高考数学专题（二） 第八章 平而解析几何（曲线与方程、直线方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 解析几何题怎么解 高考解析几何
试题
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一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0
证明
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：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出 点的坐标. (1 ) 显然 , 于是 直线 的方程为 ； （2）由方程组 解出 、 ； （3） , . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程, 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 代入椭圆方程 得 化简后，得关于 的一元二次方程 于是其判别式 由已知，得△=0．即 ① 在直线方程 中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 代入①式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程． 方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：∵（1） 原点到直线AB： 的距离 . 故所求双曲线方程为 （2）把 中消去y，整理得 . 设 的中点是 ，则 即 故所求k=± . 为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程． 讲解：（1）设 , 对 由余弦
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
, 得 ， 解出 （2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 ………………① 椭圆方程为 由 得 . 于是椭圆方程可转化为 ………………② 将①代入②，消去 得 , 整理为 的一元二次方程，得 . 则x1、x2是上述方程的两根．且 ， ， AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线 代入椭圆方程得 由①②知S的最大值为 由题意得 =12 所以 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为： …………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为： 由 得： 于是椭圆方程可化为： ……② 把①代入②并整理得： 于是 是上述方程的两根. , AB边上的高 , 从而 当且仅当m=0取等号，即 由题意知 , 于是 . 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例5 已知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上. （１）求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程. 讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得 , 根据韦达定理，得 ∴线段AB的中点坐标为（ ）. 由已知得 故椭圆的离心率为 . （2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为 解得 由已知得 故所求的椭圆方程为 . 例6 已知⊙M： 轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点， （1）如果 ，求直线MQ的方程； （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 讲解:（1）由 ，可得 由射影定理，得 在Rt△MOQ中， ， 故 ， 所以直线AB方程是 （2）连接MB，MQ，设 由 点M，P，Q在一直线上，得 由射影定理得 即 把（*）及（**）消去a，并注意到 ，可得 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设 ， 试确定实数 的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y = ∴动点P的轨迹是椭圆 . ∵ ∴曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程 ，得 设M1（ , 则 i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由①得 又∵ , ∵ 或 ∴0＜ ＜1 , ∴ . ∵ 而 ∴ ∴ ∴ , , ∴ 的取值范围是 . 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A 两点. （1）求证： ; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: （1）易求得抛物线的焦点 . 若l⊥x轴，则l的方程为 . 若l不垂直于x轴，可设 ,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 . （2）设 ，则CD的垂直平分线 的方程为 假设 过F，则 整理得 ， . 这时 的方程为y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此 与l不重合，l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！ 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50, , ∴M在双曲线 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？ 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.
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