交通工程学（第4讲)

nullnull 第四讲 交通流理论 交通与物流工程系 交通工程教研室 纪 英1 概述1 概述 作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。 1 概述1 概述 交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨各种交通现象： 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； 交通流的统计分布特性； 排队论的应用； 跟驰理论； 交通流的流体力学模拟理论； 交通波理论。2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布1）泊松分布 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的 。 基本公式: P(k) —计数间隔t 内到达 k 辆车的概率； λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。 2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布令m=λt,则： 递推公式： 分布的均值M和方差D都等于m2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布举例： 例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中任意1km路段上，求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，λ为车辆平均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。 由λ=60/10 t=1 ，因此m =λt=6（辆） 2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布 无车的概率为： 小于5辆车的概率为： 不多于5辆车的概率为： 6辆及其以上的概率为： 至少为3辆但不多于6辆的概率为： 恰好为5辆车的概率为：2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布例2：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求： 在1s、2s、3s内无车的概率； 求有95%的置信度的每个周期来车数。 解：1）1s、 2s、3s内无车的概率 λ=240/3600（辆/s ）， 当t=1s时， m= λt=0.067 当t=2s时， m= λt =0.133， 当t=2s时， m= λt =0. 3，2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布 2）有95%置信度的每个周期来车数的含义为：来车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即： ，求这时的k 即λ=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=λt=4 来车的分布为： 求： 的k值。2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布 设计上具有95%置信度的来车数不多于8辆。2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2）二项分布 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项分布。 基本公式： P（k）—计数间隔t 内到达k 辆车的概率; λ—平均到车率（辆/s）； t —每个计数间隔持续的时间； n—正整数 ； p—二项分布参数， 。2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布递推公式： 均值M和方差D分别为: M=np D=np(1-p) 2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布例3：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中有30%的左转弯车辆，试求： 到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率； 到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率； 某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。 解：1）由： p =30%，n=5，k=22 交通流的统计分布特性—— 离散型分布2 交通流的统计分布特性—— 离散型分布 2）由： p =30%，n=5，k=2 3）由： p =30%，n=30，k=0 2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布负指数分布 适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布。 负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。 2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布 由公式： 可知，当车辆平均到达率为λ时，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至少有t，即h≥t。 2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布 P(0)也就是车头时距h大于或等于t 的概率。对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或等于t ，即： λ—车辆平均到达率（辆/s） P(h≥t)—车头时距大于等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。 解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。 由λ=360/3600=0.1 同样，车头时距小于10s的概率为：2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布 由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成： 负指数分布的均值M和方差D分别为：2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值τ。2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布移位负指数分布 适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。 移位负指数分布公式: 分布的均值M和方差D分别为： 2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少 。2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为： 对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布 当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为： 1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数： 2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布拟合优度检验—— 检验 当把理论分布与一组试验数据之间 的各种拟合进行比较时，要求有一些拟 合的质量评价法，即拟合优度检验。在 交通工程中，目前常用的是 检验。 ⑴检验解决两类问题 某随机变量是否服从某完全给定的概率分布？ 某随机变量是否服从某形式的概率分布？2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布⑵ 检验的原理 ①建立原假设 假设随机变量 服从该完全给定的概率分布。 ②选择适宜的统计量 设样本频率分布第i组的频数为 ，假设的概率 分布在该组区间上相应的概率为 ，若 是样本 容量，则 就是假设的概率分布在第 组的频 数，记为 ，称它为理论频数。如果原假设成 立，那么 与 应相差不大。统计量：2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布2 交通流的统计分布特性—— 连续型分布③确定统计量的临界值 当选定了显著水平 后，根据自由度 的值，可以由表4-2查出临界值 。 ④得出统计检验结论 比较 的计算值与临界值 ，若 ≤ ，则接受原假设，即认为随机变量服从假设的概率分布。若 ≥ ，则不接受原假设。 null3 跟驰理论3 跟驰理论跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并且借数学模式表达并加以分析阐明的一种理论。 由于有1950年鲁契尔的研究和1953年派普斯的研究，跟驰理论的解析方法才告定型。而赫尔曼和罗瑟瑞于1960年在美国通用汽车公司动力实验室进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。 3 跟驰理论3 跟驰理论1） 车辆跟驰特性分析 在道路上行驶的一队高密度汽车，车头间距不大，车队中任意一辆车的车速都受前车速度的制约，驾驶员只能按前车所提供的信息采用相应的车速，这种状态称为非自由行驶状态。跟驰理论只研究非自由行驶状态下车队的特性。 非自由行驶状态的车队有以下三个特性：制约性、延迟性、传递性3 跟驰理论3 跟驰理论 2）线性跟驰模型 跟驰模型是一种刺激－反应的表达式。一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。null线性跟驰模型示意图3 跟驰理论3 跟驰理论两车在刹车操作后的相对位置如图所示。 —第i 辆车在时刻t 的位置； —两车在时刻 t 的间距，且: —后车在反应时间T内行驶的距离； —后随车在减速期间行驶的距离； —前导车在减速期间行驶的距离； —停车后的车头间距； —第n+1辆车在时刻t 的速度。3 跟驰理论3 跟驰理论 假定 ，要使在时刻t 两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有： 对t 微分，得: 式中: 为后车在(t+T)时刻的加速度，称为后车的反应 ；1/T 称为敏感度； 称为t 时刻的刺激。这样，上式就可理解为： 反应＝敏感度×刺激。 3 跟驰理论3 跟驰理论上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间T 内速度不变等假定条件下推导出来的。实际的跟车操作要比这两条假定所限定的情形复杂得多，例如刺激也可能是有前车加速引起。而两车得变速过程中行驶的距离可能不相等。为了适应一般得情况，把上式修改为： 式中 称为反映强度系数，量纲为s-1，这里 不再理解为敏感度，而应看成是与驾驶员动作的强弱程度直接相关。它表明后车得反应与前车的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。 4 排队论的应用 4 排队论的应用排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。 排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学的一个重要分支。 在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。 4 排队论的应用 4 排队论的应用基本概念——“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队的统称。 4 排队论的应用 4 排队论的应用排队系统的三个组成部分: 输入过程：是指各种类型的“顾客按怎样的规律到达。输入方式包括： 泊松输入、定长输入、爱尔朗输入 排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括： 等待制、损失制、混合制 服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布 4 排队论的应用 4 排队论的应用排队系统的主要数量指标： 等待时间 ：即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。 忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。 队长（cháng）：有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量指标。 4 排队论的应用 4 排队论的应用M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。 4 排队论的应用 4 排队论的应用主要参数： 设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ， 则平均服务时间为1/μ ； 比率： 称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。 4 排队论的应用 4 排队论的应用当比率ρ<1（即λ<μ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当比率ρ≥1（即λ≥μ），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是ρ<1（即λ<μ）。 例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即: 1/λ=10s； 1/μ=10s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。 4 排队论的应用 4 排队论的应用当比率ρ<1，系统处以稳定状态： 在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）： 在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）： 在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）： 4 排队论的应用 4 排队论的应用系统中顾客数的方差： 随着ρ的增大，n 增大；当ρ≥0.8以后， n 迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。 平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客。 4 排队论的应用 4 排队论的应用平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。 排队系统中平均消耗时间： 这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。 4 排队论的应用 4 排队论的应用排队中的平均等待时间： 这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。 共有八个指标。 4 排队论的应用 4 排队论的应用例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为400辆/h，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。 解：λ=400/3600（辆/s）, μ=1/8 （辆/s） ρ=λ/μ=0.89 <1 ，排队系统是稳定的。 收费站排队系统中的平均车辆数： 4 排队论的应用 4 排队论的应用 平均排队长度： 排队系统中的平均消耗时间： 排队中的平均等待时间： 4 排队论的应用 4 排队论的应用例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适 。 解： λ=72（辆/h）, μ=120 （辆/h） ρ=λ/μ=0.6 <1 ，排队系统是稳定的。 进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。 4 排队论的应用 4 排队论的应用 验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，则得到 “合适”的结论正确。由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(＞5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。 4 排队论的应用 4 排队论的应用一般收费站属于多路排队多通道服务的M/M/N系统，如果总流入量为Q，可以假设每个收费站的流入量为Q/N，就可以按照M/M/1系统计算。 4 排队论的应用 4 排队论的应用单路排队多通道服务的M/M/N排队系统如下：从服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套计算公式） 。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论车流连续性方程的建立 设车流顺次通过断面Ⅰ和Ⅱ的时间间隔为△t，两断面得间距为△x。车流在断面Ⅰ的流入量为Q、密度为K；同时，车流在断面Ⅱ得流出量为：(Q+△Q)， (K-△K)，其中:△K的前面加一负号，表示在拥挤状态时，车流密度随车流量增加而减小。 5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论车流连续性方程的建立： 根据物质守恒定律，在△t时间内： 流入量-流出量=△x内车辆数的变化， 即： [Q-(Q+△Q)]△t=[K-(K-△K)]△x 或： ，取极限可得： 含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论车流波及波速： 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。 此车流波动沿道路移动的速度称为波速。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论波速公式的推导： 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为w（ w为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即： 式中: (V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出S 面前后相对于S 面的速度。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论 由： 规定：当K2K1，密度增加，产生的w为集结波。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论 当Q2Q1 、K2>K1时，产生一个集结波， w为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为w的速度移动。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论 当Q2K1时，产生一个集结波， w为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为w的速度移动。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论 当Q2>Q1 、K2K1时，产生一个集结波， w=0，集结波在波动产生的那一点原地集结。5 流体动力学模拟理论5 流体动力学模拟理论 当Q2=Q1 、K2