例2：将 分成分项分式 第7章 定积分 1、 概念 例子：1. 曲边梯形的面积 2. 非匀速直线运动 性质1、2 性质3 对[a, b]的一个分法T，增加某些新分点构成[a, b]的一个新分法T’，有 证明： 只增加一个新分点 ，区间分成 ， 上的最小值记为 ， 上的最小值记为 ，则 ，从而 此即 性质4 任意分法 ，有 证明： 合成 ，由性质3，可得 性质5： 2、 从性质5，可以直观地看出，当 时，函数可积。因为 定理1（可积准则）f(x)在[a, b]上可积当且仅当 证明：必要性 由性质2，得到 ，或 充分性（略） 定义 振幅 定理1’ （可积准则）f(x) 在[a, b]上可积当且仅当 3、 三类可积函数 定理2 闭区间上的连续函数可积。 定理3 f(x)在[a, b]上单调，则f(x)在[a, b]上可积。 证明：不妨设f(x)在[a, b]上单调增加，对[a, b]的任意分法T，函数f(x)在小区间 上的下确界mk与上确界Mk分别是 则 ，对[a, b]的任意分法T，当 时，即 时，有 根据可积准则的充分性，单调 函数f(x)在［a,b］上可积． Th4. f(x)在闭区间［a,b］上有界，且存在有限个不连续点，则f(x)在［a,b］上可积． 证明：不妨设 是一个不连续点，其余都为连续点．w=M-m, M,m分别为f(x)在［a,b］上的最大最小值．去掉小区间 后，f(x)在 上连续，从而一致连续． ， 时 同样 时 ．取 当 时， （１）当 时 （１）同样满足． 对［a,b］的一个分划T．只要L(T) 将区间分成两类： （I）［ ］全部落在 或 中． （II）[ ]至少有一点落在 中． 8.3 定积分的性质 ， . f(x)在［a,b］上的定积分是 为了运算的需要，规定： a=b时 ＝０ ＝－ Th1. 在［a,b］上，f(x)＝c（const）则f(x)＝c在［a,b］上可积， 且 证明： f(x)＝c在［a,b］上的积分和 ＝c =c(b-a) 则 ＝c(b-a) 即 Th2. , 在［a,b］上可积，则 ＋ 在［a,b］上也可积，且 ＝ ＋ 证明： + 在［a,b］上的积分和 ＝ + = + 即 ＝ ＋ Th3. f(x)在［a,b］上可积，则c f(x)在［a,b］上也可积，且 ＝c 证明： ＝c 推论：n个函数 ， … 都在区间［a,b］上可积 则它们的线性组合 ＋ ＋….＋ 在［a,b］上也可积． ＝ ＋ ＋…＋ Th4 .，f(x)在［a,b］上可积则f(x)在［ ,］ [a,b]上可积． Th5. f(x)在［a,b］与［c,b］上可积,则f(x)在［a,b］上可积． ＝ 推论１ 若f(x)在［A,B］上可积，且a,b,c 是［A,B］上任意三点 则 ＝ 推论２ 若f(x)在区间［ ］(k=1,2,…n)上都可积，则f(x)在[ ]上可积，且 ＝ ＋ ＋…＋ Th6 f(x) k[a,b], x [a,b]有f(x) 0 (或f(x) 0) 则 ０(或 ０) 证明： ０ 由f(x)在［a,b］上可积与极限保号性 ＝ ０ Th7. f(x),g(x) k[a,b], x [a,b]有f(x) g(x)，则 Th8. f(x) k[a,b] k[a,b]且 推论 f(x) k[a,b] f(x) k(const)则 k(b-c) 二．积分中值定理 Th9. f(x) C[a,b].则 c [a,b]使 ＝f(c)(b-a) 证明：已知f(x) C[a,b]，则f(x)在[a,b]上必取到最大最小值， m f(x) M a x b 由Th7与Th1有 m(b-a) M(b-a) 或m M 由介值定理 得到在［a,b］内至少 一c,使 f(c)= a x b 即 ＝f(c)(b-a) 几何意义 图8.7 图8.7 Th10. f(x),y(x) C[a,b]. y(x)在［a,b］上不变号，则 c [a,b]使 ＝f(c) 证明：不妨设y(x) 0 m M 1.若 ＞０ ２．若 ＝０
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