第七章 不等式 第七章 不等式 第一节 简单不等式及其解法 一、选择
题
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1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 A.p: ＞b+d , q: ＞b且c＞d B.p:a＞1,b>1 q: 的图像不过第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a＞1, q: 在 上为增函数 答案 A 解析 由 ＞b且c＞d ＞b+d，而由 ＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A。 2.（2009安徽卷文）“ ”是“ 且 ”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得 时必有 .若 时，则可能有 ，选A。 3.（2009四川卷文）已知 ， ， ， 为实数，且 ＞ .则“ ＞ ”是“ － ＞ － ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若 － ＞ － 和 ＞ 都成立，则同向不等式相加得 ＞ 即由“ － ＞ － ” “ ＞ ” 4.（2009天津卷理） ,若关于x 的不等式 ＞ 的解集中的整数恰有3个，则 A. B. C. D. 答案 C 5.（2009四川卷理）已知 为实数，且 。则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7） 答案 B 解析 推不出 ；但 ，故选择B。 解析2：令 ，则 ；由 可得， 因为 ，则 ，所以 。故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。 6.（2009重庆卷理）不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 因为 对任意x恒成立，所以 二、填空题 7.（2009年上海卷理）若行列式 中，元素4的代数余子式大于0， 则x满足的条件是________________________ . 答案 解析 依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： 三、解答题 8.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单 价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度 为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 . 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的 单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与 卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为 (1)求 和 关于 、 的
表
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达式；当 时，求证： = ； (2)设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。 (1) 当 时， , , = （2）当 时， 由 ， 故当 即 时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。 （3）（
方法
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一）由（2）知： = 由 得： ， 令 则 ，即： 。 同理，由 得： 另一方面， 当且仅当 ，即 = 时，取等号。 所以不能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立。 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 2005--2008年高考题 一、选择题 1.（2008天津）已知函数 ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 答案 A 2.（2008江西）若 ，则下列代数式中值最大 的是 （ ） A． B． C． D． 答案 A 3.（2008浙江）已知 ，b都是实数，那么“ ”是“ >b”的（ ） A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 4.（2008海南）已知 ，则使得 都成立的 取值范 围是 （ ） A.（0， ） B. （0， ） C. （0， ） D. （0， ） 答案 B 5、（2008山东）不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除B;由 符合可排除C;由 排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。 答案D 6、（2007广东）设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 解析 利用赋值法：令 排除A,B,C,选D 答案 D 7、（2007湖南）．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 答案 D 8．（2007福建）已知集合A＝ ，B＝ ，且 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． a<1 C． D．a>2 答案 C 9．(2007安徽)若对任意 R,不等式 ≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ） (A)a＜-1 (B) ≤1 (C) ＜1 D.a≥1 答案 B 10．(2007浙江)“x＞1”是“x2＞x”的 （ ） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案 A 11．（2007湖南）1．不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 答案D 12．（2007广东）．已知集合M={x|1+x>0}，N={x| >0}，则M∩N= （ ） A．{x|-1≤x＜1 B．{x|x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x≥-1} 答案C 13．（2006安徽）不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 答案 D 解：由 得： ，即 ，故选D 14．（2006山东）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2） （3，+∞） (B)（ ，+∞） (C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2） 答案 C 15、（2006江西）若a0，b0，则不等式－b a等价于（ ） A． x0或0x B.－ x C.x- 或x D.x 或x 答案 D 解析 故选D 16．(2006上海)如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 答案 A 解析 如果 ，那么 ，∴ ，选A. 答案A 17．（2006上海春）若 ，则下列不等式成立的是( ) A. . B. . C. .D. . 答案 C 解析 应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D．故应该选C．显然 ，对不等式a>b的两边同时乘以 ，立得 成立 18．（2006年陕西）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为 （ ） （Ａ）8 （Ｂ）6 C.4 D.2 答案D 19．（2005福建）不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 答案 A 20. （2005辽宁）在R上定义运算 若不等式 对任意实数 成立，则 （ ） A． B． C． D． 答案 C 21. （2005山东） ，下列不等式一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 答案 A 2、 填空题 22、（2008上海）不等式 的解集是 ． 答案 （0，2） 23.（2008山东）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 . 答案 （5，7）. 24.（2008江西）不等式 的解集为 ． 答案 25．（2007北京）已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值范围是 （2，3） ． 26．（2006江苏）不等式 的解集为 【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法 答案 解析 ，0〈 ， . 解得 27.（2006浙江）不等式 的解集是 。. 答案 x－1或x2 解析 （x＋1）（x－2）0x－1或x2. 28.（2006上海）不等式 的解集是 . 答案 ． 解析 应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是 ，所以 ，从而应填 ． 三、解答题 29.（2007北京）记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． （I）若 ，求 ； （II）若 ，求正数 的取值范围． 解：（I）由 ，得 ． （II） ． 由 ，得 ，又 ，所以 ， 即 的取值范围是 ． 30．（2007湖北）已知m，n为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx； （Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n； （Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n. 解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. (i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立； （ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立. (Ⅱ)证：当 而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假设存在正整数 成立， 即有（ ）+ ＝1. ② 又由（Ⅱ）可得 （ ）+ + 与②式矛盾， 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可
分析
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出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3. 第二部分 三年联考题汇编 2009年联考题 一、选择题 1、（山东省乐陵一中2009届高三考前练习）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是 （ ） A . B. C. D. 答案 C 2.若 ，则(安徽省示范高中皖北协作区2009届高三第一次联考试题)下列 不等式中正确的是 （ ） A B C D 答案 D 3．（福建省福州市普通高中09年高三质量检查）已知 ，则不等式 的解集是 （ ） A．（—2，0） B． C． D． 答案 C 4．（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测）不等式 的解集为 A． B． C． D． 答案 C 5. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元. 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为 元，则 （ ） A． B． C． D． 大小不确定 答案 A 6．(北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)设 R， 且 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 答案 D 7.(北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件：① = · （ ）；② ；③ 。若 ，则使 成立的x的取值范围是 A.（ ， ）∪（ ，+∞ ） B.（ ， ） C.（－∞， ）∪（ ，+∞ ） D.（ ，+∞ ） 答案 B 8、（2009福州三中理）已知互不相等的正数a、b、c满足 ，则下列不等在中 可能成立的是 （ ） A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 答案 B 9、（2009龙岩一中理）若不等式 的解集为非空集合，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 C 10、（2009龙岩一中文）已知a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A．a2>b2 B．( ) a <( )b C．lg(a－b)>0 D． >1 答案 B 11、（2009泉州市） 答案 D 12、（2009广州一模）已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的解集是R，q：－1
ac是b>c的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案 D 4、(2008江苏省启东中学高三综合测试四)不等式 ≥1的解集为 ( ) A． B． C． D． 答案 C 5、(2008江西省五校2008届高三开学联考)设 , 则对任意正整数 , 都成立的是 A． B． C． D． 答案 C . 故应选C 6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设 ，那么( ) A. B. C。 D. 答案 C 7、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知 满足 ，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A． ； B. ； C. ； D. ； 答案 C 8、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)不等式 的解集为（ ） A. ； B. ； C. ； D. 答案 D 9、(北京市十一学校2008届高三数学
练习题
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)已知函数 为 上的连续函数且存在反函数 ，若函数 满足下表： 2 3 1 2 3 5 那么，不等式 的解集是 （ ） A. B. C. D. 答案 A 10、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知 则不等式 的解集为 （ ） A B C D 答案 D 11、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如果a>b，给出下列不等式： （1） < (2) a3>b3 (3) a2+1>b2+1 (4) 2 >2 其中成立的是 （ ） A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D. (2)(4) 答案 D 12、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)在R上定义运算 若 不等式 对任意实数 成立，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 13、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 答案 A
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