2019版中考数学总复习第七章统计与概率7.1统计（讲解部分）检测

第七章　 统计与概率 ６１　　　 第七章　 统计与概率 § ７．１　 统　 计 １８１ 考点清单 考点一　 数据的收集 　 　 １．数据的收集方式：普查和抽样调查． ２．总体、个体、样本和样本容量 总体是指所考察对象的全体，组成总体的每一个考察对象 叫做个体，样本是指从总体中抽出的部分个体，样本中个体的数 目叫做样本容量． 考点二　 数据的处理 　 　 １．中位数、众数 中位数、众数都是描述一组数据平均水平的特征数． 众数是一组数据中①　出现次数最多的数据　 ． 中位数是将一组数据按大小顺序排列处于②　最中间　位置 的一个数据（或最中间两个数据的平均数） ． ２．平均数 求平均数的方法： （１）基本方法：ｘ＝③　 ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ ｎ 　 ； （２）新数据法：ｘ＝ ｘ′＋ａ； （３）加权平均数的计算公式：④　 ｘ ＝ ｘ１ ｆ１＋ｘ２ ｆ２＋…＋ｘｋ ｆｋ ｆ１＋ｆ２＋…＋ｆｋ （ ｆ１ ＋ ｆ２ ＋…＋ｆｋ ＝ｎ） 　 ． ３．极差：一组数据中的⑤　最大数与最小数的差　叫做极差． ４．方差：样本的⑥　每个数据与平均数的差　的平方的平均数 叫做样本方差． ５．标准差：方差的算术平方根叫做标准差． ６．求方差的方法 设 ｎ 个数据 ｘ１， ｘ２，…， ｘｎ 的平均数为 ｘ，则其方差 ｓ２ ＝⑦　 １ ｎ ［（ｘ１－ｘ） ２＋（ｘ２－ｘ） ２＋…＋（ｘｎ－ｘ） ２］ 　 ． ７．样本方差与标准差是衡量一组数据波动性的量，其值越大，波 动越大． 考点三　 统计图表 　 　 １．分析数据的统计图有： （１）扇形统计图； （２）条形统计图； （３）折线统计图； （４）频数分布直方图． ２．频数是指⑧　某个数据出现的次数　 ． ３．频率是⑨　频数与数据总个数之比　 ． ４．画频数分布直方图的步骤： （１）求极差； （２）决定组数； （３）确定组距； （４）求出频数； （５）画频数分布直方图． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １８２ 方法一　 常见统计量的计算 　 　 常见的统计量有平均数、众数、中位数和方差． 　 　 例 １　 （２０１７菏泽，４，３ 分）某兴趣小组为了解我市气温变 化情况，记录了今年 １月份连续 ６天的最低气温（单位：℃）：－７， －４，－２，１，－２，２，关于这组数据，下列结论不正确的是　 （ 　 　 ） Ａ．平均数是－２ Ｂ．中位数是－２ Ｃ．众数是－２ Ｄ．方差是 ７ 解析　 平均数是 （－７）＋（－４）＋（－２）＋１＋（－２）＋２ ６ ＝ －２， 方差是 １ ６ ×｛［（ －７） －（ －２）］ ２ ＋［（ －４） －（ －２）］ ２ ＋［（ －２） － （－２）］ ２＋…＋［２－（－２） ２］｝ ＝ １ ６ ×（２５＋４＋０＋…＋１６）＝ ９， 　 　 因为这组数据中－２出现了两次，次数最多，所以众数是－２． 将这据数据从小到大排列为－７，－４，－２，－２，１，２， 则中位数是 －２＋（－２） ２ ＝ －２． 答案　 Ｄ 　 　 变式训练　 （２０１８ 湖北荆门，８，３ 分）甲、乙两名同学分别 进行 ６次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 ９ ８ ６ ７ ８ １０ 乙 ８ ７ ９ ７ ８ ８ 　 　 对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是 （　 　 ） Ａ．他们训练成绩的平均数相同 Ｂ．他们训练成绩的中位数不同 Ｃ．他们训练成绩的众数不同 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２　　　 ５年中考 ３年模拟 Ｄ．他们训练成绩的方差不同 答案　 Ｄ 解析　 ｘ甲 ＝ １ ６ ×（９＋８＋６＋７＋８＋１０）＝ ８，ｘ乙 ＝ １ ６ ×（８＋７＋９＋ ７＋８＋８）＝ ４７ ６ ，因为ｘ甲＞ｘ乙，所以他们训练成绩的平均数不同，选 项 Ａ错误．将每组数据排序后，第 ３个数和第 ４ 个数的平均数即 是中位数，由此可知他们训练成绩的中位数相同，都是 ８，选项 Ｂ 错误．两组数据都是 ８出现的次数最多，因此他们训练成绩的众 数相同，都是 ８，选项 Ｃ错误．由排除法可知选项 Ｄ正确，故选 Ｄ． 　 　 例 ２　 （２０１７德州，６，３分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店 主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 ３９ ４０ ４１ ４２ ４３ 平均每天销售数量 ／件 １０ １２ ２０ １２ １２ 　 　 该店主决定本周进货时，增加一些 ４１ 码的衬衫，影响该店 主决策的统计量是 （　 　 ） Ａ．平均数 Ｂ．方差 Ｃ．众数 Ｄ．中位数 解析　 由于 ４１码的衬衫销售的数量最多，因此该店主本 周进货时，增加一些 ４１ 码的衬衫，一组数据中出现次数最多的 数即为这组数据的众数，所以影响该店主决策的统计量是众数． 答案　 Ｃ 　 　 变式训练　 （２０１６ 内蒙古呼和浩特，２０，７ 分）在一次男子 马拉松长跑比赛中，随机抽得 １２ 名选手所用的时间（单位：分 钟）得到如下样本数据：１４０　 １４６　 １４３　 １７５　 １２５　 １６４　 １３４ 　 １５５　 １５２　 １６８　 １６２　 １４８ （１）计算该样本数据的中位数和平均数； （２）如果一名选手的成绩是 １４７分钟，请你依据该样本数据 的中位数，推断他的成绩如何． 解析　 （１）将这组数据按从小到大的顺序排列如下：１２５， １３４，１４０，１４３，１４６，１４８，１５２，１５５，１６２，１６４，１６８，１７５． ∵ 这组数据按从小到大的顺序排列后，处于最中间的两个 数为 １４８，１５２， ∴ 该样本数据的中位数为 １４８＋１５２ ２ ＝ １５０（分钟） ． 平均数为ｘ＝ １ １２ ×（１２５＋１３４＋１４０＋１４３＋１４６＋１４８＋１５２＋１５５＋ １６２＋１６４＋１６８＋１７５）＝ １ １２ ×１ ８１２＝ １５１（分钟） ． （２）依据（１）中得到的样本数据的中位数可以估计，在这次 马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于 １５０ 分钟，有一半选 手的成绩慢于 １５０分钟．这名选手的成绩为 １４７ 分钟，快于中位 数 １５０分钟，可以断定他的成绩比一半以上选手的成绩好． 方法二　 理解统计图表的意义和作用 　 　 条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有各的特点，它们 从不同角度清楚、有效地描述数据．在解决由多种统计图共同组 成的题目时，解题关键是结合各种统计图，将题目中用到的信息 找出来，同时注意各种统计图的互补性． 例 ３　 （２０１８新疆乌鲁木齐，２０，１２ 分）某中学 １ ０００ 名学 生参加了“环保知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽 取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为 １００ 分）作为样本进 行统计，并制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整且 局部污损，其中“■”表示被污损的数据） ． 成绩分组 频数 频率 ５０≤ｘ＜６０ ８ ０．１６ ６０≤ｘ＜７０ １２ ａ ７０≤ｘ＜８０ ■ ０．５ ８０≤ｘ＜９０ ３ ０．０６ ９０≤ｘ≤１００ ｂ ｃ 合计 ■ １ 　 请解答下列问题： （１）写出 ａ，ｂ，ｃ的值； （２）请估计这 １ ０００ 名学生中有多少人的竞赛成绩不低于 ７０分； （３）在选取的样本中，从竞赛成绩是 ８０分以上（含 ８０分）的 同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的 ２ 名同学来自同一组的概率． 解析　 （１）ａ＝ ０．２４，ｂ＝ ２，ｃ＝ ０．０４． （２）在选取的样本中，竞赛成绩不低于 ７０分的频率是 ０．５＋０．０６ ＋０．０４＝０．６，根据样本估计总体的思想，有 １ ０００×０．６＝６００（人）． ∴ 这 １ ０００名学生中有 ６００人的竞赛成绩不低于 ７０分． （３）成绩是 ８０分以上（含 ８０分）的同学共有 ５人，其中成绩 在 ８０～９０（含 ８０，不含 ９０）分的有 ３人，记为 Ａ１，Ａ２，Ａ３，成绩在 ９０ ～１００（含 ９０和 １００）分的有 ２ 人，记为 Ｂ１，Ｂ２，从成绩是 ８０ 分以 上（含 ８０分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树状图所示， 共有 ２０种情况： 抽取的 ２ 名同学来自同一组的有 Ａ１，Ａ２；Ａ１，Ａ３；Ａ２，Ａ１；Ａ２， Ａ３；Ａ３，Ａ１；Ａ３，Ａ２；Ｂ１，Ｂ２；Ｂ２，Ｂ１，共 ８ 种情况，∴ 抽取的两名同学 来自同一组的概率 Ｐ＝ ８ ２０ ＝ ２ ５ ． 思路分析　 （１）由频数分布直方图与频数分布表即可得 出；（２）根据（１）及频数分布表来求即可；（３）先找出成绩在 ８０～ ９０（含 ８０，不含 ９０）和 ９０～１００（含 ９０和 １００）的同学人数，然后根 据树状图得出所有可能的情况，最后求出概率． 　 　 变式训练　 （２０１８青岛，１８，６分）八年级（１）班研究性学习 小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同 学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制 了以下统计图． 请根据图中信息解决下列问题： （１）共有　 　 　 　 名同学参与问卷调查； （２）补全条形统计图和扇形统计图； （３）全校共有学生 １ ５００ 人，请估计该校学生一个月阅读 ２ 本课外书的人数约为多少． 解析　 （１）１００． （２）一个月阅读 ４本课外书的女生人数为 １００×１５％－１０＝ ５， 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第七章　 统计与概率 ６３　　　 一个月阅读 ２ 本课外书的学生人数所占百分比为 ２０＋１８ １００ × １００％ ＝ ３８％，补全统计图如下： （３）该校学生一个月阅读 ２ 本课外书的人数约为 １ ５００× ３８％ ＝ ５７０． 思路分析　 （１）根据一个月阅读 １本（或 ３本）课外书的学 生人数及所占百分比可求得参与问卷调查的总人数；（２）计算一 个月阅读 ４本课外书的女生人数，补全条形统计图，计算一个月阅 读 ２本课外书的学生人数所占百分比补全扇形统计图；（３）用样 本中一个月阅读 ２本课外书的学生人数所占百分比来估计总体． 方法规律　 对于条形统计图和扇形统计图的综合运用的 有关问题，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信 息，从同一部分的频数和百分比入手，可求样本容量；利用样本 去估算总体是统计中重要的数学思想．另外，双图题通常把两个 统计图的公共部分作为解题的突破口． 归纳拓展　 统计图中相关量的计算方法如下： （１）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方 法如下： ①未知组频数＝样本总量－已知组频数之和； ②未知组频数＝样本容量×该组所占样本百分比． （２）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其对应扇形 圆心角的度数，方法如下： ①未知组的百分比＝ １－已知组的百分比之和； ②未知组的百分比＝ 未知组频数 样本容量 ×１００％； ③若求未知组在扇形统计图中对应圆心角的度数，则利用 ３６０°×其所占样本百分比求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋