平面力系

nullnull第二章 平面力系null共点力系力偶系§2–1 力系的基本类型共点力系——各力均作用于同一点的力系。 力 偶——作用线平行、指向相反而大小相等的 两个力。 力 偶 系——若干个力偶组成的力系。平面任意力系——各力的作用线都在同一平面内的 力系。否则为空间力系。§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–2 共点力系合成与平衡的几何法1、合成的几何法： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式：F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：§2–2 共点力系合成与平衡的几何法 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。2、力的多边形规则：§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–2 共点力系合成与平衡的几何法 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–2 共点力系合成与平衡的几何法1、共点力系的合成结果 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。2、共点力系平衡的充要几何条件：§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–2 共点力系合成与平衡的几何法§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解 反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。§2–4 共点力系合成与平衡的解析法 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3 如图。合力投影定理：§2–4 共点力系合成与平衡的解析法null合力 R 在x 轴上投影：F1F2RF3xABCD(b) 推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，可得：各力在x 轴上投影：§2–4 共点力系合成与平衡的解析法null 合力的大小合力R 的方向根据合力投影定理得§2–4 共点力系合成与平衡的解析法null共点力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。§2–4 共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程:解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。 2.建立坐标系。 3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0， 求解。§2–4 共点力系合成与平衡的解析法§2–5 力偶及其性质§2–5 力偶及其性质一、 力偶和力偶矩1、力偶——大小相等的二反向平行力。 ⑴、作用效果：引起物体的转动。 ⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。§2–5 力偶及其性质工程实例§2–5 力偶及其性质§2–5 力偶及其性质2、力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大 小与力偶臂d 的乘积，加上正负号。 力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。在平面内，力偶矩是代数量量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）. 力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向； 力偶的作用平面。 §2–5 力偶及其性质§2–5 力偶及其性质二、力偶的等效条件 同一平面上力偶的等效条件§2–5 力偶及其性质因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。§2–5 力偶及其性质1、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的 作用效应。 2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用 由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。 §2–5 力偶及其性质综上所述，可以得出下列两个重要推论：§2-6 力偶系的合成与平衡 平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代数和。一、力偶系的合成§2-6 力偶系的合成与平衡null 力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 二、平面力偶系平衡的充要条件§2-6 力偶系的合成与平衡null例题 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。§2-6 力偶系的合成与平衡解： 杆AB为二力杆。null分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：§2-6 力偶系的合成与平衡§3–2§3–2== 把力F 作用线向某点O 平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。 证明：一、力线平移定理：§2–7 力线平移定理§2–7 力线平移定理 二、几个性质： 1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。 3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。§2–7 力线平移定理§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩== 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。一、力系向给定点O 的简化§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩 共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O 的简化结果主矩：§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩主矢：§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩二、几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩方向余弦：2、主矩Lo可由下式计算：三、主矢、主矩的求法：1、主矢可用力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。§2–8 平面任意力系的简化•主矢与主矩null==1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩LO 不随简化中心位置而变。 2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下：§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理简化结果的讨论null综上所述，可见：4、 R=0，而LO=0，原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。 ⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理null 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理合力矩定理null例题 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果： ①求主矢R：§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理null§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理null② 求主矩：（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：R/OABC xy§2–9 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理null平衡方程其他形式：A、B 的连线不和x 轴相垂直。A、B、C 三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也等于零。 平衡方程：§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null解： 1、取伸臂AB为研究对象 2、受力分析如图例题 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P=2200N，吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null3、选列平衡方程：4、联立求解，可得： T = 12456 N FAx= 11290 N FAy= 4936 N§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null解： 1、取梁AB为研究对象。 2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中点C 。例题 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固定铰支A 的反力。§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null3、列平衡方程：4、联立求解： ND= 475 N NAx= 0 NAy= -175 N§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null解： 1、取机翼为研究对象。 2、受力分析如图.例题 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27 kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null4、联立求解： MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAx= 0 NAy=-19.2 kN （向下）3、列平衡方程：§2–10 平面任意力系的平衡条件和平衡方程null解： 1、取汽车及起重机为研究对象。 2、受力分析如图。例题 一种车载式起重机，车重Q = 26kN，起重机伸臂重G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W = 31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。null4、联立求解： 3、列平衡方程：5、不翻条件：NA≥0故最大起重重量为 Pmax= 7.5 kNnull一、几个概念： 1、物体系 ——由若干个物体通过约束组成的系统 2、外 力 ——物体系以外任何物体作用于该系统的力 3、内 力——物体系内部各物体间相互作用的力 物体系平衡方程的数目： 由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立 的平衡方程。§2–11 物体系的平衡问题null 二、静定与超静定概念： 1、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。 2、超静定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。null解： 1、取AC 段研究，受力分析如图。例题 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C 连接起来，又用铰链A、B 与基础相联结。已知每段重G=40 kN，重心分别在D、E 处，且桥面受一集中载荷P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。物体系的平衡问题null列平衡方程：2、再取BC 段研究，受力分析如图。列平衡方程：物体系的平衡问题null联立求解：可得 NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN NAy= 42.5 kN NBy= 47.5 kN NCy= 2.5 kN NCx 和 NCx、 NCy 和 NCy是二对作用与反作用力。物体系的平衡问题null解： 1、取CE 段为研究对象，受力分析如图。P例题 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A端为固定端，E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，P=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kN·m，试求固定端A、铰链C 和支座E 的反力。物体系的平衡问题null列平衡方程：2、取AC 段为研究对象，受力分析如图。联立求解：可得 NE=2.5 kN （向上） NC=2.5 kN （向上）物体系的平衡问题null列平衡方程：联立求解：可得 MA= 30 kN·m NA= -12.5 kN物体系的平衡问题§2–12 平面静力学在工程中的应用-桁架§2–12 平面静力学在工程中的应用-桁架1、桁架 —— 一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。一、概念：null2、平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架。3、节 点—— 桁架中杆件的铰链接头。4、杆件内力—— 各杆件所承受的力。5、静定桁架 —— 如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架失去形状的固定性。null1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。 二、桁架计算的常见假设： 三、桁架结构的优点： 可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量， 节约材料。2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上，这样的桁架称为理想桁架。null四、计算桁架杆件内力的方法： 1、节点法 -- 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。2、截面法 -- 应用平面任意力系的平衡条件， 研究桁架由截面切出的某部分的平衡。 null解法1:（节点法） 1、取整体为研究对象,受力分析如图. 列平衡方程：例题 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力P1=4 kN，水平力P2=2 kN。联立求解： NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kNnull列平衡方程：2、取节点A，受力分析如图。联立求解：NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kNnull列平衡方程：3、取节点F，受力分析如图。联立求解：null4、取节点D，受力分析如图。列平衡方程：联立求解：null列平衡方程：5、取节点C，受力分析如图。解得：null列平衡方程：6、取节点B，受力分析如图。联立求解：null解法2:（截面法） 1、取整体为研究对象，受力分析如图。列平衡方程：联立求解 NB=2 KN NAx=-2kN NAy=2 KN 列平衡方程：2、取左部分为分离体，受力分析如图。联立求解： null §2-13 摩 擦摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦1. 静滑动摩擦定律摩擦力F: 方向: 恒与物体相对滑动的 趋势方向相反 大小: 一般状态下由平衡方程确定,当物体处于将动未动的临界状态 时,由静滑动摩擦定律计算.Fmax=NfsN:法相反力 f:静滑动摩擦系数,为常数,由材料决定 滑动摩擦null 因此, 0≤ F ≤ Fmax作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线2. 动滑动摩擦定律F =N f N:法相反力 f :动滑动摩擦系数,为常数,由材料决定 带有摩擦的平衡问题 带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是 在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.其结果往往有一个范围.例: 重为G的物体放在倾角为α的斜面上,今在该物体上作用一水平力Q,问能使该物体保持平衡时Q的范围.已知 f=0.5.解: ①解除约束,作受力图 ②考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力, ③建立适当的坐标系,列平衡方程.nullNF1 F2 G若不告诉物体的尺寸,则属汇交力系,否则属于一般力系. ④ 在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf ⑤ 将各种趋势的结果比较分析,得出待求的范围.(1). 下滑时:摩擦力朝上Qcosα+F-Gsinα=0-Qsinα+N-Gcosα=0Fmax=NfQ1=G(sinα-fcosα)/(cosα+fsinα)(2). 上滑时:摩擦力朝下Q2=G(sinα+fcosα)/(cosα-fsinα)∴ Q1 ≤Q ≤ Q2nullFR摩擦角与自锁现象全反力: R = N + F 由于 0≤ F ≤ Fmax ∴ N≤ R ≤N+ Fmax 把全反力的最大值Rmax与法线N间的夹角φmax称为摩擦角,用φ表示maxsmaxφ由图可知:可见,摩擦角与摩擦系数fs 一样也是表示材料表面性质的一个常量.当物体的滑动趋势方向改变时,全约束反力作用线的方位也随之改变, 当物体在支承面内有各个方向滑动的趋势时,则全反力的最大值Rmax 作用线将画出一个以接触点为顶点的圆锥面----摩擦锥摩擦角null摩擦锥的顶角为 2 φmax,由于F不可能超过最大值,所以,全反力R的作用线也不可能超出摩擦角以外,即.物体平衡时,全反力R必在摩擦角以内. 因此 : 如果作用于物体上的主动力的合力作用线落在摩擦角以内,则不论这个力多么大, 物体都能够平衡; 这种现象称为自锁现象. 反之如果主动力的合力作用线落在摩擦角以外,则不论这个力多么小, 物体都不能够平衡.(可用二力平衡原理解释)摩擦角的概念被广泛的使用: (1) 摩擦系数的测定 (2) 螺旋千斤顶的自锁条件 (3) 沙堆成型的过程nullRM 滚动摩擦P-F=0 N-G=0-PR = 0？NMFnullFNδMmax = N δδ 称为滚动摩阻系数,它具有长度的量纲,也是一常 数,与材料有关.Mmax称为滚动摩擦阻力偶矩,简称滚阻力偶当主动力P不足够大时,圆轮仍处于静止,当P逐渐增达到一定值时,轮子将处于将动未动的临界状态,此时, 力偶矩达到最大值Mmax且有:null概念题：图示物快重G，一力P作用在摩擦角φm之外，已知α=300，φm=200，G=P，问物快能否保持平衡？为什么？答：能，因为主动力P、G的合力作用线落在摩擦角之内null练习题：图示结构在力偶 M=pl 的作用下处于临界状态，求C处静滑动摩擦系数 f 及 A处的反力。杆自重不计。解：BC为二力杆null练习题：两根同重等长的均质杆在B点绞接，C点靠在墙上，f=0.5，求平衡时的角θ=?解:研究整体， 分析受力:再研究BC， 分析受力:null练习题：图示折梯，AB=AC=CB, 两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？ BC为二力杆，受力如图，由平衡方程：解：先整体：能平衡， FA= FB=72.17N。null小结1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件 求解力偶系的平衡问题2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。正确理解合力投影定理null5、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会用解 析法求主矢和主矩。熟知力系简化的结果6、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程 的几种形式7、调熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体 系的平衡问题8、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其内力的 节点法和截面法