nullnullnull1. 确定性现象和不确定性现象.2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.第一章 概率论的基本概念前 言3. 概率与数理统计的广泛应用.null§1.随机试验 E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验
称为试验。E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. null随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验;
(2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;
(3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.null§2. 样本空间与随机事件(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.样本空间的分类:1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.null(二) 随机事件 定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生. 基本事件:复合事件:必然事件:不可能事件：由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}. 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}. 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。 空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。null例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.null（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.
若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.null2.和事件:3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.null显然: A-A=, A- =A, A-S= null5.事件的互不相容(互斥):null6. 对立事件(逆事件)：null7.事件的运算律:交换律:结合律:对偶律:分配律:nullnull§3. 概率的概念一. 古典定义：等可能概型的两个特点:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.(1) 样本空间中的元素只有有限个;(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.null古典概型概率的计算步骤:(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.null例1. 袋中装有4只白球和2只红球.
从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:
(a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率;
(2)两球中至少有一只白球的概率.例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3只, 试求:
(1)取到1号球的概率,（事件A）
(2)最小号码为5的概率.（事件B）null例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?二、几何定义:二、几何定义:定义null定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,
就归结为几何概率.null例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预
定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t
( t
0)的一些平行直
线,现向此平面任意投掷一根长为l (
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数P(.)满足下列条件:(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性）(2) P(S)=1;（规范性)(3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)四. 概率公理化定义:null2.概率的性质：一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).null推广null例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:§5. 条件概率§5. 条件概率(一)条件概率:
设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另
两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).null2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：null注当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.计算条件概率有两种方法: null2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A).例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.null(二) 乘法公式:P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 推广nullnull(三) 全概率公式和贝叶斯公式:1. 样本空间的划分注(1) 若B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分,
则每次试验中, 事件B1, B2, …, Bn 中必有一
个且仅有一个发生.null2. 全概率公式:3. 贝叶斯公式:null例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制
造厂提供的,数据如下:
元件制造厂 次品率 提供的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
(1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率.
(2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概
率分别是多少?null例5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好
时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,
其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良
好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是
合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?null§1.6 独立性一般地, P(B|A)≠P(B), 但当A的发生对B的发生的概
率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况. 设A—“甲币出现H”, B—“乙币出现H”, 试求:
B发生的条件下，A发生的概率；A发生的概率.1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B),
则称事件A与事件B是相互独立的事件.null由定义可知:1) 零概率事件与任何事件都是相互独立的.2) 由对称性, A,B相互独立, 必有B, A 相互独立.如果对于任意的k(k≤n), 任意的1≤i10,则A,B相互独立
的充要条件是: P(B|A)=P(B).有关结论:null三. 利用独立性计算古典概率:1. 计算相互独立的积事件的概率：
若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。nullnullnull第一章 习题课一、主要内容:样本空间随机事件概率定义及性质古典概型条件概率全概率公式Bayes公式事件的独立性null二、课堂练习:1.选择题:
(1)当事件A与B同时发生,事件C必发生,则有( )
(A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(A∪B)
(C) P(C)≥P(A)+P(B)-1 (D) P(C)≤P(A)+P(B)-1null2. 填空题：(2) 设两个事件A, B相互独立, A, B都不发生的概率
为1/9, A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生
的概率相等, 则P(A)=______.3.计算题：null设甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率。
有n个不同(可辨别)的球，每个球都以同样的概率1/N被投到N (nN)个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率：
(1) 某指定的n个箱子中各一球(A)
(2) 恰有n个箱，其中各有一球(B)
(3) 某指定箱中恰有m(m n)个球(C)
(4) 恰有k个箱子，其中有m个球(D).
3. 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率.null第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的试验结果e, X取不同的值, 由于试验前不能预料e的取值, 因而X取1还是取0也是随机的, 故称X(e)为随机变量。null1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S={e}, 若对于每一个
e∈S, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定义在S上的单
值实函数，称为随机变量。简记为r.v.注(1) 可用随机变量X描述事件. 反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件:
“2x1, F(x2)-F(x1)=P{x1
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
正态分布:nullnull例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
(1) 随机抽查一包, 其重量大于510克的概率;
(2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;
(3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.注(1) 由(x)=0.05怎样查表求x的值?(2) 服从正态分布N(,2)的r.v. X之值基本上落入[-2, +2]之内, 几乎全部落入[-3, +3]内.
特别强调N(0,1)的情况在计算中的应用.null(3) 标准正态分布的上分位点:null(三) 负指数分布:null(四) 伽玛分布:null§5. 随机变量的函数的分布一、 X为离散型r.v.null(2) 若g(x1),g(x2), …中不是互不相等的, 则应将那些相等的值分别合并, 并根据概率加法公式把相应的pi相加, 就得到了Y的概率分布律.null二、X为连续型r.v.nullnull(1) 若f(x)在有限区间[a, b]以外等于零, 则只需假
设在[a, b]上g(x)严格单调, 选取
=min(g(a), g(b)), =max(g(a), g(b)).2.公式法：
定理:设X是连续型r.v., 具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数, 且反函数x=h(y)具有连续的导函数.
当g(x)严格增加时, 记 =g(-), =g(+);
当g(x)严格减少时, 记 =g(+), =g(-),
则Y的概率密度为: 说明(2) 定理中条件y=g(x)是X的严格单调函数是相当
苛刻的,许多常见的函数都不能满足, 因此,求随机
变量的函数的分布时, 只能按“分布函数法”直接
求解.null例4. r.v.X~N(, 2), 证明X的线性函数Y=aX+b (a≠0)也服从正态分布.null第二章 习题课 一. 主要内容二. 课堂练习1. 甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人投中为止，今设甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6, 求甲队员投篮次数的分布律(设甲先投).nullnull第三章 多维随机变量及其分布§1 二维随机变量1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是 S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.2. 二维r.v.(联合)分布函数:null若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函
数F(x)的性质类似, 此处从略.null3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.
(一) 二维离散型r.v.null例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1~X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的分布律.结论null(二) 二维连续型r.v.null二维连续型r.v. (X, Y)落在平面G上概率, 就等于密度函数f(x, y)在G上的积分, 这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.注null§2. 边缘分布 一、边缘分布函数：二、边缘分布律：nullnull三、边缘概率密度:nullnull§3. 条件分布 一、二维离散型r.v.的情况:nullnull例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0
本文档为【(2010)概率论与数理统计】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483