第42章学科结合与高中衔接问题

(最新最全）2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第42章学科结合与 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 衔接问题.doc 2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第42章 学科结合与高中衔接问题 一、选择题 1. （2011台湾全区，30）如图( 十三)，ΔABC中，以B为圆心， 长为半径画弧，分别交 、 于D、E两点，并连接 、 ．若∠A=30∘， ＝ ，则∠BDE的度数为何？ A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75 【答案】Ｃ 2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3. （2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3. （2011重庆市潼南,10,4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的 直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分 别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是 【答案】C 4. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的 ，若在此三角形内找一点O，使得 、 、 的面积均相等。判断下列作法何者正确？[来源:学科网] A． 作中线 ，再取 的中点O B． 分别作中线 、 ，再取此两中线的交点O C． 分别作 、 的中垂线，再取此两中垂线的交点O D． 分别作 、 的角平分线，再取此两角平分线的交点O 【答案】B 二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题 1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． ⑴ 求点C的坐标； ⑵ 若抛物线 经过点C． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D， 在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°,而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO，又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2，∴点C的坐标为(3,－1) (2)①∵抛物线 经过点C(3,－1)，∴ ,解得 ∴抛物线的解析式为 解法一：② i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点 ,使 ,则△ 是以AB为直角边的等腰直角三角形, 如果点 在抛物线上,则 满足条件,过点 作 ⊥ 轴, ∵ ＝ ,∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ ＝90°, ∴△ ≌△ ，∴AE＝AD＝2, ＝CD＝1, ∴可求得 的坐标为(－1,1)，经检验 点在抛物线上,因此存在点 满足条件； ii） 当B点为直角顶点时， 过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取 ，得到以AB为直角边的等腰直角△ 和等腰直角△ ，作 ⊥y轴，同理可证△ ≌△ ∴ BF＝OA＝1，可得点 的坐标为（－2，－1），经检验 点在抛物线上,因此存在点 满足条件．同理可得点 的坐标为（2，－3），经检验 点不在抛物线上． 综上：抛物线上存在点 (－1,1)， （－2，－1）两点，使得△ 和△ 是以AB为直角边的等腰直角三角形． 解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分） i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为 由 解之可得 (－1,1) （已知点C除外）作 ⊥x轴于E,则AE＝2, ＝1, 由勾股定理有又∵AB＝ ,∴ ，∴△ 是以AB为直角边的等腰三角形； i i）当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点 和点 ，易求出直线L的解析式为 ，由 解得 或 ∴ (－2,－1)， （4，－4）作 ⊥y轴于F，同 理可求得 ∴△ 是以AB为直角边的等腰三角形作 ⊥y轴于H，可求得 ，∴Rt△ 不是等腰直角三角形，∴点 不满足条件． 综上：抛物线上存在点 (－1,1)， （－2，－1）两点，使得△ 和△ 是以角AB为直边的等腰直角三角形． 2. （2011广东省，22，9分）如图，抛物线 与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由. 【解】（1）把x=0代入 ，得 把x=3代入 ，得 ， ∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3， ） 设直线AB的解析式为 ，代入A、B的坐标，得 ，解得 所以， （2）把x=t分别代入到 和 分别得到点M、N的纵坐标为 和 ∴MN= -（ ）= 即 ∵点P在线段OC上移动， ∴0≤t≤3. (3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN ∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形 由 ，得 即当 时，四边形BCMN为平行四边形 当 时，PC=2，PM= ，PN=4，由勾股定理求得CM=BN= , 此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BC MN为菱形； 当 时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM= , 此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形； 所以，当 时，平行四边形BCMN为菱形． 3. （2011湖南怀化，24，10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 的图像与AC边交于点E. （1）​ 求证：AE×AO=BF×BO； （2）​ 若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式； （3）​ 是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：由题意知，点E、F均在反比例函数 图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO. (2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数 得k=8， 所以反比例函数的解析式为 . ∵OB=6，∴当x=6时，y= ，点F的坐标为（6， ）. 设过点O、E、F三点的二次函数表达式为 ，将点O（0，0），E（2、4），F（6， ）三点的坐标代入表达式得： 解得 ∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为： . (1)​ 如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H. 设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m 由（1）得AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=1.5m. 由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=1.5m，∠EC′F=∠C=90° 在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°， 又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90° ∴∠C′EH=FC′B ∵∠EHC′=C′BF=90° ∴△EC′H∽△C′FB，∴ ∴ ， ∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4 ∴C′B= . 在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F2=BF2+C′B2，即m2=(4-m)2+ 解得：m= BF=4- = , 在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即OF2=62+ = . ∴OF= ∴存在这样的点F，OF= ,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上. 4. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作 正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S. (1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ； (2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)2；6； (2) 当0＜t≤ 时（如图），求S与t的函数关系式是：S= =(2t)2=4t2； 当 ＜t≤ 时（如图），求S与t的函数关系式是：S= -S△HMN=4t2- × ×[2t- (2-t)] 2 = t2+ t- ； 当 ＜t≤2时（如图），求S与t的函数关系式是：S= S△ARF -S△AQE = × (2+t) 2 - × (2-t) 2=3t. (3)由（2）知：若0＜t≤ ，则当t= 时S最大，其最大值S= ； 若 ＜t≤ ，则当t= 时S最大，其最大值S= ； 若 ＜t≤2，则当t=2时S最大，其最大值S=6. 综上所述，当t=2时S最大，最大面积是6. 5. （2011山东临沂，26，13分)如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线过原点O， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx， 将A（－2，0），B（－3，3）代入，得 解得 ∴此抛物线的解析式为y＝x2＋2x．……………………（3分） （2）如图，①当AO为边时， ∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴DE∥AO，且DE＝AO＝2，…………………………………………（ 4分） 点E在对称轴x＝－1上， ∴点D的横坐标为1或－3，…………………………………………（ 5分） 即符合条件的点D有两个，分别记为：D1，D2， 而当x＝1时，y＝3；当x＝－3时，y＝3， ∴D1（1，3），D2（－3，3）．…………………………………………（7分） ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分， 又点E在对称轴上， 且线段AO的中点横坐标为－1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（－1，,1）， 综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为D1（1，3），D2（－3，3），C（－1，,1）．………………………………………………………（8分 ） ③存在．…………………………………………………………………（9分） [来源:学科网ZXXK] 6. （2011上海，24，12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数 的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数 的图像上，且MO=MA．二次函数y=x2＋bx＋c的图像经过点A、M． （1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数 的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数 ，当x=0时，y=3．所以点A的坐标为（0，3）． 正比例函数 ，当y = 时，x=1．所以点M的坐标为（1， ）． 如下图，AM= ． （2）将点A（0，3）、M（1， ）代入y=x2＋bx＋c中，得 解得 即这个二次函数的解析式为 ． （3） 设B(0，m)（m<3），C(n， )，D(n， )．则 = ， = = ， = ． 因为四边形ABCD是菱形，所以 = = ． 所以 解得 （舍去） 将n=2代入 ，得 =2．所以点C的坐标为（2，2）．[来源:Zxxk.Com] 7. （2011四川乐山26，13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线 经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值 （3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围； ②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。 【答案】 解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为 ∵ 的图像经过了点B(5,5) ∴ 解得 ∴ 即： ⑵. 如图，作点A关于y轴对称点 ,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点 ,与x轴交与点 C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。 ∵A(1,5),B(5,1) ∴ ∴ ⑶.①如图 ∵ ∴直线AB的解析式为 ∴直线 与直线 的交点 ∵ ，点Q为OP的中点 ∴ ∵△PBR与直线CD有公共点， ∴ ，即 8. （2011湖北黄冈，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线 交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）． ⑴求b的值． ⑵求x1•x2的值 ⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由． 【答案】解：⑴b=1 ⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根与系数关系”得 =－4 ⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形． ⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M1N1．[来源:学科网] 如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为 ,计算知NN1= ， NF= ，得NN1=NF 同理MM1=MF． 那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ= （MM1＋NN1）= MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切． 9. （2011湖南衡阳，27，10分）已知抛物线 ． (1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y =x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D． ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【解】 (1) = = = = ，∵不管m为何实数，总有 ≥0，∴ = ＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点． (2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴ ， 抛物线的解析式为 = ，顶点C坐标为（3，－2）， 解方程组 ，解得 或 ，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵ 时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与 轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2， 1​ 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形． 2​ (Ⅰ)设直线CD向 右平移 个单位（ ＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3 ，直线CD与直线y=x－1交于点M（3 ，2 ），又∵D的坐 标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C． ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形． （ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3 ， ）， 又N在抛物线 上，∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ， （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3 ， ）， 又N在抛物线 上，∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ， (Ⅱ) 设直线CD向左平移 个单位（ ＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3 ，直线CD与直线y=x－1交于点M（3 ，2 ），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C． ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形． （ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3 ， ）， 又N在抛物线 上，∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）， （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3 ， ）， 又N在抛物线 上，∴ ， 解得 ， （不合题意，舍去）， 综上所述，直线CD向右平移2或（ ）个单位或向左平移（ ）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 10．（2011湖北襄阳，26，13分) 如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O ′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝ ，抛物线 过A，B，C三点. （1）求证：∠CAD＝∠CAB； （2）①求抛物线的解析式； ②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明：连接O′C. ∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD 1分 ∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD 2分 ∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB ∴∠CAD＝∠CAB. 3分 （2）∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90° ∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴ 即 4分 ∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝ ，∴OA＝2OC 又∵AB＝10，∴ ∵OC＞0 ∴OC＝4，OA＝8，OB＝2. ∴A（－8，0），B（2，0），C（0，4） 5分 ∵抛物线 过A，B，C三点.∴c＝4 由题意得 ，解之得 ， ∴ . 7分 （3）设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8. ∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴ ∴8(BF＋5)＝5(BF＋10)，∴ ，∴ . 8分 设直线DC的解析式为 ，则 ，即 ∴ . 9分 由 得 顶点E的坐标为 10分 将 代入直线DC的解析式 中， 右边 左边. ∴抛物线的顶点E在直线CD上. 11分 （3）存在. ， 13分 11. （2011山东东营，24，12分）(本题满分12分) 如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3,0），（0,1），点 D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D做直线 交折现OAB与点E。 （1）记ΔODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，且tan∠DEO= 。若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 ，试探究四边形 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，如不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。 【答案】 解（1）由题意得B（-3,1）.若直线经过点A(-3,0)时，则b= ； 若直线经过点B(-3,1)时，则b= ； 若直线经过点C(0,1)时，则b=1； ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图（1），此时E（-2b，0），∴S= ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图（2），此时点E（-3，b- ），D（-2b+2,1） [来源:学科网ZXXK] ∴ ∴ （2）如图3，设O1A1 与CB相交与点M，OA与C1B1相交与点N，则矩形O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴MD=ME，∴四边形DNEM为菱形。 过点D作DH⊥OA，垂足为H，依题意知，tan∠DEH= ，DH=1， ∴ HE=2，设菱形DNEM的边长为a,则在Rt△DHN中，由勾股定理知： ，∴ ∴ ∴矩形O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 13. （2011湖北鄂州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线 交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）． ⑴求b的值． ⑵求x1•x2的值 ⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由． 【答案】解：⑴b=1 ⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根与系数关系”得 =－4 ⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形． ⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M1N1． 如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为 ,计算知NN1= ， NF= ，得NN1=NF[来源:学&科&网Z&X&X&K] 同理MM1=MF． 那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ= （MM1＋NN1）= MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切． 14. （2011广东湛江28,14分）如图，抛物线 的顶点为 ,与 轴相交点 ，与 轴交于 两点（ 点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明 为直角三角形； （3）若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，所以抛物线的解析式为 ； （2）因为 ，可得 , 所以有 所以 ，所以 为直角三角形； （3）可知 ,假设存在这样的点F，设 ，所以 , 要使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要 ,即 ，所以 或 ，因此点F的坐标为 或 。 15. （2011山东枣庄，25，10分）如图，在平面直角坐标系 中，把抛物线 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 . （1）写出 的值； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）在线段 上是否存在点 ，使 ∽ ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1） 的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴ . ……………………………………………………………………２分 （2）由（1）得 . 当 时， ． 解之，得　 ． ∴ . 又当 时， ，[来源:学科网ZXXK] ∴C点坐标为 .……………………………………………………………………4分 又抛物线顶点坐标 ，作抛物线的对称轴 交 轴于点E， 轴于点 ．易知 在 中， ； 在 中， ； 在 中， ； ∴ ． ∴ △ACD是直角三角形．　　………… …………………………………………………６分 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点． 由（2）知， 为等腰直角三角形， ， ． 由 ，得 ． 即 . ……………………………………………………８分 过 点作 于点 ，则 ， . 又点M在第三象限，所以 . …………………………………………………10分 16. （2011湖南湘潭市，26，10分）（本题满分10分） 已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T. ⑴ 如图⑴，当C点运动到O点时，求PT的长; ⑵ 如图⑵，当C点运动到A点时，连结PO、BT，求证：PO∥BT; ⑶ 如图⑶，设 ， ，求 与 的函数关系式及 的最小值. 【答案】解：（1）连接OT， 当C点运动到O点时，∵PT为⊙O的切线，∴OT⊥PT, ∴在Rt△PTO中， ． (2)连接AT, 当C点运动到A点时，∵PC⊥AB，∴PA是⊙O的切线． ∵PT为⊙O的切线，∴PA=PT、PO平分∠APT，∴PO⊥AT. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB是直角，即BT⊥AT，∴PO∥BT． ⑶连接OP、OT。∵ ，∴ ． ∵在Rt△PCO中， 在Rt△POT中， , ∴ ，即 ． ∴ ． 当x=4时，y最小其值为9. ∴ 与 的函数关系式为 ， 的最小值是9. 17. （2011湖北荆州，24，12分）（本题满分12分）如图甲，分别以两个彼此相信的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线不x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1. （1）求B点的坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t， ，直接写出s与t之间的函数关系式. 　　图甲　　　　　　　　　　　　　　图乙 【答案】解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝n ∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n ∴BC＝2PC＝2n 而PB＝PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2 又PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1 ∴5n2=(n+1)2+1 解得n1=1， (舍去) ∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2） [来源:学科网ZXXK] （2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0） ∵A，C在抛物线上 ∴ ，解之得： ∴抛物线的解析式为  ∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称，∴CF＝FG＝1 ∴MF＝ FG＝ 在Rt△PEF与Rt△EMF中 ， ∴ ，而∠PFE＝∠FEM＝90° ∴△PEF∽△EMF ∴∠EPF＝∠FEM ∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90° ∴ME与⊙P相切 （3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ 则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为（AC+A′C）的长 ∵A与A′关于直线x=3对称 ∴A（0，2），A′（6，2） ∴A′C＝ ， 而AC= ∴△ACQ周长的最小值为  ②当Q点在F点上方时，S＝t+1 当Q点在线段FN上时，S＝1-t 当Q点在N点下方时，S＝t-1. 　　　　　　　图乙 [来源:Z+xx+k.Com] 18. 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