3.3 导数的综合应用
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考点1
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考点3
例1设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
思考如何求与函数极值有关的参数范围?
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解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意,符合题意的范围即为所求范围.
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对点训练1设函数f(x)=x2-2x+mln x+1,其中m为常数.
(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.
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综上,当m≤0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实数m的取值范围为(-∞,0].
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例2已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x(a≠0,a∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),使得f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?
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解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
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对点训练2(2017辽宁大连一模)已知函数f(x)=ax-ln x.
(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;
(2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)设切点为M(x0,f(x0)),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),
又切线过原点O,∴-ax0+ln x0=-ax0+1,
由ln x0=1,解得x0=e,∴切点的横坐标为e.
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(2)∵不等式ax-ln x≥a(2x-x2)恒成立,
∴等价于a(x2-x)≥ln x对∀x∈[1,+∞)恒成立.
设y1=a(x2-x),y2=ln x,由于x∈[1,+∞),且当a≤0时,y1≤y2,故a>0.
设g(x)=ax2-ax-ln x,当0
0.
所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
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(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.
又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;
单调递增.
又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
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解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.
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对点训练3(2017天津六校联考)设函数f(x)=ln x- ax2-bx.
(1)当a=b= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,求实数m的取值范围.
解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),
令f'(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),
当00;当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).
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(2)当a=0,b=-1时,f(x)=ln x+x,由f(x)=mx,得ln x+x=mx,又x>0,
由g'(x)<0,得x>e,所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.
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1.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,先结合不等式的结构特征,直接或等价变形后构造相应的函数,再通过导数运算判断出函数的单调性,利用单调性证明,或利用导数运算来求出函数的最值,利用最值证明.
2.求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,一般是通过数形结合的思想找到解题思路,使用的知识是函数的性质,如单调性、极值等.
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