null4.3 换元积分法和分部积分法4.3 换元积分法和分部积分法主要内容：
1.换元积分法.
2.分部积分法.一、换元积分法主要内容：
1.第一换元积分法.
2.第二换元积分法一、换元积分法1. 第一换元积分法换元积分法分第一换元积分法和第二换元积分法两类。求 分析 由于被积函数cos3x是一个复合函数，因此不能直接用基本积分
公式
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解 验证确实是cos3x的元函数，上述方法正确。1. 第一换元积分法例1null 当不定积分不能用基本积分公式直接求出，但被积表达式具有形式 可作变量代换得而积分可以求出，不妨设 f(u) 的原函数F(u)，于是有则作变量代换后，有例1说明：定理1（第一换元积分法）可得null在不定积分基本公式中若积分变量不是连续）则公式仍成立. 例如自变量 x,而是中间变量 u（设运用第一换元积分法求不定积分的步骤： (1) 把被积函数分解为两部分因式相乘的形式，其中 一部分是 (2)凑微分并作变量代换从而把关于积分变量 x 的不定积分转化为关于新积分变量 u 的不定积分.由定理1知：null求 把被积函数中的 2x+1 看作新变量 u , 即令求把被积函数中的看作新变量 u，即令例2解例3解u=2x+1 ,得null把被积函数中的看作新变量u，即令求 第一换元积分法的关键是“凑微分”，因而第一换元积分法又称为凑微分法。例4解 熟练以后，新变量 u 可以省略不写。null求解求解例5例6null求解由上例易得例7null求解类似地可得求解类似地可得例8例9null上述例5~例9的结果可以当公式使用，即基本积分公式（二）注意：null求解求解 例10和例11都是先凑微分，后利用公式17和公式19求积分的。例10例11注意null求解法一 此解法是先将被积函数化为部分分式，然后再凑微分求出结果。例12注意:null解法二 解法二是将被积函数的分母配成完全平方，再凑微分后应用公式20求出积分结果。当公式比较熟悉时，解法二比解法一简单。 因此，由例12可知，对被积函数灵活地进行恒等变形，综合应用积分性质和积分公式是求积分的必需的。注意：null求解法一解法二 同一积分可有不同的解法，其结果在形式上可能不同，但实际上它们只相差一个常数。例13注意： 2. 第二换元积分法第一换元积分法是通过变量代换将积分我们也常常会遇到相反的情形，即适当选择变量代换将积分化为积分若则得另一种形式的换元积分法:设 f(x) 连续，的导数连续，且若则定理中关于连续性的假设是为了保证有关的原函数存在，关于的假设是为了保证能从解出 t ，最终消去变量 t 。 2. 第二换元积分法 定理2（第二换元积分法）null运用第二换元积分法的主要步骤: 从而将关于积分变量 x 的不定积分化为关于积分变量 t 的不定积分。关键是存在反函数。 第二换元积分法主要解决被积函数中带根号的一类积分，去根号是选的主要思路。求令则于是例14解是作变量代换null求令则因此得例15解null求令 此时于是由于所以于是例16解null求令则为了消去t，还原为x，除了可用例16的解析法外，还可用三角形法：，即由作直角三角形(如图),从而易得，于是例17解由null求令，则于是根据作直角三角形（如图），，从而得例18解null综合例17，例18，得公式求解 第二换元积分法可以用来解决被积函数中带有根号的某些积分：1，当根号内含有x的一次函数，如可分别令2，当被积函数含有根式时，可分别作三角代换例19二、分部积分法分部积分法是与两个函数乘积的导数法则对应的积分法。设函数 u= u (x)，v = v (x) 具有连续导数，因为两个函数乘积的导数为或对上式两边求不定积分，得即或上述公式叫做分部积分公式。二、分部积分法null运用分部积分公式求不定积分的主要步骤是:把被积函数 f (x) 分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作 u ，另一部分因式看作 v′, 而后套用公式，把求不定积分 的问题转化为求不定积分 的问题。null求应用公式代入公式，得求设代入公式，得在上例中如果设于是有反而出现了比原积分更复杂的积分，可见运用分部积分公式的关键是恰当选择例1解例2解注意：null一般地，选择的原则是：2，不定积分比原不定积分容易求出。当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作v′。求把lnx看作u，dx看作dv，用公式得例3解null求解 当应用分部积分公式后得到的积分还需用分部积分公式时，可以继续使用，直到可以求出积分结果为止。例4就是用了两次分部积分公式后才求出积分结果的。例4注意：null求解移项，两边除以2，并加积分常数，得 当两次应用分部积分法后又出现了原积分时，我们是用解方程的方法求出积分结果的。例5注意：null求令代入原积分，得 有时我们需要综合应用前面讲过的各种积分方法，如例6就综合应用了换元积分法、分部积分法和直接积分法。 例6解注意：三、小结1、凑微分法凑微分法用于被积函数为的形式的积分，凑微分后可直接应用积分公式。要记住常见函数的凑微分公式。凑微分就是把微分公式反过来用。2、第二换元积分法 第二换元积分法对于我们来说，主要用于去除被积函数中所含的根号。当根号下是线性函数例如 ax+b 时，作幂代换当根号下是 x 的二次函数时，则作三角代换，例如根号内是x2－a2时，可令 x=sint 作代换。3、分部积分法 分部积分法用于被积函数为两类不同类型函数乘积的积分，在用分部积分法时，其中一个因子要看作 u ，另一个因子要看作 v′，可以按照“反、对、幂、指、三”排在前面的顺序选择u。三、小结null作业：习题4。3 对于初等函数，在其定义区间内，它的原函数一定存在，这并不意味着我们已会求所有初等函数的不定积分了。例如，对于初等函数等，它们的原函数一定存在， 值得指出的是： 但却不能用初等函数表示出来，有时称为“积不出来”。它们的计算需要用其他方法来解决。
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