向量的線性獨立與線性相依 第一頁
基本定理(一):存在性
若 ,O E O F′ ′
⇀ ⇀
為坐標平面上不平行的兩向量,O D′
⇀
為坐標平面上的任意向量
試證:存在 x,y ;R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
pf: ,O E O F′ ′
⇀ ⇀
不平行即O′ ,E,F 三點不共線,又O D′
⇀
為平面上的任意向量即 D 為平面上的任意一點
case1:當 D=O′時,取 x=0,y=0 滿足 0O D xO E yO F′ ′ ′= + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
case2:當 D O′≠ 時
(1)當 D 在O E
↔
′ 直線上時,則O D′
⇀
平行O E′
⇀
⇒存在 Rt∈ 滿足O D tO E′ ′=
⇀⇀
取 x=t,y=0 即可滿足O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
同理 D 在O F
↔
′ 直線上時,也存在 x,y R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
(2)D 不在直線O E
↔
′ 與直線O F
↔
′ 上時
過 D 恰可作一直線與O E
↔
′ 平行,並交O F
↔
′ 於F ′點
過 D 恰可作一直線與O F
↔
′ 平行,並交O E
↔
′ 於E′點
由平行四邊形性質得知:O D O E O F′ ′ ′ ′ ′= +
⇀ ⇀⇀
且存在 t,s∈R 滿足 , ,O E tO E O F sO F′ ′ ′ ′ ′ ′= =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
即O D O E O F tO E sO F′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀
,取 x=t,y=s 便可滿足O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
由上述討論得知:恒存在 x,y R∈ 滿足O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
基本定理(二):唯一性
,O E O F′ ′
⇀ ⇀
為不平行的兩個向量且 x,y, ,x y R′ ′∈
若O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
= x O E y O F′ ′ ′ ′+
⇀ ⇀
則必 x=x/,y=y/
pf:O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
= x O E y O F′ ′ ′ ′+
⇀ ⇀
( ) ( )x x O E y y O F′ ′ ′ ′⇒ − = −
⇀ ⇀
設 x x′≠ ⇒
/
/
y y
O E O F
x x
−′ ′= ⇒
−
⇀ ⇀
//O E O F′ ′
⇀ ⇀
與已知 ,O E O F′ ′
⇀ ⇀
不平行矛盾
所以 x=x/ 同理可證 y=y/
結論:當 ,O E O F′ ′
⇀ ⇀
兩向量不平行時,平面上的任意向量O D′
⇀
都可寫成O E′
⇀
與O F′
⇀
的線性組合且寫法唯一。
即 ( , , )O O E O F′ ′ ′
⇀ ⇀
形成一個新坐標系,其中O′為原點。
O E′
⇀
的方向即為 /x 軸的正向,O E′
⇀
的長度 | |O E′
⇀
即為 /x 軸的單位長。
O F′
⇀
的方向即為 /y 軸的正向,O F′
⇀
的長度 | |O F′
⇀
即為 /y 軸的單位長。
O D xO E yO F′ ′ ′= +
⇀ ⇀ ⇀
代表 D 點在新坐標系 ( , , )O O E O F′ ′ ′
⇀ ⇀
的坐標為(x,y)
note:當 ,OE OF
⇀ ⇀
兩向量不平行時則必 0OE ≠
⇀ ⇀
且 0OF ≠
⇀ ⇀
,因為 0
⇀
平行於任意向量也。
向量的線性獨立與線性相依 第二頁
基本定理(三):
已知 ,OE OF
⇀ ⇀
兩向量不平行,若 0xOE yOF+ =
⇀⇀ ⇀
則 x=0 且 y=0
pf:設 ⇒≠ 0x yOE OF
x
−
= ⇒
⇀ ⇀
//OE OF
⇀ ⇀
→← (矛盾),,同理可證 0≠y 也矛盾 ,所以 x=y=0
NOTE:基本定理(二)與基本定理(三)二者等價(互為充要條件)
ex1:試舉出一例說明:OD
⇀
可以寫成 ,OE OF
⇀ ⇀
的線性組合,但表示法不唯一。即OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
其中實數對(x,y)有無限多解。
解:設OE
⇀
=(1,2),OF
⇀
=(2,4),OD
⇀
=(5,10),則OD
⇀
=xOE
⇀
+yOF
⇀
=(5,10)=(x,2x)+(2y,4y)
⇒
+=
+=
yx
yx
25
4210
即
−=
=
tx
ty
25
,t R∈ 都是解
ex2:試舉出一例說明:OD
⇀
不能寫成 ,OE OF
⇀ ⇀
的線性組合。即OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
其中實數對(x,y)無解。
解:設OE
⇀
=(1,3),,OF
⇀
=(2,6),,OD
⇀
=(8,3)則OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
=(8,3)=(x,3x)+(2y,6y)
⇒
+=
+=
yx
yx
28
633
yx,⇒ 無解
基本定理(四): ,OE OF
⇀ ⇀
為平面上不平行的兩向量且OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
試證: D,E,F 三點共線 ⇔ x+y=1
pf:(1)(⇒ )
D,E,F 三點共線則必存在唯一實數 t∈R,滿足ED
⇀
=tEF
⇀
⇔ OD OE−
⇀⇀
=t(OF OE−
⇀ ⇀
)
⇒ OD
⇀
= (1 )t OE tOF− +
⇀ ⇀
,又OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
因為OE
⇀
與OF
⇀
為不平行的兩向量,由基本定理(二):唯一性,知 x=1-t,y=t
1)1( =+−=+⇒ ttyx 成立
(2)(⇐ )
當 x+y=1⇒x=1-y 代入OD xOE yOF= +
⇀ ⇀⇀
⇒ (1 )OD y OE yOF= − +
⇀ ⇀⇀
⇒ OD
⇀
=OE
⇀
+y(OF
⇀
-OE
⇀
)=OE y EF+ ⇒
⇀ ⇀
OD OE− =
⇀⇀
y EF ⇒
⇀
ED =
⇀
y EF
⇀
⇒ ED
⇀
//EF
⇀
⇒D,E,F 相異三點共線
向量的線性獨立與線性相依 第三頁
定義一: ,a b
⇀ ⇀
為二個向量,若存在實數 x,y 滿足 0x a y b+ =
⇀ ⇀ ⇀
且 x,y 不全為零
則稱 ,a b
⇀ ⇀
二個向量線性相依。
定義二: , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
為三個向量,若存在實數 x,y,z 滿足 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
且 x,y,z 不全為零
則稱 , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三個向量線性相依。
定義三:x,y R∈ 若 0x a y b+ =
⇀ ⇀ ⇀
則必 x=y=0 稱 ,a b
⇀ ⇀
二個向量線性獨立。
定義四:x,y,z R∈ 若 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 x=y=z=0 稱 , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三個向量線性獨立。
定義五: 1 2 3, , ,......., nx x x x R∈ 若 1 1 2 2 3 3
1
....... 0
n
i i n n
i
x a x a x a x a x a
=
= + + + + =∑
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 1 2 3 ....... 0nx x x x= = = = =
稱 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
這 n 個向量線性獨立。否則稱 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
這 n 個向量線性相依。
NOTE:定義五已包含了定義一,二,三,四矣。
定理一:零向量 0
⇀
與任何向量 a
⇀
一定線性相依。
pf: 0 0x y a+ =
⇀ ⇀ ⇀
,取 x=7,y=0 由定義五知 0
⇀
與 a
⇀
二向量線性相依。
定理二: 1 2 30, , , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀
這 n+1 個向量一定線性相依。
pf:略。
定理三: 1 2 3, , ,..., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依⇔ 其中一個向量可以寫成另 n-1 個向量的線性組合
pf:(⇒ )
1 2 3, , ,..., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
此 n 個向量線性相依
則必存在 1 2 3, , ,...., nx x x x R∈ 滿足 1 1 2 2 3 3 ....... 0n nx a x a x a x a+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
且 1 2 3, , ,..., nx x x x 不全為零
設 1 0x ≠ 則必 32 41 1 1 11 2 3 4 ....... n
x xx x
nx x x x
a a a a a
− −− −= + + + +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
(⇐ )
設 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3....... ( 1) ....... 0n n n na x a x a x a a x a x a x a= + + + ⇒ − + + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 1 2 3, , ,..., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
特例: ,a b
⇀ ⇀
二個向量線性相依⇔ 其中一個向量可以寫成另一個向量的 t 倍⇔ //a b
⇀ ⇀
定理四: 1 2 3, , ,..., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性獨立⇔ 其中任一個向量不可以寫成另 n-1 個向量的線性組合。
pf:定理四與定理三是一體兩面。
特例: ,a b
⇀ ⇀
二個向量線性獨立⇔ 其中任一個向量不可以寫成另一個向量的 t 倍
⇔ ,a b
⇀ ⇀
兩向量不平行
向量的線性獨立與線性相依 第四頁
定理五: 1 2 1 2( , ), ( , )a a a b b b= =
⇀ ⇀
二向量線性相依
⇔ 1 2
1 2
0
a a
b b
=
⇔ ,a b
⇀ ⇀
二向量展開之平行四邊形的面積為零
pf:易,自己證。
定理六: 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c= = =
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性相依
⇔
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
= ⇔ , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三向量展開之平行六面體的體積為零
pf:由 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
⇔
1 1 1
3 3 3
02 2 2
0
0
a x b y c z
a x b y c z
a x b y c z
+ + =
+ + =
+ + =
, ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性相依⇔ 存在 x,y,z 不全為零,滿足 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
⇔
1 1 1
3 3 3
02 2 2
0
0
a x b y c z
a x b y c z
a x b y c z
+ + =
+ + =
+ + =
有非零解⇔
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
= ⇔
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
=
定理七: n度空間中的 n 個向量 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
⇔ n 階行列式 1 2 3( , , ,...., ) 0nF a a a a =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
(詳見後面的 n 階行列式單元)
⇔ n 個向量 1 2 3, , ,......., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
展開之平行 2n 面體的體積為零
定理八:(1) 1 2 1 2( , ), ( , )a a a b b b= =
⇀ ⇀
二向量線性獨立⇔ 1 2
1 2
0
a a
b b
≠
(2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c= = =
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性獨立⇔
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
≠
Pf:pf:由 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
⇔
1 1 1
3 3 3
02 2 2
0
0
a x b y c z
a x b y c z
a x b y c z
+ + =
+ + =
+ + =
, ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性獨立⇔ 0x a y b z c+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 x=y=z=0
⇔
1 1 1
3 3 3
02 2 2
0
0
a x b y c z
a x b y c z
a x b y c z
+ + =
+ + =
+ + =
恰有一解(x=y=z=0)⇔
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
≠ ⇔
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
≠
(3) n度空間中的 n 個向量 1 2 3, , ,......., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性獨立⇔ n 階行列式 1 2 3( , , ,...., ) 0nF a a a a ≠
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
向量的線性獨立與線性相依 第五頁
例題 1: 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y 三點共線⇔ ,AB AC
⇀ ⇀
二向量展開之平行四邊形的面積為零
⇔ ,AB AC
⇀ ⇀
二向量平行⇔ ,AB AC
⇀ ⇀
二向量線性相依
***但不能說 ,AB AC
⇀ ⇀
二向量共線***
例題 2: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )A x y z B x y z C x y z D x y z 四點共面
⇔ , ,AB AC AD
⇀ ⇀ ⇀
三向量展開之平行六面體的體積為零
⇔ , ,AB AC AD
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性相依
***但不能說 , ,AB AC AD
⇀ ⇀ ⇀
三向量共平面***有的課本真是讓人失望
定理九: 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依⇒ 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
Pf: 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
則必存在 ( 1~ )ix i n= 不全為零,滿足 1 1 2 2 3 3 ....... 0n nx a x a x a x a+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 1 1 2 2 3 3 1....... 0 0n n nx a x a x a x a a ++ + + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
其中 ( 1~ )ix i n= 不全為零
則必 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
定理十: 1 2 3 1, , ,..............., ,n na a a a a +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性獨立⇒ 1 2 3, , ,..............., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性獨立
Pf:本命題乃定理九的否逆命題。
定理十一:三度空間中的任何四個向量一定線性相依。
試證: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )a a a a b b b b c c c c d d d d= = = =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
四向量一定線性相依。
:pf case1: , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性相依則必 , , ,a b c d
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
四向量線性相依
case2: , ,a b c
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性獨立則必
1 2 3 1 1 1
1 2 3 2 2 2
1 2 3 3 3 3
0 0
a a a a b c
b b b a b c
c c c a b c
≠ ⇒ ≠
1 1 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
⇒
+ + =
恰有一實數解⇒ d x a y b z c= + +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
恰有一實數解
⇒ ( 1) 0x a y b z c d+ + + − =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
恰有一實數解
⇒ , , ,a b c d
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
四向量線性相依。
定理十二:n 度空間中的任何 n+1 個向量一定線性相依。
即 n 度空間中有 m 個向量線性獨立則必m n≤
向量的線性獨立與線性相依 第六頁
定義六: 1 1 2 2 3 3 1 2 3{ ....... | , ,....., }n n nV x a x a x a x a x x x x R= + + + + ∈
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
叫 1 2 3, , ,...., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
等 n 個向量所展開的
向量空間。
定理十三: 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =
⇀ ⇀
線性獨立則 1 2 3
1 2 3
0
x y z
a a a
b b b
=
就是 ,a b
⇀ ⇀
兩向量展開之向量空間的方程式(平面方程式)。
Pf:令 { | , }V a b Rα β α β= + ∈
⇀ ⇀
,, 1 2 3
1 2 3
{ ( , , ) | , , , 0}
x y z
T c x y z x y z R a a a
b b b
= = ∈ =
⇀
1 1 2 2 3 3( , , )c V c a b a b a b a bα β α β α β α β∈ ⇒ = + = + + +
⇀ ⇀⇀ ⇀
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3
a b a b a b
a a a
b b b
α β α β α β+ + +
⇒
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
b b b
a a a
b b b
β β β
= = c T⇒ ∈
⇀
……..(1)
( , , )c x y z T= ∈ ⇒
⇀
1 2 3
1 2 3
0 , ,
x y z
a a a c a b
b b b
= ⇒
⇀ ⇀ ⇀
三向量線性相依且 ,a b
⇀ ⇀
線性獨立
⇒存在不全為零的實數 , ,α β γ 滿足 0a b cα β γ+ + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
若 0γ = ⇒ 0 0 0 0,, 0a b c a bα β α β α β+ + = ⇒ + = ⇒ = =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
矛盾
所以 0γ ≠ ⇒ c a b c a bβαγ γγ α β −−= − − ⇒ = +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
c V⇒ ∈
⇀
…….(2)
由(1)(2)知V T=
定理十四: 1 2 3 1, , ,..., na a a a −
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
為 n 度空間(n 4≥ )中線性獨立的 n-1 個向量則
1 2 3
11 12 13 1
21 22 23
31 32 33 3
1,1 1,2 1,3 1,
.. .. ..
.. .. ..
.. .. .. ..
.. .. ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. ..
n
n
n
n n n n n
x x x x
a a a a
a a a
a a a a
a a a a− − − −
= 就是 1 2 3 1, , ,..., na a a a −
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
n-1 個向量展開之向量空間
的方程式( 叫超平面方程式 )。
定理十五: 1 2 3 1, , ,..., na a a a −
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
為 n 度空間(n 4≥ )中線性獨立的 n-1 個向量則可輕易找到第 n 個向量 na
⇀
使得 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a−
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
是線性獨立的 n 個向量。
Pf :只要 1 2( , ,......, )n na x x x=
⇀
代入定理十四的超平面方程式不合就可以了。
向量的線性獨立與線性相依 第七頁
定理十六: 1 2 3, , ,..., na a a a
⇀ ⇀ ⇀ ⇀
為線性獨立的 n 個向量
(1)若 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3....... .......n n n nx a x a x a x a d y a y a y a y a+ + + + = = + + + +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀
則必 1 1 2 2, , , ,......., , n nx y x y x y= = =
Pf:原式 1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) ....... ( ) 0n n nx y a x y a x y a x y a⇒ − + − + − + + − =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
1 1 2 2 3 30,, 0, , 0, ,............, , 0n nx y x y x y x y⇒ − = − = − = − =
1 1 2 2 3 3, , , , ,............, , n nx y x y x y x y⇒ = = = =
(2)若 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
有解則必恰有一解。
Pf: 1 1 2 2 3 3 ....... n na a a a dα α α α+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
成立且 1 1 2 2 3 3 ....... n na a a a dβ β β β+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 1 1 2 2 3 3, , , , ,............, , n nα β α β α β α β= = = = ( 由(1) )
(3)若 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
無解 則必 1 2 3, , ,..., ,na a a a d
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性獨立
Pf :設 1 2 3, , ,..., ,na a a a d
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
線性相依
⇒ 1 1 2 2 3 3 ....... 0n na a a a y dβ β β β+ + + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
且 1 2 3, , ,......., ,n yβ β β β 至少有一個不是 0
(i)設 0y = 則必 1 1 2 2 3 3 ....... 0 0n na a a a dβ β β β+ + + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
則必 1 2 3 ....... 0nβ β β β= = = = =
與 1 2 3, , ,......., ,n yβ β β β 至少有一個不是 0 矛盾。
(ii)設 0y ≠ 則必 31 21 2 3 ....... n ny y y yd a a a aβ ββ β − −− −= + + + +
⇀ ⇀ ⇀ ⇀⇀
則必 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + =
⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀
有解
與 1 1 2 2 3 3 ....... n nx a x a x a x a d+ + + + =
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無解矛盾。由(i)(ii)知 1 2 3, , ,..., ,na a a a d
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線性獨立
例題 3: (1,2,3)a =
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試找 ,b c
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使得 a
⇀
,b c
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三向量線性獨立
解:取 (1,0,0)b =
⇀
則必 ,a b
⇀ ⇀
線性獨立(因為 ,a b
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不平行)
欲使 1 2 3( , , )c c c c x a y b= = +
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無解即 ( , 2 0 ,3 0 ) ( , 2 ,3 )c x y x y x y x y x x= + + + = +
⇀
無解
取 (1,2,0)c =
⇀
即可。此時 a
⇀
,b c
⇀ ⇀
三向量線性獨立。 驗證
1 2 3
1 0 0 0
1 2 0
≠
例題 4: (1, 2,3,4)a =
⇀
試找 , ,b c d
⇀ ⇀ ⇀
使得 a
⇀
, ,b c d
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四向量線性獨立
解: 取 (1,0,0,0)b =
⇀
則必 ,a b
⇀ ⇀
線性獨立(因為 ,a b
⇀ ⇀
不平行)
欲使 1 2 3 4( , , , )c c c c c x a y b= = +
⇀ ⇀ ⇀
無解即 1 2 3 4( , , , ) ( , 2 ,3 , 4 )c c c c c x y x x x= = +
⇀
無解
取 (0, 2,0,0)c =
⇀
⇒ a
⇀
,b c
⇀ ⇀
三向量線性獨立
欲使 1 2 3 4( , , , ) ( , 2 2 ,3 ,4 )d d d d d x a y b z c x y x z x x= = + + = + +
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無解,,取 (0,0,3,0)c =
⇀
驗證
1 2 3 4
1 0 0 0
0
0 2 0 0
0 0 3 0
≠
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