第六章 一阶电路

nullnull第二节 零输入响应一、 RC电路的放电过程：如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。①各变量参考方向如图， t≧0时，由KVL有：Ri(t)= uc(t)整理有：一阶常系数齐次微分方程null一阶常系数齐次微分方程其特征根方程：特征根 又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）null② 作uc(t)和 i(t)波形如图（b）③ 定义：=RC，时间常数，量纲：时间量纲(s)④ 定义：S＝－ 1/＝－1/RC 为电路的固有频率⑤ 思考：能量去向？，衰减越慢  ，衰减越快极限情况R→0，则 →0R→∞，则 → ∞null二、 RL电路的放电过程：如图电路原处于稳态，t=0时K断开，分析电感放电过程中iL (t)和uL(t)的变化规律。分析：t<0时 已达稳态，L中电流为I0=E/R0 t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）① 换路后（ t≧0），由KVL有：即：特征根：null故：由初始条件： iL(0+)= iL(0-)=I0=E/R0 (换路定理)（t≧0）② 作 iL(t)和uL(t)波形如图（b）null可见iL(t)连续，uL(t)不连续③ =L/R 也称为时间常数④ 时间常数与过渡过程长短的关系极限情况：R→0，则 →∞R→∞，则 → 0 此时uL(0) → ∞（瞬间高压）null时间常数=RC或L/R，表征电路固有性质，反映过渡过程长短。以前例RL电路放电过程为例:一般认为经过3-5 时间后瞬态过程已经结束。null一阶电路求解步骤： 1。画t＝ 0－电路，求解初始状态，即 uc（0－），iL（ 0－ ）， 得 uc（0＋），iL（ 0＋ ），尽量不去求ic（0-），uL（ 0- ） 2。画t＝ 0＋电路，依据KVL和VAR写出一阶方程求出通解。 3。依据初始状态值定出系数。小结:1、零输入响应的非时变性 null2. 一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间常 数τ决定，τ越小， 衰减越快。3. 求出Uc(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为Uc(t)的电压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后的电路中求其他电压电流。 4.一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，叫固有响应，s=-1/τ 叫固有频率。 5.线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初始状态增大а倍，零输入响应也增大а倍。 null例1：如图，电路原处于稳态，t=0时K由1转向2，求t>0时i(t)=?nullt=0时,打开开关K,iL (0+)=iL(0-)=1 A= I0uV= - RViL现象：电压表烧坏电压表量程：50Vnull例3: 电路如图所示，已知Uc(0)=15V,求 Uc(t),i(t) t≥0null例4: 求图示电路中i(t),t≥0,已知 Uc(0)=6V null第三节 零状态响应一、 RC电路的充电过程：已知uc(0-)=0，t=0时刻K 闭合，分析充电过程中i(t)和uc(t)。（1）由KVL及VAR写电路方程（t≥0) 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式：一阶常系数非齐次方程null（2）解如上非齐次微分方程：先求齐次解uch，即相应齐次方程：显然：再求特解ucpucp=B（常数）全解uc(t)=齐次解uch(t)+任意特解ucpnulluc( )= E→B＝E（4） 作波形曲线。（3） 由初始条件和稳态条件定系数uc(0+)= uc(0-)=0 →A＋B＝0A＝－E，B＝E强制响应：微分方程的特解 固有响应：微分方程的齐次解4τnull二、 RL电路的充电过程：（1） 由于考虑的是L支路电流，故可以用戴维南定理先化简电路，如（b）。对(b)图，t≧0时由KVL有：null初始条件 iL(0+)= iL(0-)=0 → A= -B 稳态条件： iL(∞)＝E/R=B null（3）作波形曲线。null小结对于直流一阶电路，其响应一般都可表为如下形式：零输入响应：零状态响应：（比例性，非时变性）null例1: 求图示电路的i1(t)、iL(t)(t≥0),已知iL(0)=0nullnull例2:求图示电路中Uc(t)(t≥0),已知Uc(0)=0nullnull例1: 各电源在t=0时接入，Uc(0)=1V,求i(t) t≥0 nullnull用戴维南定理求解:nullK于t=0时刻闭合，求：① t≧0时uc(t)=?例2：解： （1） t≧0时电路方程为：代入R、C值有：null将特解代入①式有：B=2代初值uc(0+)= uc(0-)= -1V，有：A=-3null 因输入函数为2e-2t，其指数因子 -2 刚好为特征方程的单根，故特解应设为：代入②中： 得： B=2null代初值uc(0+)= uc(0-)= -1V，有：A= -1null第五节 三要素法一、三要素法直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的， 它们的变化无非四种情况。 nullnull三个参数（三要素）   对于一阶电路，恒定输入下的响应只要求出这三个要素， 就可画出它的波形并写出表示式，这就是三要素法。null二、三要素法的步骤（一）求初始值f(0+) 1.做t =0-时等效电路，求 Uc(0-)、iL(0-)。 2.做t=0+时等效电路                 C—用电压值等于Uc(0+)的电压源置换                 L—用电流值等于iL(0+)的电流源置换3.在t=0+的等效电路中求各初始值。 （二）求稳态值f(∞) 在t=∞的电路中求。                     C—开路    L—短路（三）求时间常数τ 求动态元件两端看进去的戴维南等效电阻：                   RC电路：τ=R0C                   RL电路：τ=L/R0（四）将三要素代入f（t） nullnull三、三要素法的应用例：如图电路原处于稳态，t=0时刻K由a转向b，用三要素法求t≧0时i(t)及 iL(t)，并作出其波形。null解：（1）求初始值iL(0+)和 i(0+)作0+等效图（b)1× i(0+)+2 ×[i(0+)-(-1.2)]=3→ i(0+) =1/5 A（2） 求终值iL()和 i() （图c）null等效内阻，从动态元件两端看进去null（5） 波形（图e）null电路初始值的求解方法（换路定理＋置换定理） 例: 如图(a)，电路原处于稳态，K于t=0时刻闭合，①求初 始值ic(0+)、 uL(0+)及i(0+) 。②求 ic(∞) 、 uL(∞)及 i(∞) 。解：求原始状态uc(0-)及 iL(0-) t<0时（直流稳态），故： 电容视为开路，电感视为短路。 即：ic(0-)=0 uL(0-)=0 故： iL(0-)=Us/（R2+R3)=12/（4+2）=2A uc(0-)=R2iL(0-)=4×2=8V由换路定理有： iL(0+)= iL(0-) =2A uc(0+)= uc(0-) =8V 作0+等效图（图b，置换定理）nullic(0+)i(0+)在0+等效图中:电容元件用uc(0+)电压源代替电感元件用iL(0+)电流源代替激励源取t=0+时Us(0+)③ 由0+等效图有： null故 ic()=0 uL()=0 i ()=12/4=3At= 时作等效图c 此时电路重新达到直流稳态 电容视为开路，电感视为短路。null例：如图(a)电路，uc(0-)=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t≧0时uc(t)及i1(t)。解： （1）求初始值uc(0+)及i1(0+)uc(0+)= uc(0-)=2V，作0+图(b)有：6i1(0+)-2i1(0+)=12→ i1 (0+)=3A（2） 求终值uc()及i1()null→ i1 ()=3A6i1()-2i1()=12uc ()= -2 i1 ()= -6V（3）求时间常数 =R0C设用外加电源法（图d）U0=2I0-2i16i1=2i1 →i1 =0U0=2I0故： 等效内阻R0=U0/I0=2 null（4）uc (t)= -6+[2-(-6)]e-t/2= -6+8e-t/2 (V) t≧0i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A) t≧0 时间常数 =R0C=2×1=2(s)null例1：求如图零状态RL电路在矩形脉冲us(t)作用下的响应电流i(t)，并作其波形。分区间应用三要素法=L/R=1/1=1(s)i(0-)=0i(0+)= i(0-)=00≦t