第45章 阅读理解型 1. (2011江苏南京，28，11分) 问题情境 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为 ． 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的
经验
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，先探索函数 的图象性质． 1 填写下表，画出函数的图象： x …… 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值． 解决问题 ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】解：⑴① ， ， ，2， ， ， ． 函数 的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考． 当 时， 随 增大而减小；当 时, 随 增大而增大；当 时函数 的最小值为2． ③ = = = 当 =0，即 时，函数 的最小值为2． ⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 ． 2. （2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分） 已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点. （1） 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上； （2） 点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？ （3） 求a和k的 值. 【答案】（1）
证明
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：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0）得， ，解得a＝0，这与条件a＞0不符， ∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图）， ∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A、B、C； ②A、B、E； ③A、B、D； ④A、D、E； ⑤B、C、D； ⑥B、D、E. 将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解. 所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. 【法二】∵抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点为（1，k） 假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则 ，解得 Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B、D、E三点时，同法可求： . ∴ 或 . 3. （2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与 轴交于 （ ，0）、 （ ，0）两点，且 ，与 轴交于点 ，其中 是方程 的两个根。 （1）求抛物线的解析式； （2）点 是线段 上的一个动点，过点 作 ∥ ，交 于点 ，连接 ，当 的面积最大时，求点 的坐标； （3）点 在（1）中抛物线上，点 为抛物线上一动点，在 轴上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点 的坐标，若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）∵ ，∴ ， 。 ∴ ， 。 又∵抛物线过点 、 、 ，故设抛物线的解析式为 ，将点 的坐标代入，求得 。 ∴抛物线的解析式为 。 （2）设点 的坐标为（ ，0），过点 作 轴于点 （如图（1））。 ∵点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（6，0）， ∴ ， 。 ∵ ，∴ 。 ∴ ，∴ ，∴ 。 ∴ 。 ∴当 时， 有最大值4。 此时，点 的坐标为（2，0）。 （3）∵点 （4， ）在抛物线 上， ∴当 时， ， ∴点 的坐标是（4， ）。 1 如图（2），当 为平行四边形的边时， ， ∵ （4， ），∴错误！链接无效。 。 ∴ ， 。 2 如图（3），当 为平行四边形的对角线时，设 ， 则平行四边形的对称中心为（ ，0）。 ∴ 的坐标为（ ，4）。 把 （ ，4）代入 ，得 。 解得 。 ， 。 4. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 π？ 请你解答上述两个问题. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3， ∴顶点O运动过程中经过的路程为 . 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 =1+π. 正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为 . 问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为 ∴ π=20× π+ π. ∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.
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