2007年全国中考数学压轴题精选全解之四

2007年全国各地中考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 压轴题精选全解之四 63.（长沙市）26. 如图， 中， ， ， ， 为 上一动点（不与 重合），作 于 ， ， 的延长线交于点 ，设 ， 的面积为 ． （1）求证： ； （2）求用 表示 的函数表达式，并写出 的取值范围； （3）当 运动到何处时， 有最大值，最大值为多少？ 解: （1）证明略； （2）由（1） 为 中 边上的高， 在 中， ， ， 在 中， ， ， ， ， 其中 ． （3） ，对称轴 ， 当 时， 随 的增大而增大， 当 ，即 与 重合时， 有最大值． ． 64.(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积， 表示矩形NFQC的面积． （1） S与 相等吗？请说明理由． （2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE，当AE为何值时， 是等腰三角形． 解: （1）相等 理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形， 所以 所以 即： （2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x， 所以 ，即 配方得： ，所以当 时， S有最大值3 （3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝ 或AE＝3.6时， 是等腰三角形 65.(湖南省怀化市)28. 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形 和 按图1所示的位置放置 与 重合， 与 重合． （1）求图1中， 三点的坐标． （2） 固定不动， 沿 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当 点运动到与 点重合时停止，设运动 秒后 和 重叠部分面积为 ，求 与 之间的函数关系式． （3）当 以（2）中的速度和方向运动，运动时间 秒时 运动到如图2所示的位置，求经过 三点的抛物线的解析式． （4）现有一半径为2，圆心 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问 在运动过程中是否存在 与 轴或 轴相切的情况，若存在请求出 的坐标，若不存在请说明理由． 解：（1） ， ， （2）当 时，位置如图Ａ所示， 作 ，垂足为 ，可知： ， ， ， ， 当 时，位置如图Ｂ所示． 可知： （求梯形 的面积及 的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分） 与 的函数关系式为： （3）图2中，作 ，垂足为 ，当 时， ， ， 可知： ， ， 经过 三点的抛物线的解析式为： （4）当 在运动过程中，存在 与坐标轴相切的情况，设 点坐标为 当 与 轴相切时，有 ， ，由 得： ， 由 ，得 ， 当 与 轴相切时，有 ，得： ， 综上所述，符合条件的圆心 有三个，其坐标分别是： ， ， 66.(湖南省永州市) 25、在梯形 中， ， ， ， ， ． （1）求 的长； （2） 为梯形内一点， 为梯形外一点，若 ， ，试判断 的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的长． 解（1）过 点作 ，垂足为 四边形 为矩形 （2） 是等腰直角三角形 （3）过 点作 四边形 是正方形， 67.(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线 与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点. （1）求M、D两点的坐标； （2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标； （3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积. 解: （1） （2）∵PA=PB，∴点P在线段AB的中垂线上， ∴点P的纵坐标是1，又∵点P在 上， ∴点P的坐标为 （1）​ 设P（x,y），连结PN、MN、NF. ∵点P在 上，∴ 依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心. ∴N是线段HB的中点，HN=NB= ， ∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°， ∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90° ∴Rt△PNH∽Rt△NMB, ∴ ∴ ，解得： 舍去）， 68.(湖南省株洲市)25. 已知Rt△ABC，∠ACB＝90o，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若⊙O1、⊙O2分别为△ACD、△BCD的内切圆，求直线 的解析式； （3）若直线 分别交AC、BC于点M、N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论. 解: （1）在 中， 同理 （2）设 的半径为 的半径为 ， 则有 同理 由此可求得直线 的解析式为： （3） 与 的大小关系是相等． 证明如下：法一：由（1）易得直线 的解析式为： ， 联立直线 的解析式，求得点 的纵坐标为 ， 过点 作 轴于点 ， ，由 ，得 ， 解得： 同理 ， 法二：由 由此可推理： 69.(深圳市) 23．如图7，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 相交于 两点． （1）求线段 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？ （3）如图8，线段 的垂直平分线分别交 轴、 轴于 两点，垂足为点 ，分别求出 的长，并验证等式 是否成立． （4）如图9，在 中， ， ，垂足为 ，设 ， ， ． ，试说明： ． 解：（1） ∴A（-4，-2），B（6，3） 分别过A、B两点作 轴， 轴，垂足分别为E、F ∴AB=OA+OB （2）设扇形的半径为 ，则弧长为 ，扇形的面积为 则 ∵ ∴当 时，函数有最大值 （3）过点A作AE⊥ 轴，垂足为点E ∵CD垂直平分AB，点M为垂足 ∴ ∵ ∴△AEO∽△CMO ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ ∴ （4）等式 成立．理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 70.（广东省威海市）25.如图①，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，二次函数 的图象记为抛物线 ． （1）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过点 ，但不过点 ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）． （2）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过 两点，记为抛物线 ，如图②，求抛物线 的函数表达式． （3）设抛物线 的顶点为 ， 为 轴上一点．若 ，求点 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形．若存在，请判断点 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师． 解：（1）有多种 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，符合条件即可．例如 ， ， 或 ， ， ． （2）设抛物线 的函数表达式为 ， 点 ， 在抛物线 上， 解得 抛物线 的函数表达式为 ． （3） ， 点的坐标为 ． 过 三点分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 则 ， ， ， ， ， ． ． ． 延长 交 轴于点 ，设直线 的函数表达式为 ， 点 ， 在直线 上， 解得 直线 的函数表达式为 ． 点的坐标为 ． 设 点坐标为 ，分两种情况： 若 点位于 点的上方，则 ． 连结 ． ． ， ，解得 ． 点的坐标为 ． 若 点位于 点的下方，则 ． 同理可得， ． 点的坐标为 ． （4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点 共有3个可能的位置． 71.(广东省梅州市) 25. 如图12，直角梯形 中， ，动点 从点 出发，沿 方向移动，动点 从点 出发，在 边上移动．设点 移动的路程为 ，点 移动的路程为 ，线段 平分梯形 的周长． （1）求 与 的函数关系式，并求出 的取值范围； （2）当 时，求 的值； （3）当 不在 边上时，线段 能否平分梯形 的面积？若能，求出此时 的值；若不能，说明理由． 解：（1）过 作 于 ，则 ，可得 ， 所以梯形 的周长为18． 平分 的周长，所以 ， 因为 ，所以 ， 所求关系式为： ． （2）依题意， 只能在 边上， ． ， 因为 ，所以 ，所以 ，得 ，即 ， 解方程组 得 ． （3）梯形 的面积为18． 当 不在 边上，则 ， （ ）当 时， 在 边上， ． 如果线段 能平分梯形 的面积，则有 可得： 解得 （ 舍去）． （ ）当 时，点 在 边上，此时 ． 如果线段 能平分梯形 的面积，则有 ， 可得 此方程组无解． 所以当 时，线段 能平分梯形 的面积． 72.(广东省茂名市)25. 如图，已知平面直角坐标系 中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点， 轴， B（3， ），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕， ．折叠后，点O落在点 ，点C落在点 ，并且 与 在同一直线上． （1）求折痕AD 所在直线的解析式； （2）求经过三点O， ，C的抛物线的解析式； （3）若⊙ 的半径为 ，圆心 在（2）的抛物线上运动， ⊙ 与两坐标轴都相切时，求⊙ 半径 的值． 解： （1）由已知得 ． ∴ ， ∴ ． 设直线AD的解析式为 ． 把A，D坐标代入上式得： ， 解得： ， 折痕AD所在的直线的解析式是 ． （2）过 作 于点F， 由已知得 ，∴ ． 又DC＝3－1＝2，∴ ． ∴在 中， ． ， ∴ ，而已知 ． 法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是 点 在抛物线上，∴ ，∴ ∴ 为所求 法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是 ． 把O，C1，C的坐标代入上式得: ， 　解得 ，∴ 为所求． （3）设圆心 ，则当⊙P与两坐标轴都相切时，有 ． 由 ，得 ，解得 （舍去）， ． 由 ，得 解得 （舍去）， ． ∴所求⊙P的半径 或 ．　 73.(海南省) 图 24. （本题满分14分）如图 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 、 和点 . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为 ，求四边形 的面积； （3）有两动点 、 同时从点 出发，其中点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 → → 的路线运动，点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 → → 的路线运动，当 、 两点相遇时，它们都停止运动.设 、 同时从点 出发 秒时， 的面积为S . ①请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ∥ ，若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； ③设 是②中函数S的最大值，那么 = . 解：（1）令 ，则 ； 令 则 ．∴ ． ∵二次函数的图象过点 ， ∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点 ． ∴ 解之，得 ， ． ∴所求二次函数的关系式为 （2）∵ = ∴顶点M的坐标为 过点M作MF 轴于F ∴ = ∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC ∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时 ，在 中， ． 设点E的坐标为 ∴ ，∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ >2，不满足 ． ∴不存在 ． ②根据题意得D，E两点相遇的时间为 （秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当 时， ； ⅱ）当 时，设点E的坐标为 ∴ ，∴ ∴ ⅲ）当2 < < 时，设点E的坐标为 ，类似ⅱ可得 设点D的坐标为 ∴ ， ∴ ∴ = ③ 74.(贵阳市)25. 如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3分） （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分） （3）当 的半径 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分） 解: （1）连接 ，由勾股定理求得： （2）连接 并延长，与弧 和 交于 ， 弧 的长： 圆锥的底面直径为： ， 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． （3）由勾股定理求得： 弧 的长： 圆锥的底面直径为： 且 即无论半径 为何值， 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 75.(云南省课改实验区)25. 已知：如图，抛物线 经过 、 、 三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C的直线 与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值； （3）在抛物线上求一点 使得△ABP0为等腰三角形并写出 点的坐标； （4）除（3）中所求的 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点 （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点 ，请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过点 、 ， ∴ ． 又∵抛物线经过点 ， ∴ ， ． ∴抛物线的解析式为 ． （2）∵E点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3． ∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3）， ∴ 解得k = -2，b = 5． 设直线y=-2x+5与x轴的交点为D， 当y=0时，-2x+5=0，解得x= ． ∴D点的坐标为（ ，0）． ∴S=S△BDC + S△BDE = =10． （3）∵抛物线的顶点 既在抛物线的对称轴上又在抛物线上， ∴点 为所求满足条件的点． （4）除 点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形． 理由如下： ∵ ， ∴分别以 、 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点 、 、 、 、 、 、 、 ，除去 、 两个点外，其余6个点为满足条件的点． 76.(云南省昆明市) 25．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． (1)求点B的坐标； (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． (注意：本题中的结果均保留根号) 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得： OB＝OA=2，∠BOD＝60° 在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30° ∴OD＝1，DB＝ ∴点B的坐标是（1， ） （2）设所求抛物线的解析式为 ，由已知可得： 解得： ∴所求抛物线解析式为 （备注：a、b的值各得1分） （3）存在 由 配方后得： ∴抛物线的对称轴为 （也可用顶点坐标公式求出） ∵点C在对称轴 上，△BOC的周长＝OB+BC+CO； ∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O与点A关于直线 对称，有CO=CA △BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA ∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。 设直线AB的解析式为 ，则有： 解得： ∴直线AB的解析式为 当 时， ∴所求点C的坐标为（－1， ） （4）设P （ ），则 ① 过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ= ，PG= ，由题意可得： ＝ = ＝ ② 将①代入②，化简得： ＝ ∴当 时，△PAB得面积有最大值，最大面积为 。 此时 ∴点P的坐标为 77.(陕西省)25. 如图， 的半径均为 ． （1）请在图①中画出弦 ，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦 ，使图②仍为中心对称图形； （2）如图③，在 中， ，且 与 交于点 ，夹角为锐角 ．求四边形 的面积（用含 的式子表示）； （3）若线段 是 的两条弦，且 ，你认为在以点 为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由． 解：（1）答案不唯一，如图①、②（只要满足题意，画对一个图形给2分，画对两个给3分） （2）过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ． ， ． ． （3）存在．分两种情况说明如下： ①当 与 相交时， 由（2）及 知 ． ②当 与 不相交时，如图④． ， ， ， 而 ． 延长 交 于点 ，连接 ，则 ． ． ． ． ． 过点 作 ，垂足为 ， 则 ． 当 时， 取最大值 ． 综合①、②可知，当 ，即四边形 是边长为 的正方形时， 为最大值． 78.(甘肃省兰州市) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D． (1)确定A、C、D三点的坐标； (2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式； (3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式． (4)当 ＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由． 解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0) ∴点A的坐标是(－4，0) 由tan∠BAC＝2可得OC＝8 ∴C(0，8) ∵点A关于y轴的对称点为D ∴点D的坐标是(4，0) (2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4) 代入点C(0，8)，解得a＝1 ∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8 (3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点 ∴M(1，3)，N(5，3)， ＝4 而抛物线的顶点为(3，－1) 当y＞3时 S＝4(y－3)＝4y－12 当－1≤y＜3时 S＝4(3－y)＝－4y＋12 (4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当 ＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大 ∴当x＝3，y＝－1时，h＝4 S＝ •h＝4×4＝16 ∴满足条件的平行四边形面积有最大值16 79.(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC相似？直接写出两组这样的点． 解:（1）方法一： 连结 ，则 ． ∵ ，∴ OC= ． 又 Rt△AOC∽Rt△COB，∴ ． ∴ OB=6． ∴ 点 坐标为 ，点 坐标为 ． 　　设直线 的解析式为y=kx+b， 可求得直线 的解析式为 ． 　　方法二： 连结 ，则 ． ∵ ，∴ ∠ACO=30 o，∠CAO=60 o． ∴ ∠CBA=30 o． ∴ AB=2AC=8． ∴ OB=AB-AO=6． 以下同证法一． （2）​ 由题意得， 与 轴的交点分别为 、 ，抛物线的对称轴过点 为直线 ． ∵ 抛物线的顶点在直线 上， ∴ 抛物线顶点坐标为 ． 　　设抛物线解析式为 ， ∵ 抛物线过点 ， ∴ ，解得 ． ∴ 抛物线的解析式为 ， 即 ． （3）点 在抛物线上．因为抛物线与 轴的交点坐标为 ，如图． (4) 存在，这三点分别是E、C、F与E、C1、F，C1的坐标为（4， ）． 即△ECF∽△AOC、△EC1F∽△AOC，如图． 80.(甘肃省陇南市)28. 如图，抛物线 交 轴于A、B两点，交 轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是 3，点B的横坐标是1． (1)求 、 的值； (2）求直线PC的解析式； (3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数： ， ， ) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过A(-3，0)、B(1，0)两点． ∴ 解得 ． (2) ∵ ， ∴ P(-1，-2)，C ． 设直线PC的解析式是 ，则 解得 ． ∴ 直线PC的解析式是 ． 说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分． (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E． 设直线PC与 轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． 在Rt△OCD中，∵ OC= ， ， ∴ ． ∵ OA=3， ，∴AD=6． ∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用， ∴ △COD∽△AED． ∴ ， 即 ． ∴ ． ∵ ， ∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． 81.(宁夏回族自治区)26. 如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形 的四个顶点坐标分别为 ， ． （1）求等腰梯形 的面积． （2）试说明点 在以 的中点 为圆心， 为直径的圆上． （3）在第一象限内确定点 ，使 与 相似，求出所有符合条件的点 的坐标． 解：（1） （2）方法1：得出 说明点 在圆上． 方法2：得出 ，即 是直角三角形，说明点 在圆上． 方法3：得出 ， 即 是直角三角形，说明点 在圆上． （3）点 位于点 上时， 与 相似 此时点 的坐标为 过 点作 的垂线交 的延长线于 ， 与 相似 此时点 的坐标为 过 点作 的垂线交 的延长线于 ， 与 相似 此时点 的坐标为