4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似

4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似nullnull第四章能带理论 Energy Band Theory能带理论是关于单电子在周期势场中运动的理论, 电子波函数是调幅平面波, 能级成带结构null能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础上世纪二十年代末三十年代初, 在用量子力学研究金属电导的过程中发展起来早期的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点, 例如说明了固体为什么有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距…等这些经典电子理论中遇到的困难null能带论提供了分析半导体理论问题的基础,...

nullnull第四章能带理论 Energy Band Theory能带理论是关于单电子在周期势场中运动的理论, 电子波函数是调幅平面波, 能级成带结构null能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础上世纪二十年代末三十年代初, 在用量子力学研究金属电导的过程中发展起来早期的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点, 例如说明了固体为什么有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距…等这些经典电子理论中遇到的困难null能带论提供了分析半导体理论问题的基础,有力地推动了半导体技术的发展五、六十年代, 由于研究固体的实验工作的重大发展, 提供了大量的实验数据, 和由于大型、高速电子计算机的应用, 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算null1. 单电子近似将价电子看成独立地在一个等效势场中运动, 它包括离子实的势场, 其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用。采用哈特里－福克(Hartree －Φok) 自洽场方法处理等效势场 2. 绝热近似讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 3. 周期场近似对于理想晶体, 原子规则排列成晶格, 晶格具有周期性, 因而等效势场 V(r) 也应具有周期性能带理论是一个近似的理论null 这样，晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为null周期势场示意图null§4-1 布洛赫定理 Bloch΄s Theorem从等效势具有晶格周期性出发, 讨论波动方程的解什么特点nullk 为一矢量布洛赫定理当势场具有晶格周期性时, 波动方程的解具有如下性质null 根据布洛赫定理，可以把波函数写成其中 u(r) 具有与晶格相同的周期性它是平面波与周期函数的乘积null布洛赫定理的证明可以引入描述这些平移对称操作的算符 T1, T2, T3, 它们的定义是, 对于任意函数 f (r), 有其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢势场的周期性反映了晶格的平移对称性, 即晶格平移任意格矢量 Rm 时势场是不变的null显然这些算符是相互对易的或null在晶体中单电子运动的哈密顿量为它具有晶格周期性null由于 f (r)是任意的, 上式表明 Tα 和 H 是对易的以算符的形式表示出晶体中单电子运动的平移对称性根据量子力学可以选择 H 的本征态，使它同时为各平移算符的本征态用λ1,λ2,λ3来标志量子态nullN1,N2,N3 表示三个方向的原胞数λi 受到严格限制, 如λ1 必须为以下形式l1 为整数为了确定本征值λi , 需要引入边界条件, 与晶格振动相类似, 选择周期性边界条件(玻恩－卡曼边界条件)null同样如果引入矢量其中 b1、b2、b3 为倒矢量, 有 ai·bj=2πδij , 则本征值λ1,λ2,λ3 可以写成以下形式null总之, 由于 H 与平移算符对易, 可以选择 H 的本征态, 同时为平移算符的本征态; 这些本征态在平移算符的作用下的本征值具有这样的形式这就是布洛赫定理null如果 k 改变一个倒格子矢量完全不影响本征值 λ1,λ2,λ3必须把 k 限制在一定范围内, 使它既能概括所有不同的 λ1,λ2, λ3 取值, 同时有没有两个 k 相差一个倒格子矢量 Gnk 称为简约波矢, 是对应于平移操作本征值的量子数它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的变化。不同 k 值表示原胞间的位相差是不同的null与晶格振动时相类似, 最明显的办法是把 k 限制在 k 空间 b1、b2、b3 形成的倒格子原胞之中, 但实际上这往往不是最方便的通常是选由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面, 所围成的第一布里渊区, 它具有环绕原点更为对称的优点代表 k 空间中均匀分布的点, 其密度为 V/(2π)³. 在第一布里渊区中 k 的取值总数为 N, N 为原胞数null试求电子在该态的波矢。解: 根据 Bloch 定理,而练习所以null§4-1 布洛赫定理小结布洛赫定理的内容：当势场具有晶格周期性时，波函数满足证明过程平移算符对易关系 H 与 T 的共同本征态周期性边界条件简约波矢第一布里渊区null§4-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似通过这个最简单的一维模型的讨论, 可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点一、模型和微扰计算null一维周期场null零级近似的波动方程为L=Na正是由于零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似容易验证波函数满足正交归一化条件引入周期性边界条件可以得到 k 只能取下列值null按照一般微扰理论的结果, 本征值的一级和二级修正为波函数的一级修正为1. 非简并微扰null现在证明, 由于 V(x) 的周期性, 上述矩阵元服从严格的选择定则, 将按原胞划分写成null对不同原胞 n, 引入积分变数ξ并考虑到 V(x) 的周期性可以把前式写成null现在区分两种情况null否则上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数null根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成类似 Bloch函数的形式null二级微扰能量null进一步分析发散产生的原因，可以指出如何正确处理问题很显然, 该发散的结果是没有意义的。它只说明, 以上的微扰论方法, 对于上面 nπ/a 附近的 k 是发散的, 因此不适用

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