石家庄二中2011届高考培优模拟试题 （二） 命题人：王国军 景燕波 时间：2010年10月 一、单项选择题（每题5分，共60分） 1、已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） 或 或 2、若
函数
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是奇函数，且在 上是增函数，则实数 可能的值是（A ） 、 、 、 、 3、直线 与圆 公共点的个数有（ ） 0个 1个 2个 1个或2个 4、已知向量 则 与 的夹角范围是（ C ） 5、设动直线 与函数 和 的图象分别交于 两点，则 的最大值为（ D ） A． B． C． D． 6、设函数 ，则对于任意的实数 和 ， 是 的（ C） A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 A． B． C． D． 7、已知二次函数 的导数为 对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（ C ） A、 B、 C、 D、 8、 已知定义在 上的函数 其中函数 的图像是一条连续曲线，则方程 在下列哪个范围内必有实数根（ B ） A. B. C.(2,3) D.(3,4) 9、不等式 且 对任意的实数 都成立，则实数 的取值范围是（ B ） 10、若对任意的正实数 满足 恒成立，则 的取值范围为（ C ） A． B． C． D． 11、已知 是平面上的一个定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ,则动点 的轨迹一定通过 的（B ） A、垂心 B、重心 C、外心 D、内心 12. 已知抛物线 上一定点 和两动点 ，当 时，点 的横坐标的取值范围是（ ） 二 填空题（每题5分，共20分） 13、公比不是 的等比数列 的通项公式是 ，且对任意的 都有 ，则该数列的前 项的积为 ； 14、已知函数 的导函数 的部分图象如图所示，且导函数 的最小值为 ，则函数的
表
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达式为 15、已知 是边长为 的正方形 内一点，若 的面积均不小于 ，则 的最大值为 ； 16、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 三、 解答题 17、（10分）设 的内角 所对的边分别为 ，且 。 （1）求 的值；（2）求 的最大值 解：（1）由 得 从而 ， 所以 。 （2）由 得 （当且仅当 是等号成立）。 所以 的最大值为 。 18、（12分）将圆 按向量 平移得到圆 .直线 与圆 相交于 两点，若在圆 上存在点 ，使 且 ，求直线 的方程。 解、圆 ： 2分 将 坐标代入，又 得 4分 由 得 中点坐标为 由 且 知 与 垂直，从而 斜率为 ， 直线方程为 19、（12分）已知 1）当a=2时，求 的解集 2）求 在区间 解：1） 当 时，得 解得 （舍） 当 时，得 解得 综上，解集为 2）当 时，取 显然有 当 时， 当 时， 综上………. 20、（12分）如图、椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有 ,求a的取值范围. 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形， 所以 , 因此，椭圆方程为 (Ⅱ) 设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角 即 恒成立. 又 ，所以 对 恒成立， 即 对 恒成立,当 时， 最小值为0， 所以 ， , ，即 , 解得 或 (舍去)，即 , 综合（i）(ii)，a的取值范围为 . 21、（12分） 已知 数列 满足 (1)求证： ； (2)已知 ，证明： ； (3)设 是数列 的前 项和，判断 与 的大小，并
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理由. 解： (1) 易得 ，从而 。 下面用数学归纳法证明： 。 当 时， ， ，即 ，命题成立； 假设当 时，命题成立，即 ；从而 ， 所以 ，即 ， 故当 时，命题成立。 综上， 对 都成立。 (2) 要证当 时，有 ， 即证 对 成立， 设 ， 只需 即可。 由 得 。 1 + 0 增函数 极大 减函数 列表如下： 又 ， ，所以当 时， 。 当 时，有 。 (3) 由(2)知 . 。 则 。 22、（12分） A为椭圆 上的一个动点,弦AB，AC分别过其左右焦点 ，当AC垂直于x轴时，恰好有 1）求椭圆的离心率 2）设 ，试判断 是否为定值。若是，请证明；若不是，请说明理由 解：1） 2）
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