【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第一章

钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 1 - 【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第一章 一 随机事件 §1 几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可 能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为 试验，并常记为 E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C„„ 例如，在 E1中，A 表示“掷出 2 点”，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情 称为不可能事件，记为Φ。 例如，在 E1 中，“掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事件, 以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。 4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。 例如，在 E1中，“掷出 1 点”，“掷出 2 点”，„„，“掷出 6 点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为 e. 例如，在 E1 中，用数字 1，2，„„，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，„{6} 便是 E1 中的基本事件。在 E2中，用H 表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T， H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为 某些样本点构成的集合。 例如， 在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。 记为Ω。 例如， 在 E1 中，Ω ={1，2，3，4，5，6} 在 E2 中，Ω ={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 2 - 在 E3 中，Ω ={0，1，2，„„} 例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为 NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例 2．随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样 本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列 §2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B 或 B A。 例如，在 E1 中，令A 表示“掷出 2 点”的事件，即 A={2} B 表示“掷出偶数”的事件，即 B={2，4， 6}则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B 例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃”的 事件；B 表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B 3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙 击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。 推广： 有限个 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 3 - 无穷可列个 4、积：称事件A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B 或 AB。 例如，在E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇 数次呼唤}，则 A B={接到 6 的倍数次呼唤} 推广： 任意有限个 无穷可列个 5、差：称事件A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。 例如，测量晶体管的β 参数值，令 A={测得β 值不超过 50}，B=｛测得β 值不 超过 100｝，则，A-B=φ ，B-A=｛测得β 值为 50﹤β ≤100｝ 6、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=φ ，则称 A与 B 是互不相容的。 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则 A 与 B 便是互不相容的。 7、对立：称事件A 不发生的事件为A 的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ 例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个 产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 4 - §3 事件的运算规律 1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A 2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C） 3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如 A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。 若A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。 例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列 事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝ Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝ 解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表 示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为 或 例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第 i 次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件： 解： A1A2A3={三次射击都击中目标} A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， 闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 5 - 二 事件的概率 §1 概率的定义 所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A）。规定 P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定义 古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 （1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同； 例如：掷一匀称的骰子，令 A={掷出 2 点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为 Ω ={1，2，3，4，5，6}，于是，应有 1=P（Ω）=6P（A），即 P（A）= 。 而 P（B）=3P（A）= 定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件A 所含的 样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为： 例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间 Ω ={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。 可见 NΩ=8 令 A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）} 可见，令 NA=3 故 例 2，（取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。 （1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球； 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 6 - （2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球； （3）一次取球：从袋中任取 3 个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得 2 个白球}的概率。 解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等) （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白 球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况） （2）无放回取球 故 （3）一次取球 故 属于取球问题的一个实例： 设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件，则其中恰有 2 件次品的概率便为 （属于一次取球模型） 例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（n≤N）。 解： 令 A={恰有 n 个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 7 - 先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列 故 属于分球问题的一个实例： 全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A={40 个同学生日皆不相同}，则有 (可以认为有 365 个盒子，40 个球) 故 例 4（取数问题） 从 0，1，„„,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事 件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数； 解：令 A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数} ， ， 例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里有 4 张 A 牌的概率各为多少？ 解：令 A={有人手里有 13 张黑桃}，B={有人手里有 4 张A 牌} 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 8 - 于是 ，故 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质： 1° P（A）≥0 2° P（Ω）=1 3° 若A1，A2，„„，An 两两互不相容，则 2、概率的统计定义 频率：在 n 次重复试验中，设事件A 出现了 nA 次，则称： 为事件 A 的频率。频率具有一定的 稳定性。示例见下例表 试验者 抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 正面（A）出现的 频率 德·摩尔根 2048 1061 0．5180 浦丰 4040 2148 0．5069 皮尔逊 12000 6019 0．5016 皮尔逊 24000 12012 0．5005 维尼 30000 14994 0．4998 定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件A 的频率 fn(A)越来越稳 定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质： 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 9 - 1° 2° 3° 若A1，A2，„„，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义） 定义 3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A 定义一个实数 P（A），如果它满足下列三条公理： 1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性） 3° 若A1，A2，„„，An„„两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义 定义 4：假设Ω是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同 样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则 P(A)==ū(A)/ ū(Ω ) §2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差 证： 因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ ,由概率可加性 得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）≤P（B） ——概率的单调性 证：由性质 1 及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即 P（A）≤P（B） 性质 3：P（A）≤1 证明：由于 A Ω，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）≤1 性质 4：对任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质 1 中令 B=Ω便有 P（ ）=P（Ω -A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A） 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 10 - 性质 5：P（φ）=0 证：在性质 4 中，令 A=Ω，便有 P（φ ）=P（ ）=1-P（Ω）=1-1=0 性质 6 （加法公式）对任意事件 A，B，有 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB） 证：由于 A∪B=A∪（B-AB）且 A∩（B-AB）=φ （见图） 由概率的可加性及性质 1 便得 P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB） =P（A）+P（B）-P（AB） 推广: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） 例 6 设 10 个产品中有 3 个是次品，今从中任取 3 个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 解：令 C={取出产品中至少有一个是次品}，则 ={取出产品中皆为正品 }，于是由性质 4 得 例 7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为 0.4 和 0.35，而同时下雨的概率为 0.15，问在此季节内甲、 乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。 解：令 A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是 P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6 例 8．设 A,B,C 为三个事件，已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求 A,B,C 至少有一 个发生的概率。 于是所求的概率为 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 11 - 三 条件概率 §1 条件概率的概念及计算 在已知事件 B 发生条件下，事件 A 发生的概率称为事件 A 的条件概率，记为 P（A/B）。条件概率 P（A/B） 与无条件概率 P（A）通常是不相等的。 例 1：某一工厂有职工 500 人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为 40 人和 10 人，即该工厂职工人 员结构如下： 人数 男 女 总和 非熟练工人 40 10 50 其他职工 210 240 450 总和 250 250 500 现从该厂中任选一职工，令 A= {选出的职工为非熟练工人}，B= {选出的职工为女职工} 显然， ；而 ， 定义 1 设 A、B 为两事件，如果 P（B）>0，则称 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的 条件概率。同样,如果 P（A）>0，则称 为在事件 A 发生条件下，事件 B 的条件概率。 条件概率的计算通常有两种办法： (1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型）， (2)由条件概率的定义计算。 例 2：一盒子内有 10 只晶体管，其中 4 只是坏的，6 只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只， 当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？ 解： 令 A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管} 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 12 - 按条件概率的含义立即可得： 按条件概率的定义需先计算： ；于是 例 3：某种集成电路使用到 2000 小时还能正常工作的概率为 0.94,使用到 3000 小时还能正常工作的概率为 0.87 .有一块集成电路已工作了 2000 小时,向它还能再工作 1000 小时的概率为多大? 解：令 A={集成电路能正常工作到 2000 小时}，B={集成电路能正常工作到 3000 小时} 已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.87 按题意所要求的概率为： §2 关于条件概率的三个重要公式 1.乘法公式 定理 1: ， 例 4:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级 的概率. 解: 令 A= {任取一件产品为一级品}, B= {任取一件产品为合格品}，显然 ，即有 AB=A 故 P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便为 例 5:为了防止意外,在矿内安装两个报警系统 a 和 b,每个报警系统单独使用时,系统 a 有效的概率为 0.92,系统 b 的有效概率为 0.93,而在系统 a 失灵情况下,系统 b 有效的概率为 0.85，试求：(1)当发生意外时,两个报警系 统至少有一个有效的概率；(2)在系统 b 失灵情况下,系统 a 有效的概率. 解: 令 A={系统 a 有效} B={系统 b 有效} 已知 , , 对问题(1) ,所要求的概率为 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 13 - ，其中 (见图) = = 于是 对问题(2),所要求的概率为： = 推广：如果 证:由于 所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得 = = „„ （依此类推）= 例 6：10 个考签中有 4 个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后,试问(1) 甲、乙、丙均抽得难签的 概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少? 解: 令A,B,C 分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件， 对问题(1),所求的概率为： 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 14 - 对问题(2), 甲抽得难签的概率为： 乙抽得难签的概率为 丙抽得难签的概率为 其中 于是 2.全概率公式 完备事件组:如果一组事件 在每次试验中必发生且仅发生一个, 即 则称此事件组为该试验的一个完备事件组 例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② {1， 2，3}，{4，5 }， {6}； ③ Ａ ， （A 为试验中任意一事件） 定理 2： 设 为一完备事件组，且 ，则对于任意事件 A 有 证：由于 且对于任意 ，于是由概率的可加性及乘法 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 15 - 公式便得： 例 7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下： 根据以往资料可知，中国胜美国的概率为 0.4 ，中国胜日本的概率为 0.9，而日本胜美国的概率为 0.5，求中国得冠军的概率。 解：令 H= {日本胜美国}, ={美国胜日本}, A= {中国得冠军} 由全概率公式便得所求的概率为 例 8， 盒中放有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛时，从盒中任取 3 个使用，用后放会盒中，第 二次比赛时，再取 3 个使用，求第二次取出都是新球的概率 解： 令 H ={第一次比赛时取出的 3 个球中有 i 个新球}i=0，1，2，3，A = {第二次比赛取出的 3 个球均 为新球} 于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率 =0.146 3 贝叶斯公式 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 16 - 定 理 3 ： 设 H ,H ,…….H 为 一 完 备 事 件 组 ， 且 又设 A 为任意事件，且 P(A) >0，则有 证：由乘法公式和全概率公式即可得到 例 9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为 0.95，不患有癌症者做此 实验反映为阴的概率也为 0.95，并假定就诊者中有 0.005 的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问 他是一个癌症患者的概率是多少？ 解： 令 H={做实验的人为癌症患者}， ={做实验的人不为癌症患者}，A={实验结果反应为阳性}，{实 验结果反应为阴性}，由贝叶斯公式可求得所要求的概率： 例 10：两信息分别编码为X 和Y 传送出去，接收站接收时，X 被误收作为 Y 的概率 0.02,而 Y 被误作为 X 的概率为 0.01.信息 X与 Y 传送的频繁程度之比为 2:1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X 的概率 为多少? 解：设 H={原发信息为 X} 由题意可知 先验概率 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 17 - 由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为 例 11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中 的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占 ，已知甲，乙两厂的次品率为 2%，丙厂的次品率为 4%，现从箱中任取一产品（1） 求所取得产品是 甲厂生产的次品的概率；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3） 已知所取得产品是次品，问他是由甲 厂生产的概率是多少？ 解：令 分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A={所取得的产品为次品} 显然 ， ， ， 对问题（1），由乘法公式可得所要求的概率： 对问题（2），由全概率公式可得所要求的概率 对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率 四 独立性 §1 事件的独立性 如果事件 B 的发生不影响事件 A 的概率，即 则称事件 A 对事件 B 独立。 钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近 100% - 18 - 如果事件 A 的发生不影响事件 B 的概率，即 ， 则称事件 B 对事件 A 独立。 不难证明，当 时，上述两个式子是等价的。 事实上，如果 ，则有 反之，如果 ，则有 即 同样可证 总之 ，可 见事件独立性是相互的。 定义 1 设 A， B 为两个事件 ，如果 ，则称事件 A 与事件 B 相互独立。 例 1,袋中有 3 个白球 2 个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令 A={第一次取出的是白球} B={第二次取出的是白球} 问 A，B 是否独立？ 解：（1）有放回取球情况，则有 可见， ，可见 A，B 独立。 （2）无放回取球情况，则有 可见， ，故 A，B 不独立。（实际上就是抓阄模型） 例 2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ，Ⅱ（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的概 率)为 r(0