第九节 在极坐标系下二重积分的计算
根据微元法可得到极坐标系下的面积微元
注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为
从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为
(9.1)
分布图示
★ 利用极坐标系计算二重积分
★ 二重积分化为二次积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-9
内容提要：
一、二重积分的计算
1．如果积分区域
介于两条射线
之间，而对
内任一点
，其极径总是介于曲线
之间（图6-9-2），则区域
的积分限
于是
(9.2)
具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间
上任意作一条极角为
的射线穿透区域
（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径
就分别为内层积分的下限与上限.
2．如果积分区域
是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当
的特例，此时，区域
的积分限
于是
(9.3)
3．如果积分区域
如图6-9-4所示，极点位于
的内部，则可以把它看作是第二种情形中当
的特例，此时，区域
的积分限
于是
(9.4)
注：根据二重积分的性质3，闭区域
的面积
在极坐标系下可表示为
(9.5)
如果区域
如图6-9-3所示，则有
(9.6)
例题选讲：
例1（E01）计算
，其中D是由
所确定的圆域.
解 如图，区域
在极坐标下可表示为
故
例2（E02） 计算
, 其中积分区域
是由
所确定的圆环域.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意到被积函数也有对称性,则有
例3（E03）计算
, 其中D是由曲线
所围成的平面区域.
解 积分区域
是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为
于是区域
的积分限为
所以
例4写出在极坐标系下二重积分
的二次积分，其中区域
解 利用极坐标变换
易见直线方程
的极坐标形式为
故积分区域
的积分限为
所以
例5 计算
,其中
为由圆
及直线
,
所围成的平面闭区域.
解
所以
例6 将二重积分
化为极坐标形式的二次积分,其中
是曲线
及直线
所围成上半平面的区域.
解 如图，令
则
的边界的极坐标方程分别变为
及
例7（E04）求曲线
和
所围成区域
的面积.
解 根据对称性有
在极坐标系下
由
得交点
故所求面积
例8求球体
被圆柱面
所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.
解 如图，由对称性，有
其中
为半圆周
及
轴所围成的闭区域.
在极坐标中，积分区域
课堂练习
1.计算
, 其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域.
2.计算
其中
.
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