解析几何模块分析

解析几何模块分析 模块透析 解析几何历来是高考的难点，高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ① 求曲线方程(类型确定、类型未定)； ②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)； ③ 与曲线有关的最(极)值问题； ④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂 直)； ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 解析几何虽然内容非常多，但基本问题却只有几个.如①求直线与圆锥曲线的方程；② 求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的 判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种 基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，学生 必须掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆 锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略 有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参 数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系； ⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析， 等等。运算是解析几何的瓶颈，要多练多总结。 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 睛 考点 1 曲线（轨迹）方程的求法 常见的求轨迹方程的方法： （1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）； （2）双动点的轨迹问题——代入法； （3）多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。 考点 2 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变 成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、 圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟 记于心. 考点 3 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解. 考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题 （1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程 后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB，若 A、 B 两点的坐标分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 AB (x 1− x 2 ) 2 (y 1− y 2 ) 2 （3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 （4）有关中点弦问题 ①已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题， 常用韦达定理。②有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差 1 分法”可简化运算。 考点 5 圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知 识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、 经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、 对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技 巧性，需要“精打细算”，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的 问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 中区分度较大的一个题目， 有可能作为今年高考的一个压轴题出现. 圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 ① 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利用圆锥曲线的定义， 把到焦点的距离转化为到准线的距离②若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建 立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 圆锥曲线的有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“求范围，找 不等式”。或者 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围； 圆锥曲线中的存在性问题：存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法 设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成 立，否则，不成立. 经典推论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分PF1F2 在点P 处的外角. 2.PT 平分PF1F2 在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 2 1上，则过 P 的椭圆的切线方程是 02 02 1. a b a b 2 a b x x y0 y a b 2 a b  PF . 2 2 8. 椭圆 1（a＞b＞0）的焦半径公式： 2 | MF1 | a ex0, | MF2 | a− ex0( F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 )). 2 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M，A2P 和A1Q 交于点N，则MF⊥NF. 11.AB 是 椭 圆 2 2   1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ，M ( x0 , y 0 ) 为AB 的 中 点 ， 则 b 2 a 2 即 K AB− 2 0 。 a y0 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 2  1 内 ， 则 被Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 2 a b a b 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2  1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 2 2 02. a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分PF1F2 在点P 处的内角. 2.PT 平分PF1F2 在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切： P 在左支） 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 x0 x y0 y 是 2 2 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 2 2 2 − −  1（a＞0,b＞0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程  1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切 x x y0 y a b 2 7. 双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P 为双曲线上任意 a b 2 PF. 2 3 2 8. 双曲线− 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) 2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a, | MF2 | ex0− a. 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |−ex0 a, | MF2 |−ex0− a 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P 和A2Q 交于点M，A2P 和A1Q 交于点N，则MF⊥NF. 11.AB 是双曲线 2 2 的中点，则 K OM⋅ K AB b 2 x0 a 2 y0 ，即 K AB b 2 x0 a 2 y0 。 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方 a b 程是 2 −− 2 2 2 . 2 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 a b 2 2− 2 2− 02. a b a b 椭 圆 1. 椭圆 2 2 2 a b 2 2. 过椭圆 2 2 1 (a＞0, b＞0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a b 2 交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBC 2 0 （常数）. a y0 2 a b ∠PF1F2, ∠PF2 F1 ，则 a− c a c  tan co t 2 2 . 4. 设椭圆 2 2   1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上 4 任意一点，在△PF1F2 中，记∠F1PF2, ∠PF1F2,∠F1F2 P ，则有 sin sin sin c a 5. 若椭圆 2 2   1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0 ＜e≤ 2−1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1 是P 到对应准线距离d 与PF2 的比 例中项. 6.P 为椭圆 2 2  1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2a− | AF2 |≤| PA | | PF1 |≤ 2a | AF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆 2 2  1 与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是 2 8. 已知椭圆 2 2  1（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 2 OP⊥ OQ（1） 2 2 （2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 2; -12 （3） SOPQ 的最小值是 2 a 2 b 2 . 9. 过椭圆 2 2   1（a＞b＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于P，则 | PF | e | MN | 2 . 2 10. 已知椭圆 2 2 1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分 a b 2 线与x 轴相交于点 P( x0 , 0), 则− x0 a a . 11. 设P 点是椭圆 2 2  1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 记∠F1PF2 ，则(1) | PF1 || PF2 | 2b 2 1 cos 2  2 . 2 12. 设A、B 是椭圆 1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， 2 ∠PAB, ∠PBA,∠BPA ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) 5 | PA | 2ab 2 | cos | 2 2 2 b− a 13. 已知椭圆 2 2  1（ a＞b＞0）的右准线 l 与x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC⊥ x 轴，则直线AC 经 过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1. 双曲线 2 2 2 平行的直线交双曲线于P1、P2 时A1P1 与A2P2 交点的轨迹方程是 2 2 1. a b 2 2. 过双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互 a b 2 补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBC− 2 a y0 （常数）. 3. 若P 为双曲线 2 2 − 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是 焦 点, ∠PF1F2, ∠PF2 F1 ， 则  tan co t ）. c a 2 2 c− a c a  tan co t 2 2 （或 6 4. 设双曲线 2 2 − 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点） 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 在 △PF1F2 中 ， 记∠F1PF2, ∠PF1F2, ∠F1F2 P ，则有 sin (sin− sin )  c a  e. 2 a b 则当1＜e≤ 2 1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1 是P 到对应准线距离 d 与PF2 的比例中项. 6.P 为双曲线 2 2 − 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内 一定点，则 | AF2 |−2a≤| PA | | PF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在y 轴同侧时，等号成立. 2 7. 双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞0）与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条 a b 2 2 2 2 2 2 a b 点，且 OP⊥ OQ. 2 2 的最小值是 2 b2− a 2 . 2 a b M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P，则 | PF | e | MN | 2 . 10. 已知双曲线 2 2 − 1（a＞0,b＞0）,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂 直平分线与x 轴相交于点 P( x0 , 0), 则 x0≥ a 2 b 2 a 或 x0≤− a 2 b 2 a . 2 11. 设P 点是双曲线 2− 2 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为 a b 7 其焦点记∠F1PF2 ，则(1) | PF1 || PF2 | 2b2 1− cos 2  2 . 2 12. 设A、B 是双曲线− 1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的 2 一点，∠PAB, ∠PBA,∠BPA ，c、e 分别是双曲线的半焦距离 心率，则有(1) | PA | 2ab2 | cos | 2 . 2 2 b a 13. 已知双曲线 2 2 − 1（a＞0,b＞0）的右准线 l 与x 轴相交于点 E ，过双曲 线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC⊥ x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 高考真题精讲 1. （2010 江西文10） 的取值范围是 2 2 − ，0 ⎣ 4⎦⎣ ⎡ 3⎤⎡ 3 3⎦⎣ 3⎦ − ，0 【解析】B 8 2. （2010 上海文8） 动点 P 到点 F (2，0) 的距离与它到直线 x 2 0 的距离相等，则 P 的轨迹方程 为 ． 【解析】 y 2 8x 3. （2010 浙江理13） 设抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，点 A(0, 2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________． 【解析】 3 4 ⎛ 2⎞ 4 ，1 4. 所以点 B 到抛物线准线的距离为 （2010 全国卷2 理15 文15） 3 4 2 已知抛物线 C : y 2 2 px( p 0) 的准线为 l ，过 M (1，0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交 于点 A ，与 C 的一个交点为 B ．若 AM MB ，则 p ． 【解析】2 过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E ，∵ AM MB ，∴ M 为中点，∴ | BM | 1 2 | AB | ，又 5. 斜率为 3 ，∠BAE 30 ，∴ | BE | 点，∴ p 2. （2010 江西理15） 1 2 | AB | ，∴ | BM || BE | ，∴ M 为抛物线的焦 点 A(x0，y0 ) 在双曲线 2 4 32 x0_______ 【解析】 2 r d ⎛ a 2⎞ ⎟ ⎝ c⎠ 6. （2010 安徽文12） 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标是 【解析】 (2,0) 7. 抛物线 y 2 8x ，所以 p 4 ，所以焦点 (2，0). （2010 重庆文13） A1 2 y A 已知过抛物线 y 2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、B 两点，AF 2 ， 则 BF____________ . 【解析】由抛物线的定义可知 AF AA KF 2 K F x 8. ∴ AB⊥ x 轴，故 AF BF 2 （2010 重庆理14） y A1 4 C A (x1，y1) B1 2 B 已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 4x 上的两点 A 、B 满 足 AF 3FB ， 则 弦 AB 的 中 点 到 准 线 的 距 离 为 2 F ___________. (x1，y2) 5 x 【解析】设 BF m ，由抛物线的定义知 B1 -2 B AA 3m, BB1 m 9 ∴ △ABC 中， AC 2m ， AB 4m ， k AB 3 直线 AB 方程为 y 3(x− 1) 与抛物线方程联立消 y 得 3x2− 10x 3 0 x x 5 8 2 3 3 9. （2010 北京文13） 2 已知双曲线 2− 2 1 的离心率为2，焦点与椭圆 a b 2 − 25 9  1 的焦点相同，那么双 曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ． 【解析】 (4，0) ； 3x y 0 10. （2010 北京理13） 2 已知双曲线 2− 2 1 的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点 a b 坐标为 ；渐近线方程为 ． 【解析】 (4，0) ； 3x y 0 11. （2010 全国卷1 文16） 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ， 且 BF 2FD ，则 C 的离心率为 . 【解析】 3 3 方法一：如图， BF b2 c2 a y 2 2 2 OF BF 2 DD1 BD 3 ，由椭圆的第二定义得 O D1 B F D x −⎟ a− ⎝ c 2⎠ 2a 又由 BF 2 FD ，得 a 2a− 3c2 a ,⇒ e 3 3 2  , y a b 0 2x2 3 3 1 2 2 2 1 2 2 2 2 代入 9 c 4 a 2 2 2 2 4 b  1 ，⇒ e 3 3 12. （2010 全国卷1 理16） 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ， 且 BF 2FD ，则 C 的离心率为 ． 【解析】 3 3 13. （2010 湖北文15） 已知椭圆 c : x 2 2 x02 2 10 PF1 PF2 的取值范围为_______，直线 【解析】⎡⎣2，2 2 ，0 x0 x 2  y0 y 1 与椭圆 C 的公共点个数_____． 依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 (| PF | | PF2 |)max 2 ， 当 P 在 椭 圆 顶 点 处 时 ， 取 到 (| PF | | PF2 |)max 为  2− 1 部，则直线 2 ，y 2 点，故交点数为0 个. 14. （2010 江苏6） 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 − 4 12  1上一点 M ，点 M 的横坐标是3，则 M 到双曲线右焦点的距离是__________ 【解析】考查双曲线的定义． MF d 4 2 MF 4 ． 15. （2010 上海文23） 2 已知椭圆 的方程为 2 2 1(a b 0) ， A(0, b) 、B(0,−b) 和 Q(a,0) 为 的三个 a b 顶点. 1 2 b2 a 证明： E 为 CD 的中点； （3）设点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ，使得 l 与 椭圆 的两个交点 P 、 P 满足 PP PP PQ PP PP PQ ？令 a 10 ， b 5 ， 点 P 的坐标是 (−8，− 1) ，若椭圆 上的点 P1 、P2 满足 PP1 PP2 PQ ，求点 P1 、P2 的坐标. ⎛ a b⎞ ⎝ 2 2⎠ ⎧ y k1x p ⑵ 由方程组⎨ x y 2 ⎪ 2 2 2 因为直线 l1 : y k1x p 交椭圆 于 C 、 D 两点， 2 设 C x1 ，y1 、 D x2 ，y2 ， CD 中点坐标为 x0 ，y0 ， 则⎨ 2 2 ⎪ 2 a k1 b b p 2 ， ⎧ y k1x p 由方程组⎨ ，消 y 得方程 k2− k1 x p ， 11 b2 a k1 ，所以⎨ 2 ⎪ k2− k1 a k1 b 2 2 0 b p 2 ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆Γ 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆Γ 内，可以求得直线 OF 的 从而得直线 l 的方程． b2 a k2 ， ⎝ 2⎠ 2 a k2 ⎛ 1⎞ 1 b2  1 2 ， ⎧ 1 解方程组⎨ 2 2 x y ⎪⎩100 25 ，消 y ： x2− 2x− 48 0 ，解得 P1−6，− 4 、 P28，3 ． 16. （2010 上海理23） 2 a b ⑴ 若直角坐标平面上的点 M 、 A0，− b ， B a ，0 满足 PM 1 2  PA PB ，求 点 M 的坐标； ⑵ 设直线 l1 : y k1x p 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 l2 : y k2 x 于点 E ．若 ，证明： E 为 CD 的中点； a 2 ⑶ 对于椭圆 上的点 Q a cos ，b sin (0 π) ，如果椭圆 上存在不同的两 个交点 P1 、P2 满足 PP1 PP2 PQ ，写出求作点 P1 、P2 的步骤，并求出使 P1 、P2 存 在的 的取值范围． ⎛ a b⎞ ⎝ 2 2⎠ ⎧ y k1x p  ⎩ a b 2 2 因为直线 l1 : y k1x p 交椭圆 于 C 、 D 两点， 2 设 C x1 ，y1 、 D x2 ，y2 ， CD 中点坐标为 x0 ，y0 ， 则⎨ 2 2 ⎪ 2 a k1 b b p 2 ， ⎧ y k1x p 由方程组⎨ ，消 y 得方程 k2− k1 x p ， 12 b2 a k1 ，所以⎨ 2 ⎪ k2− k1 a k1 b 2 2 0 b p 2 ， 故 E 为 CD 的中点； ⑶ 求作点 P1 、 P2 的步骤： 2 2 ②求出直线 OE 的斜率 k2− ， ③ 由 PP PP PQ 知 E 为 CD 的 中 点 ， 根 据 ⑵ 可 得 CD 的 斜 率 k1− 2 ， a k2 ④从而得直线 CD 的方程： y− b1 sin 2  ⎜ x⎟ ， 2 ⑤将直线 CD 与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点 P1 、 P2 的坐标． 所以 0 π ，即− π π 3π 4 4 4 π π 2 4 4 4 ， ⎛ π 2⎞ 0， arcsin ⎝ 4 4⎠ 17. （2010 湖南文19） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8km 的 A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形， 以过 A 、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 融 已 y P2(-5，9) 轴建立平面直角坐标系(如图)．考察范围到 A 、 B 两点的 距离之和不超过10 km 的区域． ⑴ 求考察区域边界曲线的方程： 区 化 冰 ⑵ 如图所示，设线段 P P 是冰川的部分边界线（不考虑其 他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝 域 P1(-14，-3) A(-4，0) B(4，0) x 川 考察区域平行移动，第一年移动 0.2km ，以后每年移 动的距离为前一年的2 倍．问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？ 【解析】⑴ 设边界曲线上点 P 的坐标为 x ，y ，则由 PA PB 10 知，点 P 在以 A ，B 为 焦 点 ， 长 轴 长 为 2a 10 的 椭 圆 上 ． 此 时 短 半 轴 长 b 52− 42 3 ． 所以考察区域边界曲线（如图）的方程为 2  25 9  1 ． P2(-5，9) y ⑵ 易知过点 P1 ，P2 的直线方程为 4x− 3 y 47 0 ．因此点 A 到直线 P P 的距离为 d −16 47 2 2  31 5 ． A(-4，0) O B(4，0) x 设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求 和公式可得 P1(-14，-3) 0.2(2n− 1) 31 2− 1 5 ． 解得 n 5 ，即经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界线上． 18. （2010 浙江理21） 13 已知 m 1，直线 l : x− my− m2 2 m ，F y 别为椭圆 C 的左、右焦点. A （Ⅰ）当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，△AF F2 ，△BF F2 的重心 分别为 G, H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取 B O x 值范围. m2 2  m2− 1，0 ，所以 m2− 1 m2 2 ，得 m2 2 ， 又因为 m 1，所以 m 2 ， 2 故直线 l 的方程为 x− 2 y− 0 ． 2 （Ⅱ）设 A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ． y A l ⎧ m2 ⎪ x 2 ⎪⎩ m2 2 ，消去 x 得 B O x m2 4 ⎛ m2⎞ ⎝ 4⎠ 且有 y1 y2− m 2 m2 1 8 2 ． 由于 F1 (−c,0), F2 (c, 0), ， 故 O 为 F F2 的中点， 由 AG 2GO, BH 2HO ， ， 1 ， ⎝ 3 3⎠⎝ 3 3⎠ 2 2  9 9 ， ⎝ 6 6⎠ 由题意可知 2 MO GH , 2 2 ⎝ 6⎠⎝ 6⎠ 9 9 即 x1x2 yy2 0 ⎛ m2⎞⎛ m2⎞ ⎝ 2⎠⎝ 2⎠ ⎛ m2 1⎞ ⎝ 8 2⎠ 所以 m2 1 8 2 即 m2 4 14 又因为 m 1且 0 所以1 m 2 ． 所以 m 的取值范围是 (1，2) ． 19. （2010 全国卷2 理21 文22） 己知斜率为1 的直线 l 与双曲线 C : 2 2 −  1(a 0，b 0) 相交于 B 、 D 两点，且 BD 的中点为 M (1，3) ． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，| DF |⋅ | BF | 17 ，证明：过 A 、 B 、 D 三 点的圆与x 轴相切． 【解析】（I）由题设知， l 的方程为 y x 2 ． 代入 C 的方程，并化简得 2 2 2 2 设 B(x1 ，y1 ) 、 D(x2 ，y2 ) B y M D 则 x1 x2 4a 2 2 2 ， x1⋅ x2− 2 2 2 O A F x x x 2 1 4a 2 2 b2− a 2 即 b2 3a 2 故 c a2 b2 2a 所以 C 的离心率 e c a  2 （II）由①、②知， C 的方程为： 3x2− y 2 3a2 A(a ，0) ， F (2a ，0) ， x1 x2 2 ， x1⋅ x2 4 3a 2 2  0 故不妨设 x1 ≤−a ， x2 ≥ a | BF | (x1− 2a) y12 (x1− 2a)2 3x12− 3a 2 a− 2x1 | FD | (x2− 2a)2 y22 (x2− 2a)2 3x22− 3a 2 2x2− a | BF |⋅ | FD | (a− 2x1 )(2x2− a) −4x1x2 2a(x1 x2 )− a2  5a 2 4a 8 又 | BF |⋅ | FD | 17 故 5a 2 4a 8 17 ， 9 5 故 | BD | 2 | x1− x2 | 2 (x1 x2 )2− 4x1x2 6 连结 MA ，则由 A(1，0) ， M (1，3) 知| | MA | 3 ，从而 MA MB MD ，且 MA⊥ x 轴，因此以 M 为圆心， MA 为半径的圆经过 A 、 B 、 D 三点，且在点 A 处 与 x 轴相切，所以过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切． 15 20. （2010 重庆文 21）已知以原点 O 为中心， F  5 ，0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e 5 2 .（Ⅰ）求双曲线 C 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如图，已知过点 M (x1, y1 ) 的直线 l1 : x1x 4 y1 y 4 与过点 N (x2 , y2 ) （其中 x2≠ x1 ）的直线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与双曲线的两 条渐近线分别交于 G 、 H 两点，求 OG⋅ OH 的值. 2 【解析】（Ⅰ）设 C 的标准方程为 2− 2 1(a ，b 0) ，则 a b l2 y G c a 5 2 ， O H N x 因此 a 2 ， b c2− a2 1 ， x 2 − y 2 1 ． -7C 的标准方程为 4 M l1 E 1 2 （Ⅱ）解法一：如图，由题意点 E xE ，yE 在直线 l1 : x1x 4 y1 y 4 和 l2 : x2 x 4 y2 y 4 上 ， 因 此 有 x1xE 4 y1 yE 4 ， x2 xE 4 y2 yE 4 ． l2 y G 故点 M 、 N 均在直线 xE x 4 yE y 4 上，因此 直线 MN 的方程为 xE x 4 yE y 4 ． O H Q N x 设 G 、H 分别是直线 MN 与渐近线 x− 2 y 0 ， M l1 E ⎧ x x 4 y y 4 ⎩ x− 2 y 0 ， ⎧ x x 4 y y 4 及⎨ E E ⎧ 4 ⎪ E E ⎪ G xE 2 yE 2 ⎧ 4 ⎪ E E ⎪ H xE− 2 yE −2 故 OG⋅ OH 4 4 2 2 12 xE 2 yE xE− 2 yE xE 2 yE xE− 2 yE xE− 4 yE 因为点 E 在双曲线 x 2 4 2 12 xE− 4 yE ⎧ x x 4 y y 4 ⎩ x2 x 4 y2 y 4 解得 xE 4( y2− y1 ) x1 y2− x2 y1 ， yE x1− x2 x1 y2− x2 y1 ． 因 x2≠ x1 ，则直线 MN 的斜率 k− E ． x2− x1 4 yE xE 4 yE 注意到 x1xE 4 y1 yE 4 ，因此直线 MN 的方程为 xE x 4 yE y 4 ． 下同解法一 16