34 数学通讯——2Oo9年第9期(上半月) ·复习参考 ·
活跃在高考中的
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
零点的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
李连方
(浙江湖州 中学 ，313000)
函数和方程 的理论是高 中新课标 教材
中新增的知识点 ，从几年高考的命题来看 ，它
已成为高考命题的一个新亮点．在高中阶段，
函数零点的问题可以和二次 函数 的根 的分
布、三次函数的图象或导数的极值等进行“交
汇”编制
试题
中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载
，所以其试题综合性较强，本文
就函数零点在高中数学中的求解
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
加以
探讨．
1．利用函数图象
例 1 设定义域为 R的函数
)=j F ≠2
}1 (z一2)，
若关于z的方程f。(z)+af(x)+b—p有三
个不 同的实根 1，z2， 。，求 z + 37；+ z；
的值．
分析 设 t一，( )，则原方程可化为 t
+at+b一0，由于原方程有三个不同的根，则
函数 y=t和函数Y一 _厂(z)的图象应该有三
个 交点，则由函数 Y—t的图象得t= 1，注意
到 ( )一 关于直线 z一 2对称 ，则
『工 厶 I
可得到三个根分别为z 一 1，z。一2， 。一3，
所 以 z}+z；+zj一 14．
O I
反思 在“数”中构“形”是数学问题求
解的重要方法 ，也是重要的思维方法．由零点
的概念可知 ，函数 一 厂( 丁)的零点 ㈢ 方程
，( )一0的根 臼 函数 Y一 ( )的图象与 z
轴的交点的横坐标．所以函数零点问题的求
解往往蕴涵着“数形结合”的数学思想方法，
在解决有关函数零点的个数问题时，可以借
助函数的图象的生动和直观性来寻找零点的
个数，通过“形”的几何特征发现“数”与“形”
之间新的关系，从而将代数问题转化为几何
问题．
例2 (2006年湖北卷)关于 的方程
(z 一1) 一} 一1}+k=0，给出下列四个
命题：
① 存在实数 k，使得方程恰有 2个不同
的实根；
② 存在实数 k，使得方程恰有 4个不同
的实根；
③ 存在实数k，使得方程恰有 5个不同
的实根；
④ 存在实数 k，使得方程恰有 8个不同
的实根．
其中真命题的序号是 ．
分析 据题意 ，可令
f z 一1 J—t(t≥0) ①
则方程化为
一 t+k一 0 ②
作出函数Y— f 。一1 I的图象，结合函
数的图象可知 ：
(1)当￡=0或t>1时，方程 ①有 2个
不等的根；
(2)当0
2c>2b，求证：
厶
函数 厂(z)在区间(O，2)内至少有一个零点．
· 分析 由 厂(1)一一 一得 口+b+ c=
‘
一
，化简得 3a-4--2c+ 2b一 0．
厶
由于 3口> 2c> 26，则必有 口> 0，厂(1)
< 0．
又 f(O)一 f，
f(2)= 4a+2b+c— a～c．
若 f≤0，由于a>0，则 (2)> 0，故有
厂(1)·厂(2)< 0，所 以函数 (z)在区间(1，
2)内至少有一个零点；
若c>0，则 厂(O)>0，故 (0)· (1)<
o，所以函数 厂(z)在区间(O，1)内至少有一
个零点． ．
因此 函数 厂( )在 区间(0，2)内至少有
一 个零点．
反思 在“形”中觅“数”，用数来研究
形，体现数学的严谨性和科学性．教材中给出
了连续函数的零点存在性定理：如果函数 Y
=_厂(z)在区间[n，6]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 ，(口) r(6)< 0，那么函
数 Y=厂(z)在区间(n，6)内有零点．教材虽
然没有给出连续函数的定义，但以通俗易懂
的图象语言
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
述了该定理，降低了定理的抽
象程度，是“以数助形”的典范．
例 4 (2OO6年福建文)已知二次函数
厂( )=2x。一lOx，是否存在自然数m，使得
方程 ，(z)+ ：0在区间( ，m+1)内有
工
且只有两个不等的实数根?若存在，求出所有
m的值；若不存在，说明理由．
分析 由方程 厂(z)十 一 0得 2x 一
lOx +37—0，令 g(z)=2 一lOx。+37，
得其导函数g ( )一 6x 一20x一2x(3x一
1o)，所以当z∈ (一。。，o)U( ，+。。)时，
g ( )> 0，即g(z)在(一Cx。，0)和( ，+cx。)
上递增；当 ∈ (o， )时，g (z)< 0，即
g(z)在(o， )上 减．而g(竽)==：一 1<
0， 的两相邻整数对应的函数值 g(3)一 1
> 0，g(4)：5> 0，由零点存在定理和函数
的单调性可知 ，函数 g( )在(3， )和( ，
4)内各有一个根．
因此所求m 一 3．
3．利用极值与单调性
例 5 (2OO6年福建理)已知函数 厂(z)
一 一 。+8x，g(z)：61nx+ ．问：是否存在
实数m，使得Y一厂(王)的图象与Y—g(．r)的
图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．
分析 函数 Y一 ，(z)的图象与 Y—
g(驯 的图象有且只有三个不同的交点，即方
程 h(z)一 g(z)一 厂(z)一 0有且只有三个
根，则函数 (^z)的图象与 轴的正半轴有且
只有三个不同的交点．
，由h( )= z 一8x+61nx+m(z> O)，
得 ，^( )一2x--8+旦 ：
，
当 z∈ (0，1)U (3，+。。)时 ，h ( )> 0，故
h(z)在(O，1)和(3，+。。)上是增函数；当
∈ (1，3)时，h ( )<0，^( )是减函数．所以
(^ )极大值= h(1)= 一 7，h(z)极小值= h(3)
一 + 61n3— 15．
又因为当z充分接近0时，h( )<0，当
z充分大时，^( )>0．所以要使h(z)的图象
与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只
须 h( )极大值一m一7> 0且h(z)握小值= +
61n3— 15< 0，得 7< < 15— 61n3．
所以，存在实数 t，使得函数 Y一 厂(z)
36 数学通讯一-- 2009年第9期(上半月) ·复习参考 ·
与 ．)，一 g( )的图象有且只有三个不 同的交
点， 的取值范围为(7，15—61n3)．
反思 以形研究数 ，用数研究形 ，相互
结合 ，互为补充，能使问题变得直观、简洁，思
路清晰．但由于众多的函数的图象非常复杂 ，
很难精确地画出其图象，此时必须借助“导
数”这一有力的工具，求出函数的单调性、极
值、最值等，勾画出函数的示意图，正所谓：
“数与形，本是相倚依 ，焉能分作两边飞．
数缺形时少直觉，形少数时难入微”．
例6 已知函数 _厂( )一盯。+ 一3x
在z一±1处取得极值，若过点 P(1， )(m
≠一2)可作函数 Y一 _厂( )的图象的三条切
线，求实数m的取值范围．
分析 易得 ( )一 一3x，其导函数
为f (z)一3x。～3，设其切点坐标为( 。，z；
一 3x。)，得 切线方程 为 一 (zj一 3x。)一
(3x：一3)(z—z。)，将点P(1， )代人得 一
(z：一 3x。)一 (3xj一 3)(1一z。)，化简得
方程
m 一 一2x +3x 一3 ①
则由题意知，方程 ① 有三个根，则可转
化为两函数y= 和Y—g( )一一2z +3z。
一 3的图象有三个不同的交点．
g ( )一一6x +6z一一6x(x～1)，所以
函数 g(z)在(O，1)递增 ，在(一o。，O)和(1，
十。。)递减，所以 g( )极小值一 g(O)一一3，
g( )极大值一 g(1)：一 2，又当 z充分小时 ，
g( )> o，当 z充分大时，g( )< o．所以要
使 y—g( )与Y一埘的图象有三个不同的
交点，必须且只须 一3< ”z<一2．
4．利用二次函数的表达形式
例 7 设二次函数 厂( )一 甜。+ +
c(a>o)，方程 ( )一 一0的两根 1， 2满
1
足0< l 0，．’厂(z)> z．
又厂(z)一 1===( — 1)[以( — 2)+
1
1]，而 0< z1<。 2< ，
所以，当 ∈ (0，X1)时， —z1< 0，
n( —z2)+1：aEx+(1--一z2)]>0，
故 厂( )一z1< 0，从而 厂(z)< z1．
所以有 < (z)< ．
反思 二次函数与方程是高考中永远
的主题，本题巧妙地将二次函数的表现形式
从一般式变为零点式(交点式)，从而顺利地
为作差比较法中的因式分解作 了铺垫．
5．利用参数分离法
例 8 (2oo7年广 东‘理)已知 a是实数，
函数 厂( )：2ax。+2x一3一口，如果函数Y
一 ，( )在区间[一1，1]上有零点，求a的取
值范围．
分析 当a：0时，不符合题意，所以a
≠o，又_厂( )在[一1，1]上有解等价于(2x。一
1)口一 3—2x在[一 1，1J上有解，即土 一
“
在[一1，1]上有解，问题转化为求函
数 一 在[一1，lJ上的值域．
设 t一 3—2x，z∈[一1，1]，则 t∈C1，
5]，y一告(t+÷)一3．
设g(￡)一￡+÷，则g (￡)一1一专，￡∈
[1，√7)时，g (￡)0，此时函数 g(￡)
单调递 增，又 g(1)： 1，g( )= 一 3，
g(5)一{，故Y∈ 一3，1]，所以 ∈
一 3，1]．
所以实数 a的取值范围是 ≥ 1或a≤
3
一T ‘
反思 参数分离法是解决参数取值范
围问题的重要手段，它将函数存在零点问题
合理地转化为函数的值域问题，从而顺利、简
洁地解决了问题．
(收稿 日期 ：2009—04—28)
浙公网安备 33021202002483