一．求下列极限（5分×4）
1．
n n
n
x+
∞→
1lim ；
2．l nnnn
n
−++
∞→
lim
3． ∫ −+→ xdxt
x
tt
cos)1(
1
lim
0
4．
x
n x
x cos1
1
0
sin
lim
−
→
二．若 )(xf 在 ),[ +∞a 上连续， Axf
x
=
+∞→
)(lim （有限数），
证明
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： )(xf 在 ),[ +∞a 上一致
连续（8分）
三 ． 证 明 ： 1. 若 )(xf 在 )1,0[ 上 连 续 且 严 格 单 调 减 ， 则 对 10 << k ， 有
∫ ∫>
k
dxxfkdxxf
0
1
0
)()( ；
2．若 1>x ，则
3
3
)1(
)1(8
ln3
+
−
>
x
x
x （6分×2）
四．讨论 ∫
1
0 )
2
(tan
ln
dx
xx
x
ppi
的收敛性（10分）
五．设 ∑
∞
=
+
=
1
221
1
)(
n xn
xf
1．求 )(xf 的定义域 D，
2．证明： ∑
∞
=
+1
221
1
n xn
在 D上非一致收敛，
3．证明 )(xf 在 D上连续，
4．证明 )(xf 在 D上无界。
六．讨论二元函数
=+
≠+
+=
0,0
0,
),(
22
22
44
2
yx
yx
yx
xy
yxf 在 2R 上的连续性，可导性及可微性。
（12分）
七 ． 计 算 曲 线 积 分 ∫ ++−
L
dy
x
y
x
y
x
y
dx
x
y
x
y
)cos(sin)cos1(
2
2
， 其 中 L 是 沿
22 )
2
3
(4
pi
pi −= xy 从 )1,
1
(
pi
A 到 )1,
2
(
pi
B （12分）
八．设偶函数 )(xf 在 ]1,1[− 上具有二阶连续的导函数，证明：1. 0)0( =′f ；
2．∑
∞
=
−
1
)]0()
1
([
n
f
n
f 绝对收敛。（10分）
九．设函数 )(xf 在 ),( +∞−∞ 上二阶导函数连续，且 0)0( =f 令
=
≠
=
0,
0,
)(
)(
xa
x
x
xf
xg
1．确定 a的值，使 )(xg 在 ),( +∞−∞ 上连续；
2．对上述的 a，证明 )(xg 在 ),( +∞−∞ 上具有连续的一阶导数。（10分）
浙公网安备 33021202002483