下载

1下载券

加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 可交换矩阵浅析

可交换矩阵浅析.pdf

可交换矩阵浅析

yugeyouyang
2011-09-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《可交换矩阵浅析pdf》,可适用于高等教育领域

年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)Jul第卷第四期总第期可交换矩阵浅析李瑞娟张厚超(平顶山学院数学与信息科学学院河南平顶山)摘要本文从交换矩阵的定义出发通过对矩阵理论的深入研究对可交换矩阵做了深入的探讨归纳总结了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及特殊的求法。关键词矩阵可交换可交换矩阵预备知识定义若同阶方阵,AB有ABBA=则称方阵A与B为可交换阵。定义若n阶方阵A=(ija)nn×中元素满足ija=ij≠i、j=,,,nL称A为n阶对角阵记A=nnaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O。定义在n阶对角阵A中若a=a=⋯=nna=λλR∈称此时的A为数量阵。记A=λE其中E为n阶单位阵。定义若n阶方阵A满足AA′=其中A′为A的转置阵则称A为对称阵。定义若n阶方阵A=(ija)nn×满足A′−=A即ija=jia(,ij=,,,nL)其中A′为A的转置阵则称A为反对称阵。定义若同阶方阵,AB满足ABBA=E=其中E为同阶单位阵则称A与B为互逆方阵记逆阵A−=BB−=A。定义若n阶方阵A满足AAAAE′′==其中E为n阶单位阵则称A为n阶正交矩阵。矩阵可交换的几个充分条件定理①设,AB至少有一个为零矩阵则,AB可交换②设,AB至少有一个为数量矩阵则,AB可交换③设,AB均为对角矩阵则,AB可交换④设,AB均为准对角矩阵则,AB可交换⑤设A∗是A的伴随矩阵则A与A∗可交换⑥设ABE=则,AB可交换。证明:①对任意矩阵A均有:AOOA=O表示零矩阵②对任意矩阵A均有:()()AkEkEA=k为任意实数③④显然成立⑤AAAAAE∗∗==⑥当ABE=时,AB均可逆且互为逆矩阵。定理①设ABABαβ=其中,αβ为非零实数则,AB可交换②设mAABEα=其中m为正整数α为非零实数则,AB可交换。证明:①由ABABαβ=得()()AEBEβα−−=Eαβ即()()AEBEEβααβ−−=故依定理⑥得:()BEααβ−()AEEβ−=于是BAABEEαβαβαβ−−=故BAAα=BABβ=②由mAABEα=得()mAABEα−=故依定理⑥得()mABAEα−=于是mABAEα=所以可得ABBA=。定理①设A可逆若AB=或AAB=或ABA=则,AB可交换②设,AB均可逆若对任意实数k均有()AAkEB=−则,AB可交换。证明:①若AB=由A可逆得()()BAABAAB−−===从而BA=ABBA=若AAB=同理得()BAAB−==()AABE−=故ABBA=若A=BA则()BBAA−==()BAAE−=故ABBA=。②因,AB均可逆故由()AAkEB=−得AkE−可逆且()BAkEA−=−则()()()()ABAkEBAkEABAkEAAkE−−′′′⎡⎤′′′′′=−−=−−⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()()()BAkAAkEBAkEAAkE−−′′′′′′−−=−−=()BAAB′′′=。两边取转置得ABBA=。或由()ABAkEB−−−=−⎡⎤⎣⎦()()()AkEABAkEAAkE−−−−−⎡⎤−=−−=⎣⎦()BAkA−−−()()()AkEBAkEAAkEBA−−−−−=−−=⎡⎤⎣⎦两边取逆可得ABBA=。矩阵可交换的几个充要条件定理下列均是,AB可交换的充要条件:①()()()()ABABABABAB−=−=−②()ABAABB±=±③()ABAB′′′=④()ABAB∗∗∗=⑤()AB−=AB−−。证明:①由()()ABABAABBAB−=−−及()AB−()ABAABBAB=−−可证得②由()ABA±=±ABBAB±证得③分别由,()ABBAABAB′′′==两边取转置可证得④分别由,()ABBAABAB∗∗∗==两边取伴随可证得⑤分别由ABBA=()AB−=AB−−两边取逆可证得。定理①设,AB均为(反)对称矩阵则,AB可交换的充要条件是AB为对称矩阵②设,AB有一为对称矩阵另一为反对称矩阵则,AB可交换的充要条件是AB为反对称矩阵。证明:①设,AB均为对称矩阵由定理③()ABABAB′′′==因此AB为对称矩阵若,AB均为反对称矩阵则()()()ABABABAB′′′==−−=因此AB也为对称矩阵仿①可证②。定理设,AB均为对称正定矩阵则,AB可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵。证明:充分性由定理①可得下面证明必要性。AB为对称正定矩阵故有可逆矩阵,PQ使APP′=BQQ′=。于是ABPPQQ′′=()()PABPPQPQ−′′′=所以PABP−为对称正定矩阵其特征值全为正数而AB与PABP−相似从而AB的特征值也全为正数因此AB为对称正定矩阵。可交换矩阵的性质性质n阶数量阵AEλ=与所有n阶方阵B=(ijb)nn×可交换。证明:因EBBEBEλλλ==故,AB可交换。性质与主对角线上的元素互不相等的n阶对角阵A可交换的矩阵B仍是对角阵。证明:设A=naa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O其中ia≠ja()ij≠B=(ijb)nn×(,,,,)ijn=L因ABBA=得到元素ia·ijb=ijb·ja=ja·ijb(iaja)ijb=因ia≠ja年《和田师范专科学校学报》(汉文综合版)Jul第卷第四期总第期所以只有ijb=()ij≠。性质若,AB可交换且A是可逆的则,AB−可交换。证明:因ABBA=A可逆A−存在故AABABA−−=BABA−=()BAABAAAB−−−−==即,AB−可交换。性质若,AB可交换且A是正交阵则,AB′也可交换。证明:因ABBA=A是正交阵故ABAAAB′′==EBB=()BAABAAAB′′′′==即,AB′可交换。性质型如A=aaa⎛⎞⎜⎟⎝⎠且a=a的二阶上三角阵的可交换阵仍是二阶上三角阵B=bbb⎛⎞⎜⎟⎝⎠且b=b其中ijaijb(,,)ij==为任意实数。证明:因为:AB=bbb⎛⎞⎜⎟⎝⎠aaa⎛⎞⎜⎟⎝⎠=abababab⎛⎞⎜⎟⎝⎠BA=bbb⎛⎞⎜⎟⎝⎠aaa⎛⎞⎜⎟⎝⎠=babababa⎛⎞⎜⎟⎝⎠又a=ab=b所以ABBA=。性质型如A=aaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠且a=a=a的三阶上三角阵的可交换阵仍是三阶上三角阵B=bbbbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠且b=b=babab=其中ijaijb(,,,,)ij==为任意实数。证明:因为:AB=aaabbbaabbab⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=abababababababababab⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠bbbaaaBAbbaabababababababababababa⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠又a=a=ab=b=b且abab=故ABBA=。性质型如A=akxxa⎛⎞⎜⎟⎝⎠的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵B=bkyyb⎛⎞⎜⎟⎝⎠其中,,,,abkxy为任意实数。证明:因为AB=akxbkyxayb⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=abkxykaykbxbxaykxyab⎛⎞⎜⎟⎝⎠BA=bkyyb⎛⎞⎜⎟⎝⎠akxxa⎛⎞⎜⎟⎝⎠=bakxykbxkayaybxkxyba⎛⎞⎜⎟⎝⎠故ABBA=。性质型如A=bxbxb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠的三阶方阵的可交换阵为三阶方阵B=kk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中,,bxk为任意实数。证明:因为AB=bxkbxkb⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=bkkxbk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠BA=kk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠bxbxb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=bkkxbk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠故ABBA=。当矩阵A已知时我们可求得与其可交换的矩阵B例如:例:若A=aλλ⎛⎞⎜⎟⎝⎠其中,aRλ∈求可交换矩阵B。解:由性质B=xxx⎛⎞⎜⎟⎝⎠其中ijx(,)ij==为任意实数。例:若A=kaλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中,,akRλ∈求可交换矩阵B。解:由性质B=xkxxxxx⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中ijx(,,)ij==为任意实数。例:设A=⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠A′=⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠求所有与A可交换的矩阵及所有与A′可交换的矩阵。解:设与A可交换的矩阵B=aaabbbccc⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠iaibicR∈(,,)i=则:AB=⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠aaabbbccc⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=cccaaabbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠BA=aaabbbccc⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=aaabbbccc⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠由ABBA=得c=ac=ac=aa=ba=ba=bb=cb=cb=c故与A可交换的矩阵B=aaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠。同样可以求得与A′可交换矩阵也是B=aaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠。此例表明A和A′有相同的可交换矩阵B说明可交换矩阵有许多奇妙之处而已知矩阵求其可交换矩阵又是一个复杂问题值得我们进一步深入研究。参考文献:阎家灏线性代数M重庆大学出版社P~北京大学数学系高等代数(第二版)M高等教育出版社韩锦扬矩阵乘法ABBA=成立的两个充要条件与一个充分条件J工科数学P~作者简介:李瑞娟女助教平顶山学院数学与信息科学学院教师。收稿日期:

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/2

可交换矩阵浅析

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利