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第五章 弯曲应力.ppt

第五章 弯曲应力

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2011-09-12 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第五章 弯曲应力ppt》,可适用于高等教育领域

第五章弯曲应力目录§纯弯曲时梁的正应力§横力弯曲时梁的正应力及其强度条件§梁的切应力及其强度条件§梁的极限弯矩梁的合理截面§纯弯曲时梁的正应力请看一个实例:CD段:剪力为零弯矩为常量。这种弯曲称为纯弯曲。AC、DB两段:这种弯曲称为横力弯曲。同时存在剪力和弯矩。即:、表面变形情况:()两相邻横向线仍保持为直线只是相对转动一个小角度。纯弯曲时梁的正应力分析一、变形几何方面()纵向线变成弧线仍垂直于变形后的横向线bb伸长aa缩短。中性层:靠近底部的纵向线伸长靠近顶部的纵向线缩短根据变形的连续性中间必有一层纵向线既不伸长也不缩短。、纵向线应变的变化规律二、物理关系三、静力学条件由()式:由()式:由()式:其中:M:横截面上弯矩y:所求点的坐标Iz:横截面对中性轴的惯性矩由静力学关系得到由变形几何关系得到由物理关系得到综上分析可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式:推导过程简单总结:(三方面)()对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁在应用上述公式时都带有一定的近似性。()应用公式时通常M和y都用绝对值所求点的应力是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。几点说明()由公式推导可知公式不仅适用于矩形截面梁而且还适用于其它一些截面梁如:圆截面梁、工字形截面梁、T字形截面梁等等。()由于y、z轴就是横截面的形心主轴从而可得到启示:当横截面没有对称轴时只要外力偶作用在形心主轴之一(例如y轴)所构成的纵向平面内上述公式仍适用。例T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴的惯性矩Iz=×mm。求跨中C截面上a、b、c点的弯曲正应力。解:首先作剪力图和弯矩图由图可知AB段为纯弯曲。(拉)(压)(中性轴上)(上侧受拉)例:悬臂梁如图所示在其下面有一个半径为R的圆柱面欲使梁弯曲后刚好与圆柱面贴合但圆柱面不受力问梁上该受什么荷载?大小等于多少?已知EIz为常量。解:由题意可得梁弯曲后其轴线变成圆弧线即每个截面处的曲率半径均为常量R由曲率公式()§横力弯曲时梁的正应力及其强度条件梁的合理截面一横力弯曲时梁的正应力及其强度条件由于τ的存在横截面发生翘曲(§)。平面假设不成立且还有沿y的挤压正应力。由弹性力学结果表明当lh≥时用()式计算跨中截面的最大正应力其误差≤。所以工程中仍用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲时的正应力。但要注意横力弯曲时弯矩是x的函数所以等截面梁Wz称为弯曲截面系数单位:m则几种常见截面的Wz正应力强度条件:(等直梁)由于σmax发生在|Mmax|横截面的上、下边缘处而该处的τ=或很小(§)且不计挤压应力σmax点处于单向应力状态。塑性材料:脆性材料:拉、压强度不等应近似地分别用材料的许用拉应力和许用压应力来代替材料的弯曲许用拉、压应力。解:作弯矩图如图所示已知:Iz=×mm铸铁σt=MPaσc=MPa。例试确定此梁的许用荷载F。解:设F的单位为kN。所以最大压应力必定在B截面的下边缘处Iz=×mm由此可得σt=MPaσc=MPa。Iz=×mm则最大拉应力一定在C截面的下边缘处σt=MPaσc=MPa。由此可得故应取已知:F=kNF=kNa=mIz=×mmσbt=MPaσbc=MPa安全系数n=。试:校核梁的强度。解:作弯矩图很容易求出:许用应力为:校核强度:截面A下边缘:截面A上边缘:截面C下边缘:故:满足强度要求由图可得危险截面弯矩:练习已知:l=mσ=MPa号工字钢不计自重。练习求:F的最大许可值。解:作弯矩图得:故:查附录型钢表由:由图可得:二梁的合理设计由上式可见降低最大弯矩、提高弯曲截面系数或局部加强弯矩较大的梁段都能降低梁的最大正应力从而提高梁的承载能力使梁的设计更为合理。(一)合理配置梁的荷载和支座按强度要求设计梁时主要是依据梁的正应力强度条件工程中经常采用的几种措施:最大弯矩减小了x=l的时候最大弯矩减小了同理合理地设置支座位置也可降低梁内的最大弯矩值a=l的时候最大弯矩减小了a=l(二)选择合理的截面形状除了要把中性轴附近的材料减少到最低限度以外还应当顾及材料本身的性能。脆性材料:应选中性轴为非对称轴的截面例如:T形截面、槽型截面等并将顶板置于受拉一侧。塑性材料:应选中性轴为对称轴的截面例如:工字形截面、圆环形截面、箱形截面等。不合理合理(三)合理设计梁的外形由等直梁的强度条件可知最大正应力发生在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远的各点处。也就是说当最大弯矩截面上的最大正应力达到材料的许用应力时其余各截面上的最大正应力都还小于材料的许用应力。因此为了充分发挥材料的作用并节约材料和减轻自重将梁设计变截面的。例如可在弯矩较大的部分进行局部加强。若使梁各横截面上的最大正应力都相等并均达到材料的许用应力通常称为等强度梁。得§梁的切应力及其强度条件一、梁的切应力即:切应力分析方法:对切应力分布规律作一些假设、矩形截面梁的切应力(重点掌握)τ分布规律假设:()横截面上各点处切应力τ的方向均与截面侧边(竖边)平行()切应力沿截面宽度均匀分布(即只与y的大小有关)由弹性力学可以证实当h大于b时依据上述假设所得出的切应力公式对于长梁是足够精确的。带入并整理得到计算时Sz和FS都以绝对值代入计算而τ的指向与Fs指向一致Sz是距中性轴为y的横线以下(或是以上)部分的横截面面积对中性轴的静面矩。FS为横截面上的剪力Iz为横截面对中性轴的惯性矩b为横截面的宽度例矩形截面悬臂梁如图所示。试求C截面上、、点的应力并用单元体示出各点的应力状态。···解:C截面的弯矩和剪力分别为点:(拉应力)点:(拉应力)(正负号与剪力一致)例矩形截面悬臂梁如图所示。试求C截面上、、点的应力并用单元体示出各点的应力状态。···点:绘出、、点应力状态(单向应力状态)(复杂应力状态)(纯剪切应力状态)、工字形截面梁的切应力(a)腹板上的切应力(要求掌握)腹板是狭长矩形完全适用对矩形截面梁的切应力分布所作的两个假设。式中d为腹板的厚度Iz为横截面对中性轴的惯性矩Sz是距中性轴为y的横线以下(或以上)部分的横截面面积对中性轴的静面矩(y的二次函数)Szmax是中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静面矩。型钢查表:(中性轴处)(腹板与翼缘交界处)(b)翼缘上的切应力从右图可见横截面上弯曲切应力的指向犹如源于上翼缘两端的水流经由腹板再分成两股流入下翼缘的两端。除非某点的切应力为零否则绝不会在该点相向或相背而流。通常把切应力的这一特点称为切应力流。由狭长矩形组成的组合截面的切应力二、切应力强度条件等直梁:注:弯曲正应力强度条件一般起着控制作用通常先按正应力强度条件选择梁的截面尺寸或许用荷载再按切应力强度条件进行校核。b为横截面在中性轴处的宽度或厚度Iz为横截面对中性轴的惯性矩。(一般位于中性轴处)解:()绘梁的剪力图和弯矩图()按正应力强度条件选择截面尺寸得从而()按切应力强度条件选择截面尺寸得故取解:求反力并绘剪力图和弯矩图正应力强度校核D截面:C左截面:相对误差:切应力强度校核(AC段)故该梁是安全的例跨度l=m的箱形截面简支梁受力如图。该梁是用四块木板胶合而成。弯曲许用正应力s=MPa顺纹许用切应力t=MPa胶合缝许用切应力t胶=MPa。试求该梁的许用荷载q的值。Iz=×mm。解:()首先可以计算出()按正应力强度计算q的值()再按切应力强度进行校核中性轴以下半个截面面积对中性轴的静面矩为:横截面在中性轴处宽度b=×=mm底板的面积对中性轴的静面矩为:胶合处截面的宽度b=×=mm故胶合缝的切应力为:故该梁的许用荷载集度q=kNm。练习:梁由钢板焊接而成许用正应力s=MPa许用切应力为t=MPa其中横截面对z轴的惯性矩Iz=×mm。试校核其强度。并作C截面右侧切应力分布图。解:()求支座反力并画内力图C截面的最大正应力发生在截面的下边缘处()强度校核正应力满足强度要求最大切应力发生在C截面的中性轴处可以计算z线以下或是以上部分对z轴的静矩。切应力亦满足强度要求。该梁安全。()切应力分布图取a线以右的那一块矩形取c线以下右边那一块矩形

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