数学乱弹(rev)

【数学乱弹 2】三角不等式 仅以此文献给那些喜爱数学和热衷奋斗的人们！ 推开我们那扇斑驳的记忆之窗，一道久违的三角不等式证明题就跃然眼前： （1）设 x∈（0,π/2），证明 sinx < x < tanx。 年年岁岁花相似，岁岁年年人不同！经过这些年的风风雨雨、是是非非，题还是昨天的 那道题，可是人已非当年的那个人。物是人非，事到如今，这道题注定要在你的内心激起涟 漪，掀起波澜。 人生如题！ 很久很久以前，在你心中，曾经有一个梦，但愿人人都生而平等！---然而这注定只是 一个美丽的梦---梦想很天真，现实很逼真，梦醒时分，你看到的必定是一个无奈甚至冷酷 的现实：有多少人，生来就是官二代、富二代；又有多少人，生来就是农二代、穷二代？ 如果把 sinx、x、tanx 比作一个个有血有肉的人，那么就像我们这道三角不等式，生而 不平等，才是我们最真实最惨淡的人生。可是朋友，请不要悲观绝望---身为下贱，心比天 高。只要我们还拥有那颗激昂奋进的心，我们的人生必将精彩无限、绚烂无比！---心若在， 梦就在，大不了从头再来！ 有一首歌唱得好：“……人生可比是海上的波浪，有时起有时落。好运歹运，总嘛要照 起工来行。三分天注定，七分靠打拼---爱拼才会赢！……” 不要抱怨世道不公，不要抱怨造化弄人。穷人的孩子早当家，是金子总会发光，人生就 像在打擂---爱拼才会赢！---用我们最大的分贝尽情地吼出这句最精彩的人生格言吧！ 好了，让我们重新回到这道三角不等式。 时至今日，对于受过良好教育的你来说，再也用不着绞尽脑汁就轻而易举地给出了一个 看似高深莫测的解法： 令 f(x)=tanx-x,g(x)=x-sinx，那么 f’(x)=sec2x-1= 1 cos 1 2 −x ，g ’(x)=1-cosx，（求导） 因为 x∈（0,π/2），显然 f’(x)>0，g’(x)>0， 所以 f(x)和 g(x)都是递增函数，于是 f(x)>f(0)=0，g(x)>g(0)=0， 即 tanx-x > 0，x-sinx > 0，也就是 sinx < x < tanx。获证。 简单吧，得意的你情不自禁地冲镜头挤眉弄眼，装腔作势大声吆喝：so easy!妈妈再也 不用担心我的学习啦！ 我不得不佩服你的高智商，可是试问人世间，有多少人有机会受到良好教育？在那些受 到良好教育的人当中，又有多少人曾经懂得高等数学？在那些曾经懂得高等数学的人当中， 又有多少人还会记得乃至想起这门学科？---遗忘是世间最无情的惩罚！……不要嫌我在此 喋喋不休唠唠叨叨反反复复，其实我只想让你明白，并不是每一个人都像你这么有才，更不 是每一个人都像你有个好爸爸---恨铁不成钢，在这个事事讲求拼爹的时代，你也只有恨爹 非 Li 刚的叹息份儿。 上天虽然没有眷顾你，赐予你一个好爸爸，可是我们生于贫寒，难道注定还要死于贫寒 吗？消极悲观的人看到的永远是无边的黑暗和残酷的世道，而天生积极乐观的你，却认定这 不过是上天对你的考验和磨砺---天将降大任于斯人矣，必先苦其心志，劳其心骨，饿其体 肤……所有的伟大必定源自卑微，所有的苦难必定成为浮云，奋斗的人生才是最光彩的人生， 奋斗的青春才是最美丽的青春！---自信人生二百年，会当击水三千里！---主席如是说。既 然你没有一个好爸爸已是不争的事实，那就努力奋斗成为一个你孩子眼中的好爸爸吧---为 了这个美好的愿望和远大的理想，我们还等什么？赶紧出发吧！ 言归正传。条条道路通罗马！通往西天的道路不会只有一条，而数学的魅力正在于此。 对于那些没有机会受过高等教育的人们，只要你完成了九年义务制教育，相信这道三角不等 式还有更为浅显易懂的证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ---毕竟当年那个少不更事的你还没有学过微积分这么深奥 的高等数学，不是照样手到擒来，弹指一挥间，拈花一笑时，就技惊四座，赢得满堂喝彩吗？ ---你仿佛又回到了那个年少轻狂的时代，闻到了空气中那道久违的青春气息---那时花开， 正是我们人生中最天真烂漫的好年华。 再回首，恍然如梦。让我们把时光倒转到十多年前吧！ 那时的你还是一个稚气未脱的翩翩少年，情窦初开，浑身散发出青春的荷尔蒙气息，可 是你却懵懂未知，一心徜徉在知识的海洋中欲罢不能---神秘的大自然带给你的不仅是新鲜 和好奇，更是抑制不住的探索欲望。 往事如烟，不堪回首---可是既然我们提到知识，就不得不说上几句。曾几何时，知识 就是力量！---英国先哲培根的这句名言犹如黑暗中的一盏明灯，点燃了无数人的希望，更 激起了那个时代的人们对知识的顶礼膜拜---知识改变命运，拥有了知识，你就仿佛钢铁战 士一样坚不可摧、踌躇满志，仿佛黄金甲士一样雍容华贵、光彩照人。更重要的是，拥有知 识的你从此跻身知识分子的行列，从前那种风餐露宿、风雨飘摇、遭人白眼讨人嫌的凄迷苦 日子就一去不复返了，而开始一段倍有面子、令人艳羡、高人一等特自豪的幸福新生活。--- 吃得苦中苦，方为人上人啊！没有付出，何谈收获？台上一分钟，台下十年功！---对于那 些总想一夜暴富、一夜成名的人们，如果你注定只有背影，而没有背景，那么还是趁早打消 这种天真的不切实际的念头，俯首甘为孺子牛---心平气和、脚踏实地、一步一个脚印去践 行你人生的理想吧！ 可是风云变幻，世事难料。三十年河东，三十年河西，一夜之间，面目全非。曾经高高 在上、不可一世的知识在今天这个世风日下的浮躁时代，被重重的一摔，稀里哗啦，跌的粉 身碎骨！可怜兮兮的知识不可逆转地成为了金钱的俘虏，成了资本的附庸，成了世俗的弃儿。 知识改变命运也已经成了对人生的最大嘲讽！---看看那些毕业即失业的寒窗学子，看看那 些貌似光鲜实则蚁族的城市白领，看看那些海龟变海带的归国人员……你还愿相信知识就是 力量的神话吗？鬼话吧！---知识遭遇沦陷，从此陷入万劫不复之地，实在是无法承受之痛！ 我拿什么来拯救你，我的知识？然而事已至此，还是让我们为死去的知识保持沉默吧！--- 古人云，沉默是金！等到知识浴火重生、价值再度回归的那一天，你再尽情地释放你的沉默 吧！嘘！…… Go on！（继续我们的故事吧！） 知识虽然不幸死在当下，可是那时年少的你又如何能够体会到后来人世间的冷暖呢？纯 真的你已经被一门穿越两千多年还在焕发青春的古老学科深深地吸引了，这就是伟大的欧几 里得创立的和图形有关的优美的数学---几何学！千呼万唤始出来，聪明的你终于找到了当 年的神勇---正是凭借几何学的威力，你成功地证明了我们的那道三角不等式。 请看图 1。这是一个单位圆，即半径 OA=OB=1，而∠AOB=x∈（0,π/2）。 BD⊥OA，CA⊥OA。只要稍具三角学知识，立刻就得到： BD=sinx，弧 AB=x，CA=tanx。 怎么样，是不是很形象很直观，有一目了然的感觉？ 根据两点间直线最短的几何学公理，你一眼就能看出弧长 AB 大于线段 AB，而线段 AB 显然又大于线段 BD，也即是弧 AB>BD，即 x>sinx。 何等简单明了！何等轻松利落！简直大快人心啊！可是别高兴的太早了，因为你只证明 了一半。另一半如果你还打算沿用这样的方法，那我只能恭喜你踩到了狗屎运---弧 AB 确实 小于线段 CA，可是除非我们像你一样拥有一双火眼金睛，否则资质平庸、生性愚钝的我们 如何能够洞穿事实的本质，揭开现实的伪装呢？---你总不至于用一声狂吼来让我们顿悟吧： （弧 AB 小于线段 CA）至于你信不信，由你，我反正是信的！ 图 1 单位圆 强扭的瓜不甜！---数学不需要专断和强制，数学的意志是自由的---对于现实中那些渴 望自由的人们，数学无疑是最好的心灵慰藉！ 既然不是人人都像你一样拥有一双慧眼，也不是人人都像你一样具备一副铁腕，此路显 然不通。此路不通走彼路，聪明的人不会在一棵树上吊死，而非要一条道走到黑、一根筋拧 到底的人注定会碰的头破血流！请看图 2。 图 2 面积法 真相就此大白！这下不用什么慧眼，就连傻瓜都能看出来，面积 Ssinx 2xα。 乍看之下，简直束手无策，特别是那个该死的α次幂，竟然还是有理数，这下连数学归 纳法也没得用了---屋漏偏逢连夜雨呀！ 别急，让我们来玩一下“大胆假设，小心求证”的智力游戏吧。 【大胆假设】设 x∈（0,π/2），则 sinx·tanx > x2。 如果这个大胆假设成立，那么我们的这道不等式就不攻自破，原因如下： 欲证 sinαx+tanαx > 2xα Ù 2)tan()sin( >+ αα x x x x 。 令 x xa sin= ， x xb tan= ，那么 2)tan()sin( >+ αα x x x x Ù aα+bα > 2。 如果 sinx·tanx > x2，那么 1tansin >• x x x x ，即 a·b > 1。 而 aα+bα≥ ααα )(22 baba •=• >2·1α>2。不等式获证。所以我们只要证明 sinx·tanx > x2这道不等式即可。 【小心求证】 还是用几何法来证明 sinx·tanx > x2这道不等式吧。如图 3所示。 图 3 单位圆 自 B 点做切线，交 CA 于 E 点。即 EB⊥OC。那么由 O、A、B、E 构成的图形面积（不妨 记为 St）显然大于扇形 OAB 的面积，即 St>Sx。 按照图 2的面积法思路，sinx·tanx > x2ÙSsinx·Stanx > （Sx）2。 我们再次大胆假设：Ssinx·Stanx > （St）2。 因为 Ssinx = BDBDOA 2 1 2 1 =•• ，Stanx = CACAOA 2 1 2 1 =•• ， St = AEAEOA =••• 2 12 。 Ssinx·Stanx > （St）2Ù BD·CA > 4·AE2。……（3） 因为ΔCBE∽ΔBDO，ΔCBE∽ΔCAO， 所以 CECE OB CB BD 1== ， AEBEBE OA CB CA 11 === 。=>CB = BD·CE = CA·AE=> BD·（CA-AE） = CA·AE =>BD·CA = (BD+CA)·AE≥ AECABD ••2 => AECABD •≥• 2 ， 即 BD·CA > 4·AE2。（3）式获证。 如果命运早有安排，你就是那个不幸的 sinx，请别自暴自弃，妄自菲薄，心生抱怨， 我们更要积极地面对这惨淡的人生，用自己全部的勇气和智慧，团结一切可团结的群众，联 合一切可联合的势力，借助一切可借助的力量，激情燃烧，尽情释放，同样可以化腐朽为神 奇，化干戈为玉帛，去赢得一个精彩和谐的瑰丽人生！ 生命不止，奋斗不息---这就是我们的人生！ 资深小弟，8月于合肥兴园。