第八章 电磁感应 电磁场

1 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 精解 8-1 一根无限长直导线有交变电流 0 sini I tw= ，它旁边有一与它共面的矩形线圈 ABCD， 如图 8.3所示，长为 l的 AB和 CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为 a和 b， 试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图 8.3所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx= ，载流长直导线的磁 场穿过该面元的磁通量为 0 2m id B dS ldx x mf p = × = 通过矩形面积 CDEF的总磁通量为 0 0 ln 2 2 b m a i il bldx x a m mf p p = =ò 由法拉第电磁感应定律有 0 ln cos 2 md il b t dt a f m we w p = - = - 8-2 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为 n，在管的中心放置一绕了 N圈，半 径为 r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt，球小 线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 0B nIm= 通过 N匝圆形小线圈的磁通量为 20m NBS N nI rf m p= = 由法拉第电磁感应定律有 20 md dIN n r dt dt fe m p= - = - 8-3 一面积为 S的小线圈在一单位长度线圈匝数为 n，通过电流为 i的长螺线管内，并与螺 线管共轴，若 0 sini i tw= ，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 0m BS niSf m= = 由法拉第电磁感应定律有 0 0 0 cosm d dinS nSi t dt dt fe m m w w= - = - = - 8-4 如图 8.4所示，矩形线圈 ABCD放在 16.0 10B T-= ´ 的均匀磁场中，磁场方向与线圈 平面的法线方向之间的夹角为 60a = °，长为0.20m的 AB边可左右滑动。若令 AB边以速 率 15.0v m s-= · 向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2 0.20 0 ( ) 5 0.6 sin( 60 ) 0.30( ) 2 B A v B dl dl Vpe = ´ · = ´ ´ - ° =ò ò 感应电流的方向从 A B® . 8-5 如图 8.5所示，两段导体 AB和 CD的长度均为10cm，它们在 B处相接成角30°；磁 场方向垂直于纸面向里，其大小为 22.5 10B T-= ´ 。若使导体在均匀磁场中以速率 11.5v m s-= · 运动，方向与 AB段平行，试问 AC间的电势差是多少? 哪一端的电势高？ 解 导体 AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC段产生的动生电动 势为 1.10 2 3 0 ( ) 1.5 2.5 10 cos 60 1.9 10 ( ) C B v B dl dl Ve - -= ´ · = ´ ´ ´ ° = ´ò ò AC间的电势差是 31.9 10 ( )ACU Ve -= - = - ´ C端的电势高。 8-6 长为 l的一金属棒 ab，水平放置在均匀磁场B中，如图 8.6所示，金属棒可绕 O 点在 水平面内以角速度w旋转，O点离 a端的距离为 l k 。试求 a,b两端的电势差，并指出哪端 电势高（设 k>2） 解 建立如图 8.6所示的坐标系，在 Ob棒上任一位置 x处取一微元dx，该微元产生的动 生电动势为 ( )d v B dx xBdxe w= ´ · = - Ob棒产生的动生电动势为 2 2 0 1 1(1 ) 2 l l k Ob xBdx Bl k e w w - = - = - -ò 同理，Oa棒产生的动生电动势为 21 2 20 1 2 k Oa lxBdx Bl k e w w= - = -ò 金属棒 a,b两端的电电势差 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2(1 ) (1 ) 2 2 2ab ab Oa Ob lU Bl Bl Bl k k k e e e w w w= - = - = - - - = - 因 k>2，所以 a端电势高。 8-7 如图 8.7所示，真空中一载有稳恒电流 I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半 径为 r，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd的延长线与长直导线相交，导线与圆 心 O 之间距离为，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度垂直纸面向外运 动时，求： （1）回路中感应电动势的大小； Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3 （2）半圆弧导线 ¼ cd中感应电动势的大小。 解 （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回 路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势 0e = 。 （2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以 可由直导线计算感应电动势的大小 选取 x轴如图 8.7所示，在 x处取线元 dx,dx中产生感应电动势大小为 ( )d v B dle = ´ · 其中 0 2 IB x m p = 导线cd及圆弧 ¼ cd产生感应电动势的大小均为 0 0 ln 2 2 l r l r l r l r Iv Ivdx l rvBdx x l r m me p p + + - - + = = = -ò ò 8-8 在半径 0.50R m= 的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且 2 11.0 10dB dt T s- -= ´ · ，圆柱体外无磁场，试求离开中心 O 的距离分别为 0.1 ,0.25 ,0.50 ,1.0m m m m和各点的感生电场的场强。 解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有 L S BE dl dS t ¶ · = - · ¶ò òòÑ 感 而 22 , L S B dBE dl E r dS r t dt p p¶· = - · = - ¶ò òòÑ 感 感 当 r R< 时， 22 dBE r r dt p p= -感 1 2 dBE r dt = -感 所以 0.1r m= 时， 4 15.0 10E V m- -= ´ ·感 ； 0.25r m= 时，。 3 11.3 10E V m- -= ´ ·感 当 r R> 时 22 dBE r R dt p p= -感 2 2 R dBE r dt = -感 所以 0.50r m= 时， 3 12.5 10E V m- -= ´ ·感 ; 1.0r m= 时 3 11.25 10E V m- -= ´ ·感 8-9 如图 8.8所示，磁感应强度为B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱体内，有一长为 l的 金属棒ab放在该磁场中，如果 B以速率dB dt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 4 两端的电动势等于 2 21 1 2 2 dB l R dt æ ö- ç ÷ è ø 证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一 连接 Oa,Ob,设想 Oab构成闭合回路，由于 Oa,Ob沿半径方向，与通过该处 的感生电场处垂直，所以 Oa,Ob 两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合 回路 Oab的总电动势就是棒 ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律 2 21 1 2 2ab Oab dB dBS l R dt dt e e æ ö= = - = - ç ÷ è ø 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 1 2 dBE r dt = -感 棒 ab两端的电动势为 2 2 2 2 0 0 0 1 21 1 1cos 2 2 2 l l l ab R dB dBE dx E dx r dx l R dt r dt e q æ ö- ç ÷ æ öè ø= · = = - = - ç ÷ è øò ò ò感 感 8-10 如图 8.9所示，两根横截面半径为 a 的平行长直导线，中心相距 d，它们载有大小相 等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对 导线长为 l的一段的自感为 0 ln l d aL a m p - = 。 解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 ( ) 0 0 2 2 I IB x d x m m p p = + - 穿过两根导线间长为的一段的磁通量为 ( ) 0 0 0 2 2 ln d a d a m a a I IB dS ldx x d x lI d a a m mf p p m p - - é ù = · = +ê ú-ë û - = ò ò 所以，一对长为的一段导线的自感为 0 lnm l d aL I a f m p - = = 8-11 一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R，管的横截面积为S ，环的总匝数为N ， 管内充满磁导率为m 的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。 解 当环形螺线管中通有电流 I时，管中的磁感应强度为 2 INB nI R mm p = = 通过环形螺线管的磁链为 2 2m m IN SN R my f p = = Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 5 则环形螺线管的自感系数为 2 2 m N SL I R y m p = = 8-12 由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径 1R ,外筒半径为 2R ，两筒间的介质 1rm = 。设 内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度 I相等，求长度为 l的一段同轴电缆所储磁 能为多少？ 解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为 1r R< 时， 1 0B = 1 2R r R< < 时， 02 2 IB r m p = 2r R> 时， 3 0B = 在长为L，内径为 r，外径为 r dr+ 的同轴薄圆筒的体积 2dV rldrp= 中磁场能量为 22 02 0 1 2 4m I lBdW dV dr r m m p = = 所以，长度为 l的一段同轴电缆所储能为 2 1 2 2 0 0 2 1 ln 4 4 R m R I r I l RW dr r R m m p p = =ò 8-13 在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点 P 的电场强度为E，磁感应强度为B， 此空间区域介质的介电常数 0e e» ，磁导率 0m m» 。求 P 点处电场和磁场的总能量体密度 w。 解 电场能量密度为 20 1 2e w Ee= 磁场能量密度为 2 0 1 2m Bw m = 总能量密度为 2 2 0 0 1 1 2 2e m Bw w w Ee m = + = + 8-14 一小圆线圈面积为 21 4.0S cm= ，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为 1 50N = ，把它 放在另一半径 2 20R cm= ， 2 100N = 匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在 小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流 每秒减少50A，试求小线圈中的感应电动势。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 6 解 当大圆形线圈通有 2I 时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 0 22 2 22 IB N R m = 若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 0 21 2 1 1 2 1 22 m IN B S N N S R my = = 两个线圈之间的互感为 7 4 61 2 0 1 2 2 50 100 4 10 4.0 10 6.28 10 ( ) 2 2 0.2 m N N SM H I R y m p - - -´ ´ ´ ´ ´= = = = ´ ´ 如果大线圈导线中的电流每秒减少 50A，则小线圈中的感应电动势为 6 46.28 10 50 3.14 10 ( )diM V dt e - -= - = ´ ´ = ´ 8-15 一螺线管长为30cm。由 2500 匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率 100rm = ，当它的导线中通有 2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。 解 螺线管中的磁感应强度为 0 0r r NB nI I l m m m m= = 螺线管中的磁场能量密度为 2 2 22 0 0 2 2 20 0 1 2 2 4 16 R m I r I lBw dV rldr R m mp m p p = = =òòò ò 8-16 一根长直导线载有电流 I，且 I 均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为的一段 导线内部的磁场能量。 解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为 0 22 IrB R m p = 在长度为的一段导线内部的磁场能量 2 2 22 0 0 2 40 0 1 2 2 4 16 R m I r I lBW dV rldr R m mp m p p = = =òòò ò 8-17 一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导 率为 1rm = 的介质，假定导线的半径为 1R ，圆筒的内外半径分别为 2R 和 3R ，电流 I 由圆 筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：（1）在空间各个范围内的 磁能密度表达式;(2)当 1 2 310 , 4.0 , 5.0 , 10R mm R mm R mm I A= = = = 时，在每米长度的同 轴线中所储存的磁场能量。 解 （1）有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 7 1r R< 时 01 2 12 IrB R m p = ； 1 2R r R< < 时 02 2 IB r m p = 2 3R r R< < 时 2 2 0 3 3 2 2 3 22 I R rB r R R m p - = - ； 3r R> 时 4 0B = 相应地，空间各个范围内的磁能密度为 1r R< 时 2 22 01 2 2 0 1 1 2 8m I rBw R m m p = = ； 1 2R r R< < 时 2 0 2 28m Iw r m p = ； 2 3R r R< < 时 22 2 2 0 3 2 2 2 2 3 28 m I R rw r R R m p æ ö- = ç ÷-è ø ； 3r R> 时 0mw = 。 （2） 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 3 4 22 2 2 2 2 2 0 0 0 3 2 2 2 2 2 2 2 20 1 3 2 42 2 4 4 3 3 20 3 3 22 2 22 22 2 2 2 1 3 23 2 3 2 2 2 2 0 8 8 8 ln1 ln 4 4 4 m m m m m m R R R R R W w dV w dV w dV w dV w dV I r I I R rrdr rdr rdr R r r R R R R RI R R RR R R RR R R R m m mp p p p p p m p = = + + + = æ ö- = + + +ç ÷-è ø é ù-ê ú= + + - + ê -- -ë û òòò òòò òòò òòò òòò ò ò ò 51.7 10 ( )J-= ´ ú 8-18 证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度 d dUI C dt = ，U 是电容器两极板 间的电势差。 证明 由于平行板中D s= ，所以穿过极板位移电位移通量 D S D dS S q CUf s= · = = =òò 平行板电容器中的位移电流强度 ( )D d d CUd dUI C dt dt dt f = = = 8-19 设圆形平行板电容器的交变电场为 ( )5 1720sin 10E r V mp -= · ，电荷在电容器极板 上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距 离电容器极板中心连线为 1.0r cm= 处，经过时间 52.0 10t s-= ´ 时的磁感应强度的大小。 解 （1）电容器两极板间的位移电流密度为 ( )3 5 20 2.00 10 cos 10d d Ej r A mt te p -¶ ¶= = = ´ ¶ ¶ （2）以电容器极板中心连线为圆心，以 1.0r cm= 为半径做一圆周。由全电流安培环路定 律有 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 8 D L dH dl dt f · =òÑ 所以 2 0 0 2 1 2 dEH r r dt dEH r dt p p e e = = 经过时间时 52.0 10t s-= ´ ，磁感应强度的大小为 ( )110 00 1.26 102 r dEB H T dt m em -= = = ´ 8-20 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实： （1）电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处； （2）位移电流; (3) 在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷； （4）一变化的电场，必定有一个磁场伴随它； （5）闭合面的磁通量始终为零； （6）一个变化的磁场，必定有一个电场伴随它； （7）磁感应线是无头无尾的； （8）通过一个闭合面的净电通量与闭合面内部的总电荷成正比； （9）不存在磁单极子； （10）库仑定律； （11）静电场是保守场。 解 1 N i is D ds q = · = åòòÒ 相当于或包括事实：（1），（3），（8），（10）； L S BE dl dS t ¶ · = - · ¶ò òòÑ 相当于或包括事实：（6），（11）； 0 S B dS· =òòÒ 相当于或包括事实：（5），（7），（9）； 1 N D i iL dH dl I dt f = · = +åòÑ 相当于或包括事实：（2），（4）； Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.