2010届高考数学总复习（五年高考）（三年联考）精品题库：第三章 导数及其应用

淘 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 第三章 导数及其应用 第一部分 五年高考荟萃 A组 • 2009年高考题 一、选择题 1.(2009年广东卷.文)函数 的单调递增区间是 ( ) A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D 解析 ,令 ,解得 ,故选D 2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线 相切，则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B 解:设切点 ，则 ,又 .故答案 选B 3.（2009安徽卷理）已知函数 在R上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由 得几何 ， 即 ，∴ ∴ ，∴切线方程 ，即 选A 4.（2009江西卷文）若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于 ( ) A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 答案 A 解析 设过 的直线与 相切于点 ，所以切线方程为 即 ，又 在切线上，则 或 ， 当 时，由 与 相切可得 ， 当 时，由 与 相切可得 ，所以选 . 5.（2009江西卷理）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为 ( ) A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D． 答案 A 解析 由已知 ，而 ，所以 故选A 力。 6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解 , 故切线方程为 ,即 故选B. 7.（2009湖南卷文）若函数 的导函数在区间 上是增函数， 则函数 在区间 上的图象可能是 ( ) A ． B． C． D． 解析 因为函数 的导函数 在区间 上是增函数，即在区间 上各点处的斜率 是递增的，由图易知选A. 注意C中 为常数噢. 8.（2009辽宁卷理）若 满足2x+ =5, 满足2x+2 (x－1)=5, + ＝ ( ) A. B.3 C. D.4 答案 C 解析 由题意 ① ② 所以 , 即2 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2 9.（2009天津卷理）设函数 则 ( ) A在区间 内均有零点。 B在区间 内均无零点。 C在区间 内有零点，在区间 内无零点。 D在区间 内无零点，在区间 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析 由题得 ，令 得 ；令 得 ； 得 ，故知函数 在区间 上为减函数，在区间 为增函数，在点 处有极小值 ；又 ，故选择D。 二、填空题 10.（2009辽宁卷文）若函数 在 处取极值，则 解析 f’(x)＝ f’(1)＝ ＝0 a＝3 答案 3 11.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是 . 解析 解析 由题意该函数的定义域 ，由 。因为存在垂直于 轴的切线，故此时斜率为 ，问题转化为 范围内导函数 存在零点。 解法1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点。当 不符合题意，当 时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当 如图2，此时正好有一个交点，故有 应填 或是 。 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，显然可得 12.（2009江苏卷）函数 的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 由 得单调减区间为 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内， 点P的坐标为（-2，15） 答案 : 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 14.（2009福建卷理）若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________. 答案 解析 由题意可知 ，又因为存在垂直于 轴的切线， 所以 。 15.(2009陕西卷理)设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为 . 答案 -2 16.（2009四川卷文）设 是已知平面 上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为 。若映射 满足：对所有 及任意实数 都有 ，则 称为平面 上的线性变换。现有下列命题： ①设 是平面 上的线性变换， ，则 ②若 是平面 上的单位向量，对 ，则 是平面 上的线性变换； ③对 ，则 是平面 上的线性变换； ④设 是平面 上的线性变换， ，则对任意实数 均有 。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④ 解析 ①：令 ，则 故①是真命题 同理，④：令 ，则 故④是真命题 ③：∵ ，则有 是线性变换，故③是真命题 ②：由 ，则有 ∵ 是单位向量， ≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 17.（2009宁夏海南卷文）曲线 在点（0,1）处的切线方程为 。 答案 解析 ，斜率k＝ ＝3，所以，y－1＝3x，即 三、解答题 18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） 设函数 在两个极值点 ，且 （I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域； (II)证明： 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 （I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。 由题意知方程 有两个根 则有 故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点 的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。 解析 由题意有 ．．．．．．．．．．．．① 又 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 消去 可得 ． 又 ，且 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ． （I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值； （II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得 又 ，解得 ， 或 （Ⅱ）函数 在区间 不单调，等价于 导函数 在 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数 在 上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得： ，解得 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数 . （Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值； （Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ） , ∵曲线 在点 处与直线 相切， ∴ （Ⅱ）∵ , 当 时， ，函数 在 上单调递增， 此时函数 没有极值点. 当 时，由 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， ∴此时 是 的极大值点， 是 的极小值点. 21.（2009北京理）（本小题共13分） 设函数 （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ） , 曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）由 ，得 ， 若 ，则当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 若 ，则当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 ，则当且仅当 ， 即 时，函数 内单调递增， 若 ，则当且仅当 ， 即 时，函数 内单调递增， 综上可知，函数 内单调递增时， 的取值范围是 . 22.(2009山东卷文)（本小题满分12分） 已知函数 ,其中 （1）当 满足什么条件时, 取得极值? （2）已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出 的取值范围. 解: (1)由已知得 ,令 ,得 , 要取得极值,方程 必须有解, 所以△ ,即 , 此时方程 的根为 , , 所以 当 时, x (-∞,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当 时, x (-∞,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞) f’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当 满足 时, 取得极值. (2)要使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立. 即 恒成立, 所以 设 , , 令 得 或 (舍去), 当 时, ,当 时 , 单调增函数; 当 时 , 单调减函数, 所以当 时, 取得最大,最大值为 . 所以 当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间 上单调递增,当 时 最大,最大值为 ,所以 综上,当 时, ; 当 时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22.设函数 ，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析 （I） 由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数； 当 时， ，故 在区间 是减函数； 当 时， ，故 在区间 是增函数。 综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数。 （II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。 由假设知 即 解得 11时, 当x变化时， 与 的变化情况如下表： x + － + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 。 ②当 时， 此时有 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为R ③当 时， 同理可得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 综上： 当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ； 当 时，函数 的单调增区间为R； 当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 . (Ⅱ)由 得 令 得 由（1）得 增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在处 取得极值，故M（ ）N（ ）。 观察 的图象，有如下现象： ①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线 在点P处切线的斜率 之差Kmp- 的值由正连续变为负。 ②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－ 的m正负有着密切的关联； ③Kmp－ =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－ 的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线 在点 处的切线斜率 ； 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－ =0时，解得 直线MP的方程为 令 当 时， 在 上只有一个零点 ，可判断 函数在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。 当 时， . 所以存在 使得 即当 MP与曲线 有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2. （2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二： （1）同解法一. （2）由 得 ，令 ，得 由（1）得的 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数在处取得极值。故M( ).N( ) (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线 有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点. 因为函数 为三次函数,所以 至多有三个零点,两个极值点. 又 .因此, 在 上有零点等价于 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 内有两不相等的实数根. 等价于 即 又因为 ,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2. 36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分） 设 ，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。 (2)求a的值，并讨论f（x）的单调性； (1)证明：当 解析 （Ⅰ） .有条件知， ，故 . ………2分 于是 . 故当 时， ＜0； 当 时， ＞0. 从而 在 ， 单调减少，在 单调增加. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 在 单调增加，故 在 的最大值为 ， 最小值为 . 从而对任意 ， ，有 . ………10分 而当 时， . 从而 ………12分 37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)= x －ax+(a－1) ， 。 （1）讨论函数 的单调性； （2）证明：若 ，则对任意x ，x ，x x ，有 。 解析 (1) 的定义域为 。 2分 （i）若 即 ,则 故 在 单调增加。 (ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ; 当 及 时， 故 在 单调减少，在 单调增加。 (iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加. (II)考虑函数 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解析 ，由 在 处有极值 可得 解得 或 若 ，则 ，此时 没有极值； 若 ，则 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 1 0 + 0 极小值 极大值 当 时， 有极大值 ，故 ， 即为所求。 （Ⅱ）证法1： 当 时，函数 的对称轴 位于区间 之外。 在 上的最值在两端点处取得 故 应是 和 中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为 ，所以函数 的对称轴 位于区间 之外， 在 上的最值在两端点处取得。 故 应是 和 中较大的一个 假设 ，则 将上述两式相加得： ，导致矛盾， （Ⅲ）解法1： （1）当 时，由（Ⅱ）可知 ； （2）当 时，函数 ）的对称轴 位于区间 内， 此时 由 有 ①若 则 ， 于是 ②若 ，则 于是 综上，对任意的 、 都有 而当 时， 在区间 上的最大值 故 对任意的 、 恒成立的 的最大值为 。 解法2： （1）当 时，由（Ⅱ）可知 ； （2）当 时，函数 的对称轴 位于区间 内， 此时 ，即 下同解法1 43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） 已知函数 . (1)​ 设 ，求函数 的极值； (2)​ 若 ，且当 时， 12a恒成立，试确定 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （21）解析 （Ⅰ）当a=1时，对函数 求导数，得 令 列表讨论 的变化情况： （-1，3） 3 + 0 — 0 + 极大值6 极小值-26 所以， 的极大值是 ，极小值是 （Ⅱ） 的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若 上是增函数，从而 上的最小值是 最大值是 由 于是有 由 所以 若a>1,则 不恒成立. 所以使 恒成立的a的取值范围是 44.（2009天津卷理）（本小题满分12分） 已知函数 其中 (1)当 时，求曲线 处的切线的斜率； (2)当 时，求函数 的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。 （I）解析 （II） 以下分两种情况讨论。 （1） ＞ ，则 ＜ .当 变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2） ＜ ，则 ＞ ，当 变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 45.（2009四川卷理）（本小题满分12分） 已知 函数 。 （I）求函数 的定义域，并判断 的单调性； （II）若 （III）当 （ 为自然对数的底数）时，设 ，若函数 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数 的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析 （Ⅰ）由题意知 当 当 当 ….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知 >0,因为n是正整数，故00, 1036时，V′>0, 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分 第二部分 三年联考汇编 A组 • 2009年联考题 一、选择题 1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则 函数 的零点所在的区间是 （ ） A． B． C． D． 答案 C 2.（2009天津重点学校二模）已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 时不等式 成立， 若 ， ，则 的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 答案 C 3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数 的导数 的图像，则 （ ） A. B. C. D. 或 答案 B 4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 答案 B 二、填空题 5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表, 为f(x)的导函数，函数 的图象如右图所示，若两正数a，b满足 ，则 的取值范围是　 　． 答案 6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数 (c＜0)单调递增区间是 . 答案 三、解答题 7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数 ，其中 为实数. (Ⅰ) 若 在 处取得的极值为 ，求 的值; （Ⅱ）若 在区间 上为减函数，且 ，求 的取值范围. 解 (Ⅰ)由题设可知: 且 ， ……………… 2分 即 ，解得 ……………… 4分 （Ⅱ） ， ……………… 5分 又 在 上为减函数， 对 恒成立， ……………… 6分 即 对 恒成立. 且 ， ……………… 10分 即 ， 的取值范围是 ……………… 12分 8.（2009厦门大同中学）设函数 （1）求函数 的极大值； （2）若 时，恒有 成立（其中 是函数 的导函数）， 试确定实数a的取值范围 ． 解 （1）∵ ，且 ，………………………………1分 当 时，得 ；当 时，得 ； ∴ 的单调递增区间为 ； 的单调递减区间为 和 ．…………………………………3分 故当 时， 有极大值，其极大值为 ． …………………4分 （2）∵ ， 当 时， ， ∴ 在区间 内是单调递减．…………………………………………6分 ∴ ． ∵ ，∴ 此时， ．…………………………………………………………………………9分 当 时， ． ∵ ，∴ 即 ……11分 此时， ．……………………………………………………………13分 综上可知，实数 的取值范围为 ．………………………………… 14分 B组 • 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 （ ）w. A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 答案 A 2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若 存在，则 不可 能为 （ ） A． ；　　　　　 Ｂ． ；　　　　 Ｃ． ；　　　　 　Ｄ． ； 答案 B 3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数 的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( ) A． B． C． D． 答案 C 4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( ) A．－4 B．8 C．0 D．不存在 答案 B 5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数 的导函数 的图像如下，则 （ ） A．函数 有1个极大值点，1个极小值点 B．函数 有2个极大值点，2个极小值点 C．函数 有3个极大值点，1个极小值点 D．函数 有1个极大值点，3个极小值点 答案 A 二、填空题 6.（2008年高考数学各校月考）定积分 的值是 . 答案 3 7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数 在 x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________； 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0 答案 m＝2，n＝9. 解析 ＝3x2＋6mx＋n 由题意， ＝3－6m＋n＝0 f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0 解得 或 但m＝1，n＝3时， ＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立 即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去 8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数 的图象， 为函数 的导函数，则不等式 的解集为______ ______． 答案 三、解答题 8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R） （1）写出此函数F(x)在R上的单调区间； （2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。 解 （1） ∴ 由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立 ∴ i) 当 <－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1> ≥－1时，F(x)在区间(－∞， )上是减函数 在区间( ，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当 ≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数 （2）由（1）可知 i) 当 <－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解， 此时m=－1－t或m=3－t ii) 当－1≤ <1，F(x)在x= 处取值为 ， 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解， 此时m= 或m=3－t 9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数 是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴 的上方，对任意的 ，都有 ，且 ，又当 时，其导函数 恒成立。 （Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值； （Ⅱ）解关于x的不等式： ，其中 解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0 ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………3分 ∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 …………………3分 (2) 又当 时，其导函数 恒成立，∴ 在区间 上为单调递增函数 ∴ ①当 时， ； ②当 时， ，∴ ； ③当 时， ，∴ 综上所述：当 时， ；当 时， ； 当 时， 。