个重要认定是：市场总交易量将等于总需求量和 总供给量两者之中的最小量，在市场非均衡分析中应遵循“短边规则"。令 min（D,S） 为时期 t 的总成交量；D 表示时期 t 的需求量，S 表示时期 t 的供给量，这样，一般的 非均衡模型为： ),min( SD SD F   （5-21） 式中，F为住宅市场非均衡度，D为住宅市场的有效需求总量，S为住宅市场的有效 供给总量，min（D,S）为住宅市场的实际交易量。 根据非均衡理论，住宅市场的有效需求和有效供给与概念需求和概念供给是两个不 同的概念。为了区分均衡和非均衡状态下需求与供给性质的差异，在非均衡理论中，把 行为主体唯一地根据市场价格信号做出他们的买卖决策的需求或供给叫做概念需求或 概念供给。而实际上，在存在非均衡市场的情况下，当行为主体面对不同的数量约束， 他们都将修正原来的需求或供给，这种不仅考虑了价格信号，而且也考虑了非均衡市场 上的数量信号后形成的需求或供给叫做有效需求或有效供给。 5.4.2 数据提取及建模 对 1998-2010年度，这里直接采用已有的商品房销售面积指标和商品住房竣工面积 两个指标的年度数据，直接按照非均衡度计算公式来测算住宅市场非均衡度，进而得到 1998年到 2010年房地产住宅市场的非均衡度如下表。 0 5 10 15 20 25 30 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 原始值 模拟值 13 住宅销售 面积 （万平方米） 住宅本年竣工面 积（万平方米） 供应非均衡度 1998 10662.22 15392.73 -0.44367027 1999 13380.58 19783.57 -0.47852858 2000 16984.14 23027.92 -0.35584846 2001 20779.24 27303.16 -0.31396336 2002 24969.27 32522.81 -0.30251345 2003 32247.24 39509.75 -0.22521338 2004 38231.64 42464.87 -0.11072583 2005 55769.14 48792.52 0.142985441 2006 60628.14 53019.36 0.143509465 2007 76192.7 58235.88 0.308346332 2008 62088.94 58502.01 0.061312936 2009 93713.04 70218.76 0.334586939 2010 104349.11 75960.97 0.373720083 表 6 住宅供需原始数据表 处理步骤如下： 相关数据提取：对相关数据应用模型进行运算，整合结果如下 绘制住宅供需非平衡度随时间的变动图： 图表 6 住宅市场供需非平衡度图 从图可以看出．直接用供需总量的指标测算出来的住宅市场非均衡度在 1998 年～ 2004年间为负值，且较多，说明该段时间住宅市场供给远大于需求，这真实地反映了该 段时问内住宅市场供大于求的实际情况：2005年以后非均衡度迅速上升，说明市场需求 增加较快：2004 年非均衡度接近于零点，反映出供求相对均衡；2004～2010 年非均衡 供需非均衡度 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 14 度为正值，说明这段时间内市场供给不能满足需求。 5.4.3 模型求解与结果分析 通过上述分析，可以认为： （1） 通过供需数据计算非均衡度的结果表明，住宅市场是个非均衡市场。直接采 用实际指标的分析方法能够将受政策调控等住宅市场外部因素影响的结果看得更加清 楚，从而得到更准确的分析结论。 （2） 供求关系在一定条件下是可以转换的。当政策或市场条件发生变化时，原先 供给大于需求的局面可能会转换成供求基本平衡或供不应求。当市场供给大于需求时， 应该调整供应，激活需求；当供求基本平衡时，应努力保持市场供给与需求基本稳定； 当供给小于需求时，应该扩大供给，抑制需求。 （3） 实现市场均衡的最佳目标是均衡度为零。2005 年以来均衡度为负，说明在 政策影响下市场需求不足，但是供给的时滞性造成供给持续加大，为此，在未来的几年 中应制定可行的供应计划，把握供应数量，使供给的变化适宜需求的变化，实现长期的 供求基本均衡。需要指出的是，该数据是根据年度数据计算出来的．，不能反映月度供 求及具体某个项目的供求关系，对未来供求关系预测只能起到宏观指导作用，据此进行 市场宏观调节。 商品房销售价格指数是排除房屋质量、建筑结构、地理位置、销售结构因素影响之 后，由于供求关系及成本波动等因素带来的价格变动。由数据可作出商品房销售价格指 数随时间的变化图，如下： 图表 7 商品房销售价格指数波动图 对比商品房销售价格指数波动图和住宅市场非均衡度波动图，不难发现二者有很大 相似性，经过相关分析后确定二者相关系数为 0.7，相关性很显著。进一步证明了，住 房价格对供需关系的灵敏性。 商品房本年销售价格年平均指数 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 19 91 19 92 19 93 19 94 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 15 5.5 房地产业与相关产业关系模型 5.5.1 基本原理 5.5.1.1 制约度和依存度 在现代经济发展中，产业之间相互联系、相互依存、相互制约地推动整个国民经济 的发展，为了体现产业间的联系程度，设置了制约度和依存度两个指标。 制约度 if 是当第 i 项产业增加一个单位产值的最终产品时所有产业总产值增加量之 和，因此 if 度量了第 i 项产业对其他产业发展的制约程度； ~ if 为当第 i 项产业增加一个 单位产值的最终产品时房地产业的增加量，因此 ~ if 度量了第 i 项产业对房地产业的制约 度。而依存度 jb 是当所有产业的最终产品都增加一个单位产值时第 j 项产业总产值的增 加量。因此 jb 度量了第 j 项产业的发展在多大程度上依赖于其他产业的发展； ~ jb 为当房 地产业增加一个单位产值时第 j 项产业的产值的增加量，因此 ~ jb 度量了第 j 项产业的发 展在多大程度上依赖于房地产业的发展。 第 i 项产业对其他产业发展的制约度： 1 1 1 / n n n i ij ij j i j f n q q       （5-22） 第 i 项产业对房地产业发展的制约度： ~ 1 / n i ij i ij j f a f a     （5-23） 第 j 项产业的发展对其他产业的依存度： 1 1 1 / n n n j ij ij i i j b n q q       （5-24） 第 j 项产业的发展对房地产业的依存度： ~ 1 / n j ij j ij i b a b a     （5-25）