《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考02第二章_晶体的结合和弹性

第二章 晶体的结合和弹性 1 第二章 晶体的结合和弹性 2.1 有一晶体，在平衡时的体积为 ，原子之间总的相互作用能为 ，如果相距为 r 的原子间相互作用能 由下式给出： 0V 0U ( ) m n A Bu r r r = − + ， 证明：（1）体积弹性模量为 0 09 mnK U V = （2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。 解：参考王矜奉 2.2.1 根据弹性模量的定义可知 00 2 2 VV dV UdV dV dPVK ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= …………………（1） 上式中利用了 dV dUP −= 的关系式。 设系统包含 个原子，则系统的内能可以写成 N ( ) ( ) 2 2 m n N N AU u r r r = = − + B ……………（2） 又因为可把 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距N r的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，即 3V Nv NBr= = ………………（3） 上式中 B 为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构， 2 / 2B = ）。 又因为 02 1 1 1 1( ) ( ) 3 2R m n dU dU N mA nB dV BNr dr r r NBr+ + ⎛ ⎞= = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 23 … … … … … … （ 4 ） 0 0 2 2 2 1 1( ) ( 3 2V m n r r d U dr d N mA nB dV dV dr NBr r r+ +1 = ⎧ ⎫⎡ ⎤= ⋅ −⎨ ⎬⎢⎣ ⎦⎩ ⎭⎥ 2 2 2 0 0 0 0 1 3 9 2 m n m n N m A n B mA nB V r r r r0 3⎡ ⎤= ⋅ − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ……………（5） 考虑平衡条件 0)( 0 =rdV dU ，得 0 0 m mA nB r r = n ，那么（5）式可化为 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1( ) 9 2 9 2V m n m n d U N m A n B N mA nBm n dV V r r V r r ⎡ ⎤ ⎡= ⋅ − + = ⋅ − +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 02 2 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 9 2 9 2 9n m m n N nB mA mn N A B mnm n U V r r V r r V ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − + = − ⋅ − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 ) ……（6） 将（6）式代入（1）式得： 第二章 晶体的结合和弹性 2 0 0 02 0 09 9 mn mnK V U U V V = ⋅ − = （2）惰性分子晶体原子之间的相互作用势可以下式描述 12 6( ) 4 ( ) 2( )u r r r σ σε ⎡ ⎤= −⎢⎣ ⎦⎥ ……（7） 此时 m=12，n=6，式中 1/ 6B A σ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ， 2 4 A B ε ≡ ，称为雷纳德-琼斯参数。 N 个原子组成的晶体 12 6 12 6( ) 2 ( ) ( )U r N A AR R σ σε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦……（8） 得到平衡时原子间距 1/ 6 12 0 6 2AR A σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 平衡时总的相互作用势能 2 6 0 122 AU N A ε= − 在体心立方结构中，每个晶胞有 2 个原子，N 个原子有 N/2 个晶胞，又因为 0 2 3 a = R ，所以 3 3 3 0 0 2 4 3 2 2 93 N N NV a R⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0R 5/ 22 12 12 6 6 6 0 1233 31/ 6 30 12 12 0 12 120 12 6 3 3 3 3 9 2 244 3 229 249 A mn A mn Amn mnK U N A V A A R AN AR A A ε ε ε ε σ σ ⎛ ⎞= = × = = = ⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 6A ， 因为 m=12，n=6，查表（P53，表 2-3）知体心立方 6 12.25A = ， 12 9.11A = 12 2 6 3 3 12 0 0 0 3 12 6 12.25 3 89.84 24 24 9.11 mn AK A R R R ε 3 ε ε× × ×= = =× 5 / 2 6 0 12 33 0 12 3 3 70.1 9 2 AmnK U A V A ε ε σσ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 2.2 设原子之间总的相互作用能可表示为 ( ) m n A Bu r r r = − + ， 式中，第一项为引力能，第二项为排斥能，A、B 均为正常数。证明：要使这两原子系统处于平衡态，必 须 n>m。 证明：参考陈金富 9.1 第二章 晶体的结合和弹性 3 平衡条件 0 0 0 1 1| 0r r m n dU mA nB dr r r= + + ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 得 0 0 1 1m n mA nB r r+ + = 1 0 n mnBr mA −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)| 1r r m n m n m m d U m m A n n B mA n n B mAm m dr r r r mAr r= + + + − + ⎡ ⎤+ + += − + = − + − = − + − +1 1n⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) 0 0 2 2 2|r r m d U mA m n dr r= + = − − 显然，如果 为平衡点，相互作用的势能应具有最小值，则需0r ( )0 0 2 2 2| 0r r m d U mA m n dr r= + = − − > ，即 n>m 2.3 试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数，设离子总数为 2N，离子间的最 短距离为 R。 解：参考林鸿生 1.1.26，刘友之 3.7，王矜奉 2.2.2， 相距为 的两异性一价离子的库仑相互作用势能为 ijr 2 0 1( ) 4ij ij ij eu r rπε= − 选取某一正离子为参考离子，并为原点 O 离子间的最短距离为 R，则第 n 个离子坐标为 nR，参考离 子与一维晶格所有离子的库仑作用吸引势为 2 0 1 0 1( 1) 2 4 N n n eu nRπε= ⎛ ⎞= − ×⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 式中求和时对正离子取正号，对负离子取负号，并考虑到一维离子晶体，参考离子两边的离子是正负对称 的，因此乘以 2.离子总数为 N，只取一次两离子相互作用势。一维离子晶体总的库仑吸引势为 2 2 1 0 1 10 0 1 1 1( 1) 2 2 2 ( 1) 4 2 4 N N n n n n e eU N N nR R nπε πε + = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × × × = − • • − •⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ 1 一维离子晶格的马德隆常数 1 1 12 ( 1) N n n M n + = = • − •∑ 3 0 2 0 1 0 "0" 0 00 0 −+−+−+ � � � R 当离子数目较大时 第二章 晶体的结合和弹性 4 1 1 1 1 1 1 1 1 12 ( 1) 2 ( 1) 2 1 2ln 2 3 4 N n n n n M n n ∞+ + = = ⎛ ⎞= • − • = • − • = − + − ••• =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ 2 式中利用了 2 3 4 ln(1 ) ( 1) 2 3 4 x x xx x x+ = − + + + ⋅⋅⋅ ≡ 2 2 0 1 0 0 1 1( 1) 2 2 4 2 N n n e eU N nR Rπε πε= ⎛ ⎞= − × × × = −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ln 2 2 N 2.4 由 N 个惰性气体原子构成的分子晶体，其总互作用势能可表示为 12 6 12 6( ) 2U R N A AR R σ σε ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 式中 1212 ij j A a−=∑ ， 66 ij j A a−=∑ ，σ ，ε ，称为雷纳德-琼斯参数。 是参考原子 i 与其他任一原子 j 的距离 同最近邻原子距离 R 的比值（ ija ijr /ij ija r R= ）。试计算简立方、体心立方和面心立方的 和 值。 6A 12A 解：参考徐至中 2-2，王矜奉 2.2.3，韦丹 3.11 （1）简立方 如图，如果选取原子 1 作为坐标原点，根据与原子 1 的间距进行分类， 间距依次为 R 的 1，2,3，…i…倍，对应有 个原子 im 则，对雷纳德-琼斯参数贡献分别可以表示 ( ) ( ) ( )6, 6 6 66 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 / i i im m m i i j j jij ij mA a r R n n n n n n= = = = = = = + + + + ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( )12, 12 12 1212 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 / i i im m m i i j j jij ij mA a r R n n n n n n= = = = = = = + + + + ∑ ∑ ∑ 雷纳德-琼斯参数 ( )6 6, 62 2 21 1 1 2 3 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ ( )12 12, 122 2 21 1 1 2 3 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ 得 当考虑 6 最近邻时 第二章 晶体的结合和弹性 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 12 8 1 0 0 1 1 0 1 1 1 6 24 24 0 0 2 0 1 2 1 1 2 6.0000 1.5000 0.2963 0.0938 0.1920 0.1111 8.19 N i i mA n n n= = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + = ∑ 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 12 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 12 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 12 8 1 0 0 1 1 0 1 1 1 6 24 24 0 0 2 0 1 2 1 1 2 6.0000 0.1875 0.0110 0.0015 0.0015 0.0005 6.20 N i i mA n n n= = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + = ∑ （2）体心立方 如图所示，以 O 为原点，1（1/2,1/2,1/2），2（001）… 雷纳德-琼斯参数 ( )6 6, 62 2 21 1 1 2 38 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ ( )12 12, 122 2 21 1 1 2 364 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ 当考虑 6 最近邻时 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 6 6 63 3 33 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 6 6 633 2 2 2 3 2 2 22 2 2 8 6 4 / 3 4 / 3 1 0 0 4 / 3 1 1 04 / 3 1/ 2 1/ 2 1/ 2 24 8 24 4 / 3 1 1 14 / 3 3/ 2 1/ 2 1/ 2 4 / 3 3/ 2 3/ 2 1/ 2 N i i m A n n n= = = + + + + + + + ++ + + + + + ++ + + + = = ∑ ( ) 6 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 6 12 123 6 66 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 3 12 12 1266 2 2 2 6 2 2 22 2 2 8 6 4 / 3 4 / 3 1 0 0 4 / 3 1 1 04 / 3 1/ 2 1/ 2 1/ 2 24 8 24 4 / 3 1 1 14 / 3 3/ 2 1/ 2 1/ 2 4 / 3 3 / 2 3/ 2 1/ 2 N i i m A n n n= = = + + + + + + + ++ + + + + + ++ + + + = = ∑ 1212 第二章 晶体的结合和弹性 6 （3）面心立方 如图所示，以 O 为原点，1（1/2,1/2,0），2（001）… 雷纳德-琼斯参数 ( )6 6, 62 2 21 1 1 2 38 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ ( )12 12, 122 2 21 1 1 2 364 N N i i i i mA A n n n= = = = + + ∑ ∑ 得 当考虑 7 最近邻时 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 6 6 6 2 2 2 22 2 2 2 2 22 21 1 2 3 6 6 6 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 12 6 24 8 8 0 0 18 1/ 2 1/ 2 0 8 1/ 2 1/ 2 1 12 24 8 48 8 1 0 1 8 1 1 18 1/ 2 0 3/ 2 8 1/ 2 1 3/ 2 12.0000 0.7500 0.8889 0.1875 0.1920 0.0370 0.1399 14.20 N i i mA n n n= = = + + + + + ++ + + + + + + + + + + ++ + + + = + + + + + + = ∑ 6 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 12 12 12 12 2 2 2 22 2 2 2 2 22 21 1 2 3 12 12 12 12 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 12 6 24 64 64 0 0 164 1/ 2 1/ 2 0 64 1/ 2 1/ 2 1 12 24 8 48 64 1 0 1 64 1 1 161 1/ 2 0 3/ 2 64 1/ 2 1 3/ 2 12.0000 0.0938 0.0329 0.0029 0.0015 0.0002 0.0004 12.13 N i i mA n n n= = = + + + + + ++ + + + + + + + + + + ++ + + + = + + + + + + = ∑ 如图所示，是面心立方晶格一个原胞，参考点在 O 点，标号为 1 的原子是最近邻原子，距离为 R，一 个坐标面上与标号为 0 的原子的最近邻有 4 个，所以面心立方格子任一原子有 12 个最近邻原子，标号为 2 是 O 原子的次近邻，上下左右前后共有 6 个，之间距离是 2R，标号为 3 的原子是 O 原子的第三近邻原 子，之间距离是 3R，角顶 O 原子周围一共有 8 个如图晶胞，一个 晶胞有 3 个原子，固有 24 个第三近邻原子。 1 1 1 2 2 2 3 3 3 O （1） 只计算最近邻 最近邻原子有 12 个, ( )1 6 6 12 (1) 12A −= × = ， ( )1 1212 12 (1) 12A −= × = （2）计算最近邻和次近邻 最近邻原子有 12 个,次近邻原子 6 个 ( ) ( ) 62 66 12 (1) 6 2 12 0.750 12.750A −−= × + × = + = ， 第二章 晶体的结合和弹性 7 ( ) ( ) 122 1212 12 (1) 6 2 12 0.094 12.094A −−= × + × = + = （3）计算最近邻，次近邻和第三近邻 最近邻原子有 12 个,次近邻原子 6 个，第三近邻原子有 24 个 ( ) ( ) ( )6 63 66 12 (1) 6 2 24 3 12 0.750 0.899 13.639A − −−= × + × + × = + + = ， ( ) ( ) ( )12 123 1212 12 (1) 6 2 24 3 12 0.094 0.033 12.127A − −−= × + × + × = + + = （4）计算最近邻，次近邻、第三近邻和第四近邻 最近邻原子有 12 个,次近邻原子 6 个，第三近邻原子有 24 个，第四近邻原子 12 个 ( ) ( ) ( ) ( )6 6 64 66 12 (1) 6 2 24 3 12 4 12 0.750 0.899 0.188 13.827A − − −−= × + × + × + × = + + + = ， ( ) ( ) ( ) ( )12 12 124 1212 12 (1) 6 2 24 3 12 4 12 0.094 0.033 0.00293 12.13A − − −−= × + × + × + × = + + + = 2.5 试求由正负一价离子相间构成的二维正方格子的马德隆常数。 O 解：（林鸿生 1.1.28，王矜奉 2.2.4）马德隆常数表达式为 ( ) 1N i i j ija α ≠ ⎛ ⎞= ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 取中央负离子为参考离子 jr ，则它到其他离子的距离为 ( )12 2 21 2ij ijr R n n Ra= + = 1 2,n n 为整数，R 是最近邻原子的距离， 为 ija ( )12 2 21 2ija n n= + 先看第一中性区（小晶胞），位于边棱中点的 4 个离子为正离子，其位置可表示为（±1，0）， （0，±1），因而 ( ) ( )2 21 0 0 1ia = ± + = + ± =1 但每个离子只有 1/2 属于本晶胞，而 4 个顶角为负离子，其位置可用（±1，±1）表示，因而 ( ) ( )2 21 1ia = − ± + ± = − 2 ，但每个离子只有 1/4 属于本晶胞，于是 ( ) 1 1 1 1 14 4 1.293 2 1 4 2 N i i j ija α ≠ ⎛ ⎞= ± = × × − × × =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 对第二中性区（中晶胞），参考离子 O 最近邻 4 个正离子和次近邻 4 个正离子均属该晶胞，坐标分别 用（1，0）和（1，1）来代表，由式 分别为 1，ija 2− ，它们对马德隆常数贡献为 1 14 4 1 2 × − × 而棱中央为 4 个负离子，坐标用（2，0），a 2ij = − ，但每个离子只有 1/2 属于本晶胞，边棱有 8 个正离 第二章 晶体的结合和弹性 8 子，坐标用（1，2），代表， 2 21 2 5ija = + = ，每个离子也只有 1/2 属本晶胞，它们对马德隆常数的 贡献为 1 1 1 14 8 2 2 2 5 − × × + × × 顶角上 4 个负离子，坐标用（2，2）代表， 2 22 2 8ija = + = ，但每个离子只有 1/4 属本晶胞，它 们对马德隆常数的贡献为 1 1 4 2 8 − × × 因此第二中性区（中晶胞，4 单胞）的马德隆常数为 1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 8 1 2 2 2 22 5 1.1716 0.7889 0.3536 1.607 α ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞= × − × + − × × + × × + − × ×⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = + − = 4 8 ⎞⎟⎠ 同理，对第三电中性（大晶胞，9 单胞）进行计算，求的马德隆常数 1 1 1 1 14 4 4 8 4 1 22 5 8 1 1 1 1 1 1 1 14 8 8 2 3 2 2 410 13 18 1.611 α ⎛ ⎞⎛ ⎞= × − × + − × + × − ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ × × − × × + × × − × ×⎜ ⎟⎝ ⎠ = 4 同理，16 单胞进行计算，求的马德隆常数 ( ) ( ) 4 8 8 4 8 / 2 8 / 2 4 / 2 8 / 2 4 / 21.1716 0.1636 3 413 10 18 17 25 20 32 1.6135 α ⎛ ⎞ ⎛= + + + − − + + − − −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ = ⎞⎟⎠ 当选 n×n 个晶胞时，刘策军在“二维 Nacl 晶体马德隆常数计算”（《大学物理》Vol.14；No.12,1995 年）有论述。 2.6 只计及最近邻间的排斥作用时，一离子晶体离子间的互作用势为 2 2 ( ) ( ) m e bu r R R eu r r ⎧ = − +⎪⎪⎨⎪ = ±⎪⎩ 最近邻 最近邻以外 （1）求晶体平衡时，离子间总的互作用势能 ( )0U R . (2) 证明： ( ) 1 1 0 m m U R Z α −⎛ ⎞∝ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ，其中，α是马德隆常数，Z 是晶体配位数。 解：（王矜奉 2.1.6）（1）设离子的数目为 2N，以 j jr Ra= 表示第 j 个离子到参考离子 i 的距离，忽略表 面效应，则总的相互作用能可表示为 第二章 晶体的结合和弹性 9 2 2 m m j j e b eU N N Z a R R R R α⎡ ⎤⎛ ⎞ b⎡ ⎤′= − ± + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑最近邻 ⎦ 其中 1 j ja α ⎛ ⎞′= ±⎜⎜⎝ ⎠∑ ⎟⎟为马德隆常数，+号对应异号离子，-号对应与同号离子，Z 为任一离子的最近邻 数目。设平衡时 0R R= ，由平衡条件 0 0 2 2 2 1 2 1 0 0 0m m r R r R dU e b e bN Zm N Zm dr R R R R α α + + = = ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 得到 2 1 0 m be Zm R α −= 即 1 1 0 2 mZmbR eα −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能 ( )20 0 0 0 ( ) 1m m e b bU R N Z NZ m R R R α⎡ ⎤= − + = − −⎢ ⎥⎣ ⎦ （2）晶体平衡时离子间总的相互作用势能可以进一步化简 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 11 0 1 1 0 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 m m m mm m mm m m m eb ZU R NZ m Nb m Nb m R Zmb Z mb e α α − −− ×− − − = − − = − − = − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 由上式可知 ( ) 1 1 0 m m U R Z α −⎛ ⎞∝ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2.7 一维离子链，其上等间距载有正负 2N 离子，设离子间的泡利排斥势只出现在两最近邻离子之间， 且为 ，b、n 是常数，R 是两最近邻离子的间距，并设离子电荷为 q。 / mb R 证明：（1）平衡间距下 ( ) 20 0 2 ln 2 11NqU R R n ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ （2） 令晶体被压缩，使 0 0 (1 )R R δ→ − ，在晶体被压缩单位长度的过程中外力做功的主项为 / 2cδ ， 其中 ( ) 22 0 1 lnn q c R −= 2 （3） 求原子链被压缩了 02 eNR δ （ 1eδ << ）时的外力。 解：（1）（林鸿生 1.1.29，中南 2.14） 按照题意 2 ( ) n q bU R N R R α⎛ ⎞= − +⎜⎝ ⎠⎟，式中α=2ln2，为马德隆常数，前一项为库仑势。 第二章 晶体的结合和弹性 10 0 0 2 2 1 ( ) 0n R R dU R q bN n dR R R α + ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ = 得 1 1 1 1 0 2 22 ln 2 n nnb nbR q qα − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 得 2 2 1 1 1 1 01 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 1( ) 1 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 n n n n n n n q b q b NqU R N N 2 R nnb nb nb nb q q q qα − +− − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞= − + = − + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （2）外力所做的功等于系统内能的改变，设 W 为晶体受压一个长度所在的功，则 ( ) [ ]0 0 (1 )W U R U R δ= − − 而 12 2 0 0 2 ln 2 1 1( ) 1 2 ln 2 n n RNqU R Nq R n nR −⎛ ⎞⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠R [ ] [ ] [ ] 1 1 2 20 0 0 0 00 2 1 0 1 1(1 ) 2 ln 2 2 ln 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 2 ln 2 1 1 (1 ) (1 ) n n n n n n R RU R Nq Nq R nRn R Nq R n δ 0Rδ δ δδ δ δ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠ − 因δ很小，式中对δ展开，只计及δ2项后得 [ ] ( )2 20 0 12 ln 2 1(1 ) 2 nNq nU R R n δ δ−⎛ ⎞−− = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 1 12 ln 2 1 2 ln 2 1 2 ln 2(1 ) 1 2 2 2 1 ln 2 2 2 2 n nNq Nq n NqW U R U R R n R n R N n q cN R δ δ δ δ δ − −⎛ ⎞−⎛ ⎞= − − = − − − + = − •⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −= = • （3）因为 f βδ= ， 2 max 0 0 1 2 2 e e e e FW fd d δ δδ βδ δ βδ δ= = = =∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 0 2 0 0 2 1 ln 2 2 1 ln22 2 2 2 e e e N n q n qRWF NR NR R δ δ δ δ − −= × = × = 0 2 2..8 设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对 NaCl 晶格常数、体弹性模量以及结合能的影响。 解：（刘友之 3.10，黄昆 2.2）晶体中每对离子的总能量表示为 2 ( ) n e Cu r r r α= − + 第二章 晶体的结合和弹性 11 由 0 2 2 1 0 0 | 0r r n du e nC dr r r α = += − = 得 2 2 1 0 0 n e nC r r α += 1 1 0 2( ) nnCr e eα −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 当 e 变为 2e 时，有 1 1 11 11 1 11 1 0 02 2 2 1(2 ) 4 ( ) (2 ) 4 ( ) 4 ( ) n n nn nnC nC nCr e r e e e eα α α − − − −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 结合能 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1( , ) (1 )n e C e e eu r e r r r nr r n α α α α= − + = − + = − − 当 e 变为 2e 时，有 12 2 21 1 1 0 01 0 01 0 (2 ) 1 4 1 1( ,2 ) (1 ) (1 ) 4 (1 ) 4 ( , (2 ) ( )4 ( ) n n n n e e eu r e u r e r e n n r e nr e α α α+ − − − − = − − = − = − = ) 体弹性模量 00 2 2 VV dV UdV dV dPVK ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= NaCl 晶体中中 3 32 4 aV r= = ， 26V r r ∂ =∂ ， 2 1 6 r V r V r r ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 0 00 0 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 12 6 6 18 1 1 1 9 18 r r r rV r r d u u r uK V r dV r r r r r r r u u r r r r = = = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂= − +∂ ∂ 平衡时 0 | 0r r du dr = = ( ) 0 2 2 2 2 4 0 11 18 18r r nuK e r r r α = −∂= =∂ 当 q=2e 时 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 32 2 2 1 4 42 2 1 0 1 0 1 11(2 ) 2 2 ( )4 18 18 2 18 4 ( ) n n r r n n nuK e e e K e r r r e r e α α + − −= − − −∂= = = =∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2.9 两原子间的相互作用势为 2 8( ) A Bu r r r = − + 当两原子构成一稳定分子时，核间距为 0.3nm，解离能为 4eV，求 A 和 B。 第二章 晶体的结合和弹性 12 由题意有以下方程成立： 0 0 2 8 0 0 3 9 0 0 ( ) 2 8( ) 0r A Bu r r r du A B dr r r ⎧ = − +⎪⎪⎨⎪ = − =⎪⎩ 把 代入方程有 0 00.3 , ( ) 4r nm u r e= = V ( ) ( ) ( ) ( )0 19 2 810 10 3 910 10 4 1.6 10 3.0 10 3.0 10 2 8( ) 0 3.0 10 3.0 10 r A B du A B dr − − − − − ⎧ × × = − +⎪ × ×⎪⎨⎪ = − =⎪ × ×⎩ 解得 27 27.69 10A erg−= × • cm cm 72 81.4 10A erg−= × • 2.10 KCl 晶体的体积弹性模量为 ，若要使晶体中相邻离子间距缩小 0.5%，需要施加多大 的力。 10 21.74 10 /N m× 解：（中南 2.8）设 KCl 晶体内包含 个原胞，综合考虑到库仑吸引能和重叠排斥能，则系统的内能 可以写成 N ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−= nr B r ANU ………………（1） 此外，由于 KCl 每个原胞体积为 32r ，则晶体的总体积为 ………………（2） 32NrV = 其中（1）和（2）式中的 r都指KCl晶体中相邻K＋和Cl－之间的距离。 根据体弹性模量的定义有： 00 2 2 VV dV UdV dV dPVK ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= …………………（3） 设平衡时晶体内相邻离子间的距离为 ，则平衡体积 ，那么平衡时的体弹性模量为0r 300 2NrV = 0 2 2 VdV UdVK ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 。又根据 KCl 晶体内能表达式（1）式及平衡条件 0)( 0 =VdV dU ，可得 01 0 2 0 =− +nr nB r A 或 1 0 1 −= nr nA B 。 将（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得 第二章 晶体的结合和弹性 13 0 33 3 0 2 rr nr B r A dr d dr drK = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 000 2 2 0 2 0 18 11 18 rr n rr n r r B r A dr d rr B r A dr d rdr dr == ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 上式中的前一项由于平衡条件而等于 0，后一项求微商后利用平衡条件化简得 4 0 2 0 3 00 18 )1()1(2 18 1 r An r Bnn r A r K n −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++−= + 由此知 1 18 40 −= n KrA 当使晶体中相邻离子间距缩小 0.5%时，即使相邻离子间距变为 001 95.0%)5.01( rrr =−= ，此时需施 加的外力为 )1 95.0 1( 95.0 120 21 1 2 11 −=+−=−= −+ = nn rr r A r nB r A dr duF )1 95.0 1( )1(95.0 18 12 2 0 −−= −nn Kr 查书中表 2.2 及表 2.7 可知， ， m，代入上式可得 0.9=n 100 1014.3 −×=r N 91017.2 −×=F 查书中表 2.5 及表 2.7 可知， ， m，代入上式可得 9.6n = 100 1014.3 −×=r 2.11 设原子的电离能和电子亲合能分别用 I 和 E 表示，试推出由离子键结合双原子分子的解离能的一般表 达式，并求出 NaCl 分子的解离能。已知： 05.14 , 3.62 , 0.251Na ClI eV E eV NaCl r nm= = =的键长 。 2.12 雷纳德-琼斯势为 12 6( ) 4 ( ) ( )u r r r σ σε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ 证明： 1.12r σ= 时，势能最小，且 0( )u r ε= − ；当 r σ= 时， ( ) 0u σ = ；说明ε σ和 的物理意义。 证明：参考王矜奉 2.2.12 0 12 13 6 7 6| 4 ( 12) ( 6) 0r r du r r A dr ε σ σ− −= ⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ 得 ( )16 60 2 1.1r 2σ σ= = 此时是最小。 第二章 晶体的结合和弹性 14 ( ) ( ) 12 6 0 1 1 6 66 6 1 1( ) 4 ( ) ( ) 4 4 22 2 u r σ σε ε ε σ σ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ = − 0( )u r 是两分子的结合能，所以ε是两分子处于平衡时的结合能。 12 6( ) 4 ( ) ( ) 0u σ σσ ε σ σ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ = , ( ) 0 , ( ) 0 r u r r u r σ σ > <⎧⎨ < >⎩ σ具有长度的量纲，它的物理意义是相互作用势能为 0 时两分子间的距离。 2.13 如果离子晶体中离子总的相互作用势能为 2 / 0 ( ) 4 rqU r N Z e r ρλπε −⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = 求晶体的压缩系数，其中λ、ρ为常数，Z 为配位数。 解：（林鸿生 1.1.33） 0 0 00 0 00 0 2 0 02 2 2 0 02 V V VV r rV r dP d U U U rK V V V dV dV V V V r V dr U dr UV V dV V r dV r ⎛ ⎞ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = • = •⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= • = • •⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ V 因为晶体相邻离子间间距为 r，所以晶体体积 3V N rβ= 此处β是与晶体的原子几何结构有关的系数，例如 NaCl 晶体结构是由正负离子各自构成的面心立方格子 沿晶轴平移 1/2 晶格常数构成，β=2r，而每小胞含有 8 个离子，所以晶体的体积 ， β=1；对于 CsCl 型晶体结构是由两个简立方格子沿立方空间对角线方向位移 1/2 的长度套构而成， ( )( )3 3/ 8 2V N r Nr= = 2 3 β = ，而没晶胞含有 2 个离子，晶体的体积为 ( )( )3 34/ 2 2 / 3 39V N r Nr= = ， 4 39β = .平衡情 况下 3 0 0V N rβ= 显然 0 2 03 r dV N r dr β⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 所以 0 2 0 1 3r dr dV N rβ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 而平衡条件 第二章 晶体的结合和弹性 15 0 0 0 2 2 // 2 2 0 0 0 ( ) 0 4 4 rr r r dU r q Z q ZN e N e dr r r ρρλ λπε ρ πε ρ −−⎡ ⎤ ⎡= − = −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ = = ⎤ =⎥⎦ 得 0 2 / 2 0 04 r qe Z r ρ ρ πε λ − = = 而 0 0 0 2 2 2 2 // 2 3 2 3 2 2 0 0 0 0 ( ) 2 2 1 1 4 4 2 rr r r d U r q Z q Z N qN e N e dr r r r r ρρλ λ 0 0 2πε ρ πε ρ πε ρ −−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛= − − = − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ = = = ⎞ ⎠ 0 0 22 2 2 3 0 02 2 2 0 0 0 0 2 2 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 18 2 18 2 r r dr U N qK V dV r N r r r q q Nr r V r N rββ πε ρ β πε ρ πε ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎛ ⎞= − • • = − • − •⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − • − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = 压缩系数 0 0 2 0 181 1 1 2 VB K q r πε ρ = = ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2.14 闪锌矿 ZnS 是离子晶体，实验测得其晶格常数为 0.541nm，体弹性模量 10 27.76 10 /K n m= × ，试 求： （1）锌离子和硫离子相互作用的玻恩指数 n； （2）平均每对锌、硫离子的相互作用能。 解： 2.15 取一 x y zΔ Δ Δ 立方体积元，以相对两面中点连线为转轴， 列出转动方程，证明：应力矩阵是一个对称矩阵。 证明：（王矜奉 2.14）如图所示，在弹性体内取一立方体元， 体积元边长分别为Δx，Δy，Δz，C点的坐标是x，y，z，对 应前后两个面中心AB为转轴的转动，上下表面上的应力Tyz形 成力偶，邹游两表面的应力Tyz也形成力偶，体积元绕AB轴转 动的转动方程为 2 22 2 2 2 yz Zy AB yz yz Zy zy AB T Tz z y yT x y T x y T x z T x z I y y t θ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂Δ Δ Δ Δ+ Δ Δ + Δ Δ + + Δ Δ + Δ Δ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ 其中 ABθ 是体积元绕 AB 轴转动的转动角， ABI 是体积元绕 ANN 轴的转动惯量，其值为 第二章 晶体的结合和弹性 16 ( ) ( )2 2 12 12AB y z I x y zρ ⎛ ⎞Δ Δ= Δ Δ Δ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 由上式可知，当 x y zΔ Δ Δ 趋于 0，转动惯量更快趋于 0，于是转动方程化为 0yz zyyz yz zy zy T T T y T T y T y y ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Δ + − + Δ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 因为应力的梯度不能突变，所以 趋于 0，，由上式可得 yΔ yz zT T= y 同理可得 ,xz zx xy yxT T T T= = 由此可知，应力矩阵 xx xy xz xx xy xz yx yy yz xy yy yz zx zy zz xz yz zz T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 是一个对称矩阵。