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向量的线性独立与线性相依

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向量的线性独立与线性相依 向量的線性獨立與線性相依 第一頁 基本定理(一):存在性 若 ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 為坐標平面上不平行的兩向量,O D′ ⇀ 為坐標平面上的任意向量 試證:存在 x,y ;R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ pf: ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 不平行即O′ ,E,F 三點不共線,又O D′ ⇀ 為平面上的任意向量即 D 為平面上的任...

向量的线性独立与线性相依
向量的線性獨立與線性相依 第一頁 基本定理(一):存在性 若 ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 為坐標平面上不平行的兩向量,O D′ ⇀ 為坐標平面上的任意向量 試證:存在 x,y ;R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ pf: ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 不平行即O′ ,E,F 三點不共線,又O D′ ⇀ 為平面上的任意向量即 D 為平面上的任意一點 case1:當 D=O′時,取 x=0,y=0 滿足 0O D xO E yO F′ ′ ′= + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ case2:當 D O′≠ 時 (1)當 D 在O E ↔ ′ 直線上時,則O D′ ⇀ 平行O E′ ⇀ ⇒存在 Rt∈ 滿足O D tO E′ ′= ⇀⇀ 取 x=t,y=0 即可滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ 同理 D 在O F ↔ ′ 直線上時,也存在 x,y R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ (2)D 不在直線O E ↔ ′ 與直線O F ↔ ′ 上時 過 D 恰可作一直線與O E ↔ ′ 平行,並交O F ↔ ′ 於F ′點 過 D 恰可作一直線與O F ↔ ′ 平行,並交O E ↔ ′ 於E′點 由平行四邊形性質得知:O D O E O F′ ′ ′ ′ ′= + ⇀ ⇀⇀ 且存在 t,s∈R 滿足 , ,O E tO E O F sO F′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 即O D O E O F tO E sO F′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀ ,取 x=t,y=s 便可滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ 由上述討論得知:恒存在 x,y R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ 基本定理(二):唯一性 ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 為不平行的兩個向量且 x,y, ,x y R′ ′∈ 若O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ = x O E y O F′ ′ ′ ′+ ⇀ ⇀ 則必 x=x/,y=y/ pf:O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ = x O E y O F′ ′ ′ ′+ ⇀ ⇀ ( ) ( )x x O E y y O F′ ′ ′ ′⇒ − = − ⇀ ⇀ 設 x x′≠ ⇒ / / y y O E O F x x −′ ′= ⇒ − ⇀ ⇀ //O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 與已知 ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 不平行矛盾 所以 x=x/ 同理可證 y=y/ 結論:當 ,O E O F′ ′ ⇀ ⇀ 兩向量不平行時,平面上的任意向量O D′ ⇀ 都可寫成O E′ ⇀ 與O F′ ⇀ 的線性組合且寫法唯一。 即 ( , , )O O E O F′ ′ ′ ⇀ ⇀ 形成一個新坐標系,其中O′為原點。 O E′ ⇀ 的方向即為 /x 軸的正向,O E′ ⇀ 的長度 | |O E′ ⇀ 即為 /x 軸的單位長。 O F′ ⇀ 的方向即為 /y 軸的正向,O F′ ⇀ 的長度 | |O F′ ⇀ 即為 /y 軸的單位長。 O D xO E yO F′ ′ ′= + ⇀ ⇀ ⇀ 代表 D 點在新坐標系 ( , , )O O E O F′ ′ ′ ⇀ ⇀ 的坐標為(x,y) note:當 ,OE OF ⇀ ⇀ 兩向量不平行時則必 0OE ≠ ⇀ ⇀ 且 0OF ≠ ⇀ ⇀ ,因為 0 ⇀ 平行於任意向量也。 向量的線性獨立與線性相依 第二頁 基本定理(三): 已知 ,OE OF ⇀ ⇀ 兩向量不平行,若 0xOE yOF+ = ⇀⇀ ⇀ 則 x=0 且 y=0 pf:設 ⇒≠ 0x yOE OF x − = ⇒ ⇀ ⇀ //OE OF ⇀ ⇀ →← (矛盾),,同理可證 0≠y 也矛盾 ,所以 x=y=0 NOTE:基本定理(二)與基本定理(三)二者等價(互為充要條件) ex1:試舉出一例說明:OD ⇀ 可以寫成 ,OE OF ⇀ ⇀ 的線性組合,但表示法不唯一。即OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ 其中實數對(x,y)有無限多解。 解:設OE ⇀ =(1,2),OF ⇀ =(2,4),OD ⇀ =(5,10),則OD ⇀ =xOE ⇀ +yOF ⇀ =(5,10)=(x,2x)+(2y,4y) ⇒     += += yx yx 25 4210 即     −= = tx ty 25 ,t R∈ 都是解 ex2:試舉出一例說明:OD ⇀ 不能寫成 ,OE OF ⇀ ⇀ 的線性組合。即OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ 其中實數對(x,y)無解。 解:設OE ⇀ =(1,3),,OF ⇀ =(2,6),,OD ⇀ =(8,3)則OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ =(8,3)=(x,3x)+(2y,6y) ⇒     += += yx yx 28 633 yx,⇒ 無解 基本定理(四): ,OE OF ⇀ ⇀ 為平面上不平行的兩向量且OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ 試證: D,E,F 三點共線 ⇔ x+y=1 pf:(1)(⇒ ) D,E,F 三點共線則必存在唯一實數 t∈R,滿足ED ⇀ =tEF ⇀ ⇔ OD OE− ⇀⇀ =t(OF OE− ⇀ ⇀ ) ⇒ OD ⇀ = (1 )t OE tOF− + ⇀ ⇀ ,又OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ 因為OE ⇀ 與OF ⇀ 為不平行的兩向量,由基本定理(二):唯一性,知 x=1-t,y=t 1)1( =+−=+⇒ ttyx 成立 (2)(⇐ ) 當 x+y=1⇒x=1-y 代入OD xOE yOF= + ⇀ ⇀⇀ ⇒ (1 )OD y OE yOF= − + ⇀ ⇀⇀ ⇒ OD ⇀ =OE ⇀ +y(OF ⇀ -OE ⇀ )=OE y EF+ ⇒ ⇀ ⇀ OD OE− = ⇀⇀ y EF ⇒ ⇀ ED = ⇀ y EF ⇀ ⇒ ED ⇀ //EF ⇀ ⇒D,E,F 相異三點共線 向量的線性獨立與線性相依 第三頁 定義一: ,a b ⇀ ⇀ 為二個向量,若存在實數 x,y 滿足 0x a y b+ = ⇀ ⇀ ⇀ 且 x,y 不全為零 則稱 ,a b ⇀ ⇀ 二個向量線性相依。 定義二: , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 為三個向量,若存在實數 x,y,z 滿足 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 且 x,y,z 不全為零 則稱 , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三個向量線性相依。 定義三:x,y R∈ 若 0x a y b+ = ⇀ ⇀ ⇀ 則必 x=y=0 稱 ,a b ⇀ ⇀ 二個向量線性獨立。 定義四:x,y,z R∈ 若 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 x=y=z=0 稱 , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三個向量線性獨立。 定義五: 1 2 3, , ,......., nx x x x R∈ 若 1 1 2 2 3 3 1 ....... 0 n i i n n i x a x a x a x a x a = = + + + + =∑ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 1 2 3 ....... 0nx x x x= = = = = 稱 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 這 n 個向量線性獨立。否則稱 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 這 n 個向量線性相依。 NOTE:定義五已包含了定義一,二,三,四矣。 定理一:零向量 0 ⇀ 與任何向量 a ⇀ 一定線性相依。 pf: 0 0x y a+ = ⇀ ⇀ ⇀ ,取 x=7,y=0 由定義五知 0 ⇀ 與 a ⇀ 二向量線性相依。 定理二: 1 2 30, , , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀ 這 n+1 個向量一定線性相依。 pf:略。 定理三: 1 2 3, , ,..., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依⇔ 其中一個向量可以寫成另 n-1 個向量的線性組合 pf:(⇒ ) 1 2 3, , ,..., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 此 n 個向量線性相依 則必存在 1 2 3, , ,...., nx x x x R∈ 滿足 1 1 2 2 3 3 ....... 0n nx a x a x a x a+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 且 1 2 3, , ,..., nx x x x 不全為零 設 1 0x ≠ 則必 32 41 1 1 11 2 3 4 ....... n x xx x nx x x x a a a a a − −− −= + + + + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ (⇐ ) 設 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3....... ( 1) ....... 0n n n na x a x a x a a x a x a x a= + + + ⇒ − + + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 1 2 3, , ,..., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 特例: ,a b ⇀ ⇀ 二個向量線性相依⇔ 其中一個向量可以寫成另一個向量的 t 倍⇔ //a b ⇀ ⇀ 定理四: 1 2 3, , ,..., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立⇔ 其中任一個向量不可以寫成另 n-1 個向量的線性組合。 pf:定理四與定理三是一體兩面。 特例: ,a b ⇀ ⇀ 二個向量線性獨立⇔ 其中任一個向量不可以寫成另一個向量的 t 倍 ⇔ ,a b ⇀ ⇀ 兩向量不平行 向量的線性獨立與線性相依 第四頁 定理五: 1 2 1 2( , ), ( , )a a a b b b= = ⇀ ⇀ 二向量線性相依 ⇔ 1 2 1 2 0 a a b b = ⇔ ,a b ⇀ ⇀ 二向量展開之平行四邊形的面積為零 pf:易,自己證。 定理六: 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c= = = ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性相依 ⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 a a a b b b c c c = ⇔ , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三向量展開之平行六面體的體積為零 pf:由 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇔ 1 1 1 3 3 3 02 2 2 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z + + =  + + =   + + = , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性相依⇔ 存在 x,y,z 不全為零,滿足 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇔ 1 1 1 3 3 3 02 2 2 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z + + =  + + =   + + = 有非零解⇔ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 a b c a b c a b c = ⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 a a a b b b c c c = 定理七: n度空間中的 n 個向量 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 ⇔ n 階行列式 1 2 3( , , ,...., ) 0nF a a a a = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ (詳見後面的 n 階行列式單元) ⇔ n 個向量 1 2 3, , ,......., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 展開之平行 2n 面體的體積為零 定理八:(1) 1 2 1 2( , ), ( , )a a a b b b= = ⇀ ⇀ 二向量線性獨立⇔ 1 2 1 2 0 a a b b ≠ (2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c= = = ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性獨立⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 a a a b b b c c c ≠ Pf:pf:由 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇔ 1 1 1 3 3 3 02 2 2 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z + + =  + + =   + + = , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性獨立⇔ 0x a y b z c+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 x=y=z=0 ⇔ 1 1 1 3 3 3 02 2 2 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z + + =  + + =   + + = 恰有一解(x=y=z=0)⇔ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 a b c a b c a b c ≠ ⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 a a a b b b c c c ≠ (3) n度空間中的 n 個向量 1 2 3, , ,......., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立⇔ n 階行列式 1 2 3( , , ,...., ) 0nF a a a a ≠ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 向量的線性獨立與線性相依 第五頁 例題 1: 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y 三點共線⇔ ,AB AC ⇀ ⇀ 二向量展開之平行四邊形的面積為零 ⇔ ,AB AC ⇀ ⇀ 二向量平行⇔ ,AB AC ⇀ ⇀ 二向量線性相依 ***但不能說 ,AB AC ⇀ ⇀ 二向量共線*** 例題 2: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z D x y z 四點共面 ⇔ , ,AB AC AD ⇀ ⇀ ⇀ 三向量展開之平行六面體的體積為零 ⇔ , ,AB AC AD ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性相依 ***但不能說 , ,AB AC AD ⇀ ⇀ ⇀ 三向量共平面***有的課本真是讓人失望 定理九: 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依⇒ 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 Pf: 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 則必存在 ( 1~ )ix i n= 不全為零,滿足 1 1 2 2 3 3 ....... 0n nx a x a x a x a+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 1 1 2 2 3 3 1....... 0 0n n nx a x a x a x a a ++ + + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 其中 ( 1~ )ix i n= 不全為零 則必 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 定理十: 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立⇒ 1 2 3, , ,..............., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立 Pf:本命題乃定理九的否逆命題。 定理十一:三度空間中的任何四個向量一定線性相依。 試證: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c d d d d= = = = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 四向量一定線性相依。 :pf case1: , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性相依則必 , , ,a b c d ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 四向量線性相依 case2: , ,a b c ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性獨立則必 1 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 0 0 a a a a b c b b b a b c c c c a b c ≠ ⇒ ≠ 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = + + =  ⇒   + + =  恰有一實數解⇒ d x a y b z c= + + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 恰有一實數解 ⇒ ( 1) 0x a y b z c d+ + + − = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 恰有一實數解 ⇒ , , ,a b c d ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 四向量線性相依。 定理十二:n 度空間中的任何 n+1 個向量一定線性相依。 即 n 度空間中有 m 個向量線性獨立則必m n≤ 向量的線性獨立與線性相依 第六頁 定義六: 1 1 2 2 3 3 1 2 3{ ....... | , ,....., }n n nV x a x a x a x a x x x x R= + + + + ∈ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 叫 1 2 3, , ,...., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 等 n 個向量所展開的 向量空間。 定理十三: 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b= = ⇀ ⇀ 線性獨立則 1 2 3 1 2 3 0 x y z a a a b b b = 就是 ,a b ⇀ ⇀ 兩向量展開之向量空間的方程式(平面方程式)。 Pf:令 { | , }V a b Rα β α β= + ∈ ⇀ ⇀ ,, 1 2 3 1 2 3 { ( , , ) | , , , 0} x y z T c x y z x y z R a a a b b b = = ∈ = ⇀ 1 1 2 2 3 3( , , )c V c a b a b a b a bα β α β α β α β∈ ⇒ = + = + + + ⇀ ⇀⇀ ⇀ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b α β α β α β+ + + ⇒ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 b b b a a a b b b β β β = = c T⇒ ∈ ⇀ ……..(1) ( , , )c x y z T= ∈ ⇒ ⇀ 1 2 3 1 2 3 0 , , x y z a a a c a b b b b = ⇒ ⇀ ⇀ ⇀ 三向量線性相依且 ,a b ⇀ ⇀ 線性獨立 ⇒存在不全為零的實數 , ,α β γ 滿足 0a b cα β γ+ + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 若 0γ = ⇒ 0 0 0 0,, 0a b c a bα β α β α β+ + = ⇒ + = ⇒ = = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 矛盾 所以 0γ ≠ ⇒ c a b c a bβαγ γγ α β −−= − − ⇒ = + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ c V⇒ ∈ ⇀ …….(2) 由(1)(2)知V T= 定理十四: 1 2 3 1, , ,..., na a a a − ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 為 n 度空間(n 4≥ )中線性獨立的 n-1 個向量則 1 2 3 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 3 1,1 1,2 1,3 1, .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. n n n n n n n n x x x x a a a a a a a a a a a a a a a− − − − = 就是 1 2 3 1, , ,..., na a a a − ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ n-1 個向量展開之向量空間 的方程式( 叫超平面方程式 )。 定理十五: 1 2 3 1, , ,..., na a a a − ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 為 n 度空間(n 4≥ )中線性獨立的 n-1 個向量則可輕易找到第 n 個向量 na ⇀ 使得 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a− ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 是線性獨立的 n 個向量。 Pf :只要 1 2( , ,......, )n na x x x= ⇀ 代入定理十四的超平面方程式不合就可以了。 向量的線性獨立與線性相依 第七頁 定理十六: 1 2 3, , ,..., na a a a ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 為線性獨立的 n 個向量 (1)若 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3....... .......n n n nx a x a x a x a d y a y a y a y a+ + + + = = + + + + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀ 則必 1 1 2 2, , , ,......., , n nx y x y x y= = = Pf:原式 1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) ....... ( ) 0n n nx y a x y a x y a x y a⇒ − + − + − + + − = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 1 1 2 2 3 30,, 0, , 0, ,............, , 0n nx y x y x y x y⇒ − = − = − = − = 1 1 2 2 3 3, , , , ,............, , n nx y x y x y x y⇒ = = = = (2)若 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 有解則必恰有一解。 Pf: 1 1 2 2 3 3 ....... n na a a a dα α α α+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 成立且 1 1 2 2 3 3 ....... n na a a a dβ β β β+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 1 1 2 2 3 3, , , , ,............, , n nα β α β α β α β= = = = ( 由(1) ) (3)若 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 無解 則必 1 2 3, , ,..., ,na a a a d ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立 Pf :設 1 2 3, , ,..., ,na a a a d ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性相依 ⇒ 1 1 2 2 3 3 ....... 0n na a a a y dβ β β β+ + + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 且 1 2 3, , ,......., ,n yβ β β β 至少有一個不是 0 (i)設 0y = 則必 1 1 2 2 3 3 ....... 0 0n na a a a dβ β β β+ + + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 則必 1 2 3 ....... 0nβ β β β= = = = = 與 1 2 3, , ,......., ,n yβ β β β 至少有一個不是 0 矛盾。 (ii)設 0y ≠ 則必 31 21 2 3 ....... n ny y y yd a a a aβ ββ β − −− −= + + + + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀ 則必 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 有解 與 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + = ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 無解矛盾。由(i)(ii)知 1 2 3, , ,..., ,na a a a d ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 線性獨立 例題 3: (1,2,3)a = ⇀ 試找 ,b c ⇀ ⇀ 使得 a ⇀ ,b c ⇀ ⇀ 三向量線性獨立 解:取 (1,0,0)b = ⇀ 則必 ,a b ⇀ ⇀ 線性獨立(因為 ,a b ⇀ ⇀ 不平行) 欲使 1 2 3( , , )c c c c x a y b= = + ⇀ ⇀ ⇀ 無解即 ( , 2 0 ,3 0 ) ( , 2 ,3 )c x y x y x y x y x x= + + + = + ⇀ 無解 取 (1,2,0)c = ⇀ 即可。此時 a ⇀ ,b c ⇀ ⇀ 三向量線性獨立。 驗證 1 2 3 1 0 0 0 1 2 0 ≠ 例題 4: (1, 2,3,4)a = ⇀ 試找 , ,b c d ⇀ ⇀ ⇀ 使得 a ⇀ , ,b c d ⇀ ⇀ ⇀ 四向量線性獨立 解: 取 (1,0,0,0)b = ⇀ 則必 ,a b ⇀ ⇀ 線性獨立(因為 ,a b ⇀ ⇀ 不平行) 欲使 1 2 3 4( , , , )c c c c c x a y b= = + ⇀ ⇀ ⇀ 無解即 1 2 3 4( , , , ) ( , 2 ,3 , 4 )c c c c c x y x x x= = + ⇀ 無解 取 (0, 2,0,0)c = ⇀ ⇒ a ⇀ ,b c ⇀ ⇀ 三向量線性獨立 欲使 1 2 3 4( , , , ) ( , 2 2 ,3 ,4 )d d d d d x a y b z c x y x z x x= = + + = + + ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 無解,,取 (0,0,3,0)c = ⇀ 驗證 1 2 3 4 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 ≠
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分类:高中数学
上传时间:2011-09-02
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