08第八章高斯投影

“测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 43 第八章第八章第八章第八章 高斯投影高斯投影高斯投影高斯投影 地面-----椭球面-----平面熟悉,简单地图投影,高斯—克吕格投影（高斯投影） §8.1§8.1§8.1§8.1 高斯投影概述高斯投影概述高斯投影概述高斯投影概述 8.1.18.1.18.1.18.1.1 投影与变形投影与变形投影与变形投影与变形 所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的 数学法则投影到平面上。研究这个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的专门学科叫地图投影学。这里所说的数学法则 可用下面两个方程式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示： ),( ),( 2 1 BLFy BLFx = = (8-1) 式中 L，B是椭球面上某点的大地坐标，而 yx, 是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。 式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标 投影 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投 影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式 F的具体形式体现的。 椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、 一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一 差异称作投影的变形。 地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。 在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此， 地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距 投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但 角度和长度有变形）等。 8.1.28.1.28.1.28.1.2 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求 1.应采用等角投影（又称正形投影）。这样①保证了 在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了 大量的投影工作；②所测制的地图可以保证在有限的范围内 使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中 识图用图带来很大方便。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长 与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中, EA AE AB BA m ′′ == ′′ = LL “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 44 即在微小范围内保证了形状的相似性，当 ABCDE 无限接近时，可把该多边形看作一个点， 因此在正形投影中，长度比 m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使 用等带来极大方便。 2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地 图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。 3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和 用表把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再 将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。 8.1.38.1.38.1.38.1.3 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于 1825～1830 年首先提 出的。实际上，直到 1912 年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公 式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。想象有一椭圆柱面横 套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的 中心轴通过椭球体中心， 然后用一定的投影方法将 中央子午线两侧各一定经 差范围内的地区投影到椭 圆柱面上，再将此柱面展 开即成为投影面。 我国 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 按经差 06 和 03 度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用 03 带投影。特殊情况下工程测量 控制网也可用 05.1 带或任意带。 高斯投影 06 带自 00 子午线起每隔经差 06 自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国 06 中央子午线的经度，由 069 起每隔 06 而至 0135 ，共计 12 带，带号用 n表示，中央子午线 的经度用 0L 表示， 360 −= nL 。高斯投影 03 带是在 06 带的基础上分成的，它的中 央子午线一部分同 06 带中央子午线重合，一部分同 06 带分界子午线重合，带号用 n/表示， 03 带中央子午线用 L表示，关系是： nL ′= 3 。 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 45 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便 形成了高斯平面直角坐标系。在我国 x 坐标均为正， y 坐标的最大值（在赤道上）约 为 330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加 500KM。此外还应在坐标前面冠以 带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点 Y=19123456.789m，该点位于 19 带内，其相 对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各 带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一 06 带向东加宽 03 ′，向西 加宽 5.751 ′′或 ，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有 两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。 由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性 以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度 变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改 正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使 用权它得到广泛的推广和具有国际性。 8.1.48.1.48.1.48.1.4 椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面 ①高斯投影坐标计算 yxlB ,, ⇔ ；②平面子午线收敛角 r；③方向改化，距离改化；④ 换带计算。 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 46 8.1.58.1.58.1.58.1.5 高斯投影计算高斯投影计算高斯投影计算高斯投影计算 本程序可供高斯投影正算、反算及任意带的换带计算。采用较精密的公式确保了计 算精度，程序用 VB 语言编写具有图形用户界面特点，操作简单。Y 坐标不加带号和加 常数。 1 数学模型 (1) 子午线弧长公式 )8sin()6sin()4sin()2sin( 864200 BaBaBaBaBaX ++++= (2) 正算公式 00 /cos ρBlp = 2/)12/)30/)56/)))543(3111(1385( )30)119()58(61(())49(5((1( 2222222 2222222 ppppttt ttttNtXx −+−++ −+−++++−++= ηηη ppppttt tttNy )6/)20/)42/)))179(479(61( )14)5818(5(()1((1( 222222 222222 −+−++ +−−+++−+= ηηη )3/)5/)21/))13(217( ))1(152(())23(1((1(sin 22222 3222200 ppptt ttBlr −++ −+−++++= ηηη 式中： Bt tan= 22 )cos( Be′=η 22 1 η+=V VcN /= 0000 LLl −= (3) 底点纬度公式 00 XqB = （单位：弧度） )))sin(sin(sin)(2sin( 028602402200 BqqBqBqBBB f ++++= （单位：弧度） (4) 反算公式 fNyq /= 2/)12/)30/)56/ )))15754095(3633(1385()))45162(107()2(4561(( ))2(3))32(1(35((( 2222 22222222 222222000 qqqq ttttttt tvtBB ffffffff ffffffff × ++++−−++++−+ −+−−+++−+= η ηηηηρ )6/)20/)42/)))7201320(662(61( ))43(2)67(45(()21((1(cos/ 222222 22222200 qqqttt ttttBql fff fffffff +++− +++++++−+= ηηρ )3/)5/)21/)))45105(77(17( ))2()35(2(())21(1((1( 222222 222222200 qqqttt ttttqtr fff ffffffff +++− ++++++−+−+= ηηηρ 式中： ff Bt tan= 22 )cos( ff Be′=η 22 1 ffV η+= ff VcN /= “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 47 (5)有关数据 有关数据 克氏椭球 1975 年椭球 WGS-84 椭球队 a 6378245 6378140 6378137 c 6399698.901782711 6399596.6519880105 6399593.6258 2e′ 6.738525414683E-03 6.739501819473E-03 6.73949674227E-03 2e 6.693421622966E-03 6.694384999588E-03 6.6943799013E-03 0a 111134.8610828 111133.0046793 111132.9525494 2a -16036.48022 -16038.52818 -16038.50840 4a 16.82805 16.83263 16.83260 6a -2.197E-02 -2.198E-02 -2.198E-02 8a 3E-05 3E-05 3E-05 0q 157046064.12328E-15 157048687.47416E-15 157048761.142065E-15 2q 2525886946.8158E-12 2526252791.9786E-12 2526250855.8867E-12 4q -14919317.6572E-12 -14923644.4356E-12 -14923621.5362E-12 6q 120717.4265E-12 120769.9608E-12 120769.6828E-12 8q -1075.1509E-12 -1075.7700E-12 -1075.7667E-12 0ρ =57.29577951308232 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 48 §§§§8.28.28.28.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形投影的一般条件 研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即 可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在 正形投影中，长度比与方向无关。 ⑴建立长度比关系 在微分直角三角形 P1P2P3和 P1/P2/P3/中有： 222 222 )cos()( dydxds BdlNMdBdS += += (8-5) 则长度比为         +      + = + + =      = 2 2 2 22 22 222 2 cos )cos( )cos()( dl BN MdBBN dydx BdlNMdB dydx dS ds m (8-6) ⑵引进等量纬度 BN MdBdq cos = (8-7) 则 ∫= B BN MdBq 0 cos (8-8) 因 q 只与 B有关，故可把 dq 和 dl 看作互为独立的变量的微分。则(8-6)式可表示为： [ ]222 22 2 )()( dldqr dydx m + + = (8-9) 地图投影就是建立 x,y 与 L,B 的函数关系，因 B与 q 有确定的关系，因此投影问题也可 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 49 以说是建立 x,y 与 q,l 的函数关系。设函数关系式为： ),( ),( qlyy qlxx = = (8-10) 全微分 dll xdq q xdx ∂ ∂ + ∂ ∂ = dll ydq q ydy ∂ ∂ + ∂ ∂ = (8-11) 代入(8-5)2 式得： 22 222       ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ + ∂ ∂ =+= dl l ydq q ydl l xdq q xdydxds ( ) ( )2 22 2 22 2 dl l y l xdldq l y q y l x q xdq q y q x               ∂ ∂ +      ∂ ∂ +⋅      ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ +               ∂ ∂ +      ∂ ∂ = 令               ∂ ∂ +      ∂ ∂ = 22 q y q xE ,       ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = l y q y l x q xF ， (8-12)               ∂ ∂ +      ∂ ∂ = 22 l y l xG 得： ( ) ( )( ) ( )222 2 dlGdldqFdqEds ++= (8-13) 则(8-9)式变为： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]222 22 2 2 dldqr dlGdldqFdqE m + ++ = (8-14) ⑶引入方向，由图知： ( ) dl dq BdlN MdB PP PPAtg ===− cos 90 31 320 (8-15) “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 50 则 dqtgAdl ⋅= (8-16) 代入(8-14)式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222 2222 2 2 dqAtgdqr dqAGtgdqFtgAdqE m + ++ = 2 22 22 2 sincossin2cos sec 2 r AGAAFAE Ar AGtgFtgAE ++ = ++ = (8-17) 若想使上式中 m与 A无关，必须满足条件： F=0、E=G (8-18) 将条件代入(8-12)式得：               ∂ ∂ +      ∂ ∂ =               ∂ ∂ +      ∂ ∂ =      ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = 2222 0 l y l x q y q x l y q y l x q xF (8-19) 由 F=0 得, q x l y q y l x ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ −= ∂ ∂ 代入(8-19)2 式得：       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 22 2 2 22 )()( )( )( )()( q y q x q x l y q y q x 整理得： 22       ∂ ∂ =      ∂ ∂ l y q x 或 0 22 =      ∂ ∂ +      ∂ ∂ q y q x 上式开方并代入(19)式得柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件： “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 51 l y q x ∂ ∂±= ∂ ∂ q y l x ∂ ∂ = ∂ ∂ m (8-20) ⑷通常，在选取椭球面和平面的坐标轴方向时，要求，椭球面上沿经线方向 q(或 B)增 加时平面上 x也增加，即 qx ∂∂ / 要求为正；沿纬线方向 l 增加时，平面上的 y 也增加， 即 ly ∂∂ / 也要求为正，对此取 l y q x ∂ ∂ = ∂ ∂ 相应的 q y l x ∂ ∂ −= ∂ ∂ (8-20) (8-20)(8-21)式即为椭球⇔ 平面正形投影的一般条件，是各类正形投影方法都必须遵 循的法则，高斯坐标正、反算公式均以此为基础。 当满足 F=0，E=G 条件时，长度比的公式：               ∂ ∂ +      ∂ ∂ =               ∂ ∂ +      ∂ ∂ = 22 2 22 2 2 cos 1 cos 1 l y l x BNq y q x BN m （8-22） “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 52 §8.3§8.3§8.3§8.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式 任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影 的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1 高斯投影坐标正算公式： B, l ⇒ x,y 高斯投影必须满足以下三个条件高斯投影必须满足以下三个条件高斯投影必须满足以下三个条件高斯投影必须满足以下三个条件： ①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质， 即正形投影条件。 由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为 l 的偶函数，y为 l的奇函数； 0330 ′≤l ，即 20/1/ ≈′′′′ ρl ，如展开为 l的级数，收敛。 L L +++= ++++= 5 5 3 31 6 6 4 4 2 20 lmlmlmy lmlmlmmx （8-33） 式中 L,, 10 mm 是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。 由第三个条件知： q y l x l y q x ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , (8-33)式分别对 l和 q 求偏导数并代入上式 LL LL −−−−=+++ +++=+++ 553315 6 3 42 442204 5 2 31 642 53 l dq dml dq dml dq dmlmlmlm l dq dml dq dm dq dmlmlmm (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂 l前的系数应相等，即 LLLLLL dq dm m dq dm m dq dm m 2 3 1 2 0 1 3 1 2 1 ⋅= ⋅−= = (8-35) “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 53 (8-35)是一种递推公式，只要确定了 0m 就可依次确定其余各系数。 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该 点的子午线弧长 X，即(8-33)式第一式中，当 0=l 时有： 0mXx == (8-36) 顾及(对于中央子午线) BV M r M BN dq dB M dB dX cos cos 2 === = 得： BV cBNr dq dB dB dX dq dX dq dm m coscos01 ===⋅=== (8-37,38) BBN dq dB dB dm dq dm m cossin 22 1 2 1 11 2 =⋅−=⋅−= (8-39) 依次求得 6543 ,,, mmmm 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式 6425 6 44223 4 2 2 )5861(cossin 720 )495(cos 24 cossin 2 lttBBN ltBsimBNlBBNXx ′′+− ′′ + ′′++− ′′ +′′⋅ ′′ += ρ ηη ρρ 5222425 5 3223 3 )5814185(cos 120 )1(cos 6 cos ltttBN ltBNlBNy ′′−++− ′′ + ′′+− ′′ +′′⋅ ′′ = ηη ρ η ρρ (8-42) 8.3.2 高斯投影坐标反算公式 x,y ⇒ B, l 投影方程： “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 54 ),( ),( 2 1 yxl yxB ϕ ϕ = = (8-43) 满足以下三个条件满足以下三个条件满足以下三个条件满足以下三个条件： ①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③ 投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 ①由 x 求底点纬度(垂足纬度) fB ,对应的有底点处的等量纬度 fq ，求 x,y 与 lqq f ,− 的关系式，仿照(8-10)式有， ),( ),( yxll yxqq = = 由于 y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将 lq, 展开为 y 的幂级数；又由于是对称投 影，q必是 y的偶函数， l 必是 y的奇函数。 L L ++= +++= 3 31 4 4 2 20 ynynl ynynnq (8-45) L,,, 210 nnn 是待定系数，它们都是 x的函数. 由第三条件知： y l x q ∂ ∂ = ∂ ∂ ， y q x l ∂ ∂ −= ∂ ∂ ， (8-21) (8-45)式分别对 x和 y求偏导数并代入上式       +++−=+++ +++=+++ LL LL 553315 6 3 42 4 5 2 31 44220 642 53 y dx dn y dx dn y dx dn ynynyn ynynny dx dn y dx dn dx dn 上式相等必要充分条件，是同次幂 y前的系数相等， “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 55 L, 4 1 , 3 1 , 2 1 , 3 4 2 3 1 2 0 1 dx dn n dx dn n dx dn n dx dn n −==−== 第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点 纬度 fB ，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为 fq 。也 就是在底点展开为 y 的幂级数。 由(8-45)1 式 fqn =0 依次求得其它各系数 ffffff f rBNMBN M dX dB dB dq dX dq dX dq dX dn n 1 cos 11 cos 0 1 ==      =      =      === (8-51) ff f ff BN t dX dB dB dn dX dn n cos22 1 2 1 2 11 2 −=      −=      −= (8-51)1 ………… 将 6420 ,,, nnnn 代入(8-45)1 式得 ( ) ( ) 6222426 4422 4 2 2 484612018061 cos720 465 cos24cos2 yttt BN t yt BN t y BN t qq fffff ff f fff ff f ff f f ηη ηη ++++− −+++ − =− (8-55)1 ( ) ff ffff ff f f BN ytt BN yt qq 26 64222 24 42 2 cos24 )465( cos4 ηη −++ −=− ( ) ff f f BN yt qq 36 63 3 cos8 − =− (8-55) “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 56 将 531 ,, nnn 代入(8-45)2 式得(8-56)2 式。(最后表达式) ②求 fBB − 与 yx, 的关系。 由(8-7)式 dBBN Mdq cos = 知： )(),( ff qfBqfB == (8-47) )()( dqqfqqqfB fff +=−+= (8-48) 按台劳级数在 fq 展开 L+      +      +      += 33 3 2 2 2 6 1 2 1)( dq dq Bddq dq Bddq dq dBqfB fff f (8-49) ( ) ( ) ( ) L+−      +−      +−      =− 3 3 3 2 2 2 6 1 2 1 f f f f f f f qqdq Bdqq dq Bdqq dq dBBB (8-50) 由(8-7)式可求出各阶导数： ff f BV dq dB cos2=      (8-53) )341(cossin 422 2 ffff f BB dq Bd ηη ++−=      (8-54)1 )2771351(cos 244222233 3 ffffffff f tttB dq Bd ηηηη −+−+−−=      (8-54)2 ………………… 将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公 式(8-56)1, “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 57 ( ) ( ) ( ) ( )222425 5 22 3 3 642 5 42222 3 2 8624285 cos120 21 cos6cos 459061 720 935 242 fffff ff ff ffff ff ff f ffff ff f ff f f ttt BN y t BN y BN yl ytty NM t ytt NM t y NM t BB ηη η ηη +++++ ++−= ++− −+++−= (8-56) 归纳由归纳由归纳由归纳由 ),( yxp 求求求求 ),( lBP 的基本思想的基本思想的基本思想的基本思想：由点 ),( yxp 得到底点 )0,(xf ，将底 点 f作为过渡，也就是说将坐标原点 o 移到 f点，先求 ),( ),( 2 1 yxQl yxQqq f = =− 关系式，再 将 ),(1 yxQqq f =− 关 系 式 代 入 )(3 ff qqQBB −=− 关 系 式 得 ),(4 yxQBB f =− 关系式，最后将坐标原点移回到 o点,从而求得 ),( lBP 点。 8.3.3 高斯投影坐标正反算公式的几何解释 ①当 B=0 时 x=X=0，y 则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为 y 轴。 当 l=0 时,则 y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为 x 轴，其长度与中央 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 58 子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②当 l=常数时(经线),随着 B 值增加，x 值 增大，y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因 BB cos)cos( =− ，即当用-B 代替 B 时，y 值不变，而 x 值数值相等符号相反，这 就说明赤道是投影的对称轴。③当 B=常数时(纬线)，随着的 l 增加，x 值和 y值都增大， 这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l 代替 l 时，x值不变，而 y 值数值相等符 号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬 线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度 变形愈大。 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 59 §8§8§8§8.4.4.4.4 高斯投影计算的实用公式高斯投影计算的实用公式高斯投影计算的实用公式高斯投影计算的实用公式 1 子午线弧长计算公式 改写并扩充(7-65)(7-64)两式 )8sin()6sin()4sin()2sin( 864200 BaBaBaBaBaX ++++= ) 16384 17640 512 525 64 60 4 3)(1( 2 1 86422 2 eeeeeaa +++−−= ) 16384 8820 512 210 64 15)(1( 4 1 8642 4 eeeeaa ++−= ) 16384 2520 512 35)(1( 6 1 862 6 eeeaa +−−= ) 16384 315)(1( 8 1 82 8 eeaa −= 2 正算公式(8-67)(8-81) 00 /cos ρBlp = 2/)12/)30/))58(61())49(5((1( 22222222 ppptttNtXx −++++−++= ηη ppptttNy )6/)20/)14)5818(5()1((1( 22222222 ηηη +−−+++−+= )3/)5/)2())23(1((1(sin 2222200 pptBlr −++++= ηη 式中： Bt tan= 22 )cos( Be′=η 22 1 η+=V VcN /= 0 0 00 LLl −= 3 底点纬度公式 00 XqB = (单位：弧度) ) 16384 11025 512 350 64 45 4 31)(1( 864220 eeeeeaa ++++−= “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 60 )))sin(sin(sin)(2sin( 028602402200 BqqBqBqBBB f ++++= (单位：弧度) 式中： 0 0 1 a q = ) 16384 11025 512 350 64 45 4 3( 2 1 8642 2 eeeeq +++= ) 16384 58239 512 1108 64 63( 3 1 864 4 eeeq ++−= ) 16384 68484 512 604( 3 1 86 6 eeq += ) 16384 26328( 3 1 8 8 eq −= 4 反算公式(8-71)(8-83) fNyq /= 2/)12/)30/))2(4561())91(35((1( 222222222000 qqqtttttVBB ffffffff +++−++−+−= ηρ )6/)20/))43(2)67(45()21((1(cos/ 2222222200 qqttttBql fffffff +++++++−+= ηηρ )3/)5/))35(2()1((1( 22222200 qqtttqtr fffff +++−+−+= ηρ 式中： ff Bt tan= 22 )cos( ff Be′=η 22 1 ffV η+= ff VcN /= “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 61 §§§§8.58.58.58.5 平面子午线收敛角平面子午线收敛角平面子午线收敛角平面子午线收敛角 8.5.18.5.18.5.18.5.1 定义定义定义定义，，，，用途用途用途用途。 8.5.28.5.28.5.28.5.2 公式公式公式公式 1 由 lB, 求 r 的公式。由于正形投影的关系，B=常数(或 q= 常数)与 x=常数直线在 P/点所组成的角也是 r。设 P/沿 B=常 数(或 q=常数)的曲线移到 P/1，P/与 P/1无限接近， dy dx tgr = （8-77） 对 ),( ),( 2 1 lqfy lqfx = = 全微分 dl l ydy dl l xdq q fdl l fdx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 11 因此有： 根据 C-R 条件又有 (8-77)1 q x q y tgr ∂ ∂ ∂ ∂ − = (8-77)2 上两式用于由 lB, 求 r。根据(8-42)式求偏导数 l y l x ∂ ∂ ∂ ∂ , ，求 l y ∂ ∂ 1 并代入上式得 tgr ，再按反正切展开即得由 lB, 求 r的(8-81)式。 ( ) ( ) L+−++++= 2554233 2cossin 15 1231cossin 3 1 sin tBlBBlBBlr ηη 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (8-81)式:①在中央子午线上 l=0,r=0；在赤道上 B=0,r=0。②r为奇函数，有正负， 当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r 也为正；当描写点在中央子午线以西时， l y l x tgr ∂ ∂ ∂ ∂ = “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 62 经差为负，r也为负。③在同一经线上(l=常数)纬度愈高， r 也愈大，在极点处最大； 在同一纬线上(B=常数) l 愈大 r 也愈大。 2 由 xy 求 r 的公式 式(8-81)中经差 l用(8-57)2 式代入，纬度 B须化算为底点纬度 fB 。 )( BBBB ff −−= ( )[ ] ( ) L+−⋅−=−−= BBBBBBBB fffff cossinsinsin 由(8-57)1 式，只取主项，即 2 2 y NM t BB ff f f ⋅=− ( ) 22 2 2 2 )1( sin 2 coscos y N By NM t BBBB f f f ff f fff ⋅ + ⋅−=⋅⋅−=−⋅− η ( )         +−= 22 2 1 2 1sinsin f f f N yBB η ,         += ff f f NM yt BB 2 1coscos 22 将上两式及(8-57)2 代入(8-81)式，忽略 5y 以上的小项，得精确至 1//的计算子午线收敛 角式(8-82)。如欲精确到 0.001//，可顺至 5y 得式（8-83） ( ) ( )         +++−−+−′′=′′ 25 5 422 3 3 352 15 21 3 fff f fff f f f f tt N ty t N ty N yt r ηηρ “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 63 §8§8§8§8.6.6.6.6 方向改化公式方向改化公式方向改化公式方向改化公式 定义： 8.6.18.6.18.6.18.6.1 方向改化近似公式的推导方向改化近似公式的推导方向改化近似公式的推导方向改化近似公式的推导 AB 椭球面上的大地线 OEP 中央子午线 ab 大地线在高斯平面上的描写形 坐标 ),(),,( bbaa yxbyxa ①第一个假设，认为大地线 AB 距离 不太长，可以假定 AB 所在的一块椭球面 是球面，园球的半径为相应 A，B 的平均 纬度的平均曲率半经 mR 。那么大地线 AB 成了大圆弧，过 A 和 B 作大圆弧(卯酉圈)AD 和 BE 垂直于中央子午线 OP，ABED 是球面四边形。 ②如果把地球当作圆球，则高斯投影变成墨卡托横轴园柱正形投影，由高斯投影知 大圆弧 AD 和 BE 投影到平面上是平行于 y 轴的直线，由此，ad 和 be 就是 AD 和 BE 的描 写形。 ③由正形投影的性质 baab δδε ++=+ 00 360360 ε 是四边形的球面角超。 baab mR P δδε +== 2 >0 P 是四边形的面积，由此得出结论：大地线的描写形 (在高斯平面上)是一条背向中央子 午线的曲线。 ④第二个假设园球面 ABED 的面积近似的等于平面四边形 abed 的面积,即 )()( 2 abmab ba xxyxx yy P −=− + = “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 64 ⑤第三个假设 baab δδ = ，即把 ab 当做大园弧， )( 2 2 abm m baab xxR y −== δδ ⑥ abδ 应为“-”， baδ 应为“+” 。最后写成 )( 2 2 bamm ab xxyR − ′′ = ρδ )( 2 2 bamm ab xxyR − ′′ −= ρδ (8-97) 上式的误差小于 0.1//，可适用于三、四等三角测量的计算。 8.6.28.6.28.6.28.6.2 方向改化较精密公式的推导方向改化较精密公式的推导方向改化较精密公式的推导方向改化较精密公式的推导 传统的推导方法是用微分几何学中曲率的公式，这里应用几何方法进行推导，仍视 椭球为球。 ⑴建立关系式。过 1P 点加作一条平行于中央子 午线的小园弧 ∩ QP 1 ，它 与 21, BPAP 正 交 ； 过 QP ,1 再作大圆弧 ∩ CQP1 。 投影平面上相应的投影为直线 QP ′′1 和曲线 QCP ′′′ ，设其夹角为δ 。因为是正形投影， 故 QP ′′1 与 21, PBPA ′′′′ 垂直即平行于 x 轴，并得： T−+= αδδ 2,1 (8-98) ⑵δ 的推求与近似公式一样，有 )( 2 1 1212 xxyRm −=δ (8-99) ⑶求α-T。①由球面三角形 21 PCQP 按勒让德尔定理 “测绘同仁”搜集 http://login.cech.com.cn/ 65 ) 3 sin( ) 3 sin( 21 2 εβ ε α − − = PP QP (8-100) 式中ε 为相应的球面角超。因 13sin,90 0 ≈      −≈ εββ ，故有 ) 3 sin( 21 2 εα −= PP QP (8-101) ②由(b)图可知 TPP PQ sin 21 2 = ′′ ′′ (8-102) 设 2P 点长度比为 2m ，则近似有式 22121222 , mPPPPmQPPQ ⋅=′′=′′ ，于是有 21 2 21 2 PP PQ PP QP ′′ ′′ = (8-103) 并有 T=− 3 ε α