2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
考生注意:
1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上答题,答案无效。
4. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题。每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=
(
)
A. -2i
B. 2i
C. -4i
D.4i
2.函数y=ln(1-x)的定义域为
(
)
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]
3.等比数列x,3x+3,6x+6,…的的第四项等于
(
)
A.-24
B.0
C.12
D.24
4.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为
(
)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481
A.08
B.07
C.02
D.01
5.(x2-)5展开式中的常数项为
(
)
A.80
B.-80
C.40
D.-40
6.若 ,则s1,s2,s3的大小关系为
A. s1<s2<s3
B. s2<s1<s3
C. s2<s3<s1
D. s3<s2<s1
7.阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为
A.S=2﹡i-2
B.S=2﹡i-1
C.S=2﹡I
D.S=2﹡i+4
8.如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=
A.8
B.9
C.10
D.11
9.过点(,0)引直线ι的曲线 ,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线ι的斜率等于
A.
B.-
C.
D-
10.如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι1,ι2之间,ι//ι1,ι与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点。
设弧FG的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若ι从ι1平行移动到ι2,则函数y=f(x)的图像
大致是
第Ⅱ卷
注意事项:
第卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
11.函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.
12.设e1,e2为单位向量。且e1、e2的夹角为 ,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为________.
13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f’(1)=__________.
14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线 - =1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=___________.
三.选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。
15(1).(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为:x=t,y=t2 (t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴简历极坐标系,则曲线C的极坐标方程为_______.
(2).(不等式选做题)在实数范围内,不等式||x-2|-1|的解集为___________.
四.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小;
(2) 若a+c=1,求b的取值范围
17.(本小题满分12分)
正项数列{an}的前n项和Sn满足:
(1) 求数列{an}的通项
公式
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an;
(2) 令bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意n N*,都有Tn< 。
18.(本小题满分12分)
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A1,A2,A3(如图)这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X。若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队。
(1) 求小波参加学校合唱团的概率;
(2) 求X的分布列和数学期望。
19(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB △DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F
(1) 求证:AD⊥平面CFG;
(2) 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值
20.(本小题满分13分)
如图,椭圆经过点P(1. ),离心率e=,直线l的方程为x=4.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3。问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由
21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=a(1-2丨x-丨),a为常数且a>0.
(1) 证明:函数f(x)的图像关于直线x=对称;
(2) 若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则x0称为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;
(3) 对于(2)中的x1,x2,和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性。